系统稳定性理论

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1、系系统稳统稳定性理定性理论论稳稳定性可以定性可以这样这样定定义义：当一个：当一个实际实际的系的系统处统处于一于一个平衡的状个平衡的状态时态时，如果受到外来作用的影响，如果受到外来作用的影响时时，系，系统统经过经过一个一个过过渡渡过过程仍然能程仍然能够够回到原来的平衡状回到原来的平衡状态态，我，我们们称称这这个系个系统统就是就是稳稳定的，否定的，否则则称系称系统统不不稳稳定。定。一个控制系一个控制系统统要想能要想能够实现够实现所要求的控制功能就所要求的控制功能就必必须须是是稳稳定的。在定的。在实际实际的的应应用系用系统统中，由于系中，由于系统统中存中存在在储储能元件，并且每个元件都存在能元件，并

2、且每个元件都存在惯惯性。性。这样这样当当给给定定系系统统的的输输入入时时， ，输输出量一般会在期望的出量一般会在期望的输输出量之出量之间摆间摆动动。此。此时时系系统统会从外界吸收能量。会从外界吸收能量。对对于于稳稳定的系定的系统统振振荡荡是减幅的，而是减幅的，而对对于不于不稳稳定的系定的系统统，振，振荡荡是增幅的振是增幅的振荡荡。前者会平衡于一个状。前者会平衡于一个状态态，后者却会不断增大直到，后者却会不断增大直到系系统统被被损损坏。坏。既然既然稳稳定性很重要，那么怎么才能知道系定性很重要，那么怎么才能知道系统统是否是否稳稳定呢？控制学家定呢？控制学家们给们给我我们们提出了很多系提出了很多系统

3、稳统稳定与否定与否的判定定理。的判定定理。这这些定理都是基于系些定理都是基于系统统的数学模型，根的数学模型，根据数学模型的形式，据数学模型的形式，经过经过一定的一定的计计算就能算就能够够得出得出稳稳定定与否的与否的结论结论， ，这这些定理中比些定理中比较较有名的有：有名的有：劳劳斯判据斯判据、 、赫赫尔维尔维茨判据茨判据、 、李李亚谱亚谱若若夫夫三个定理。三个定理。这这些些稳稳定性的判定性的判别别方法分方法分别别适合于不同的数学模型，前两者主要是通适合于不同的数学模型，前两者主要是通过过判断系判断系统统的特征的特征值值是否小于零来判定系是否小于零来判定系统统是否是否稳稳定，定，后者主要是通后者

4、主要是通过过考察系考察系统统能量是否衰减来判定能量是否衰减来判定稳稳定性。定性。当然系当然系统统的的稳稳定性只是定性只是对对系系统统的一个基本要求，的一个基本要求，一个另人一个另人满满意的控制系意的控制系统统必必须还须还要要满满足足许许多多别别的指的指标标， ，例如例如过过渡渡时间时间、超、超调调量、量、稳态误稳态误差、差、调节时间调节时间等。一个等。一个好的系好的系统统往往是往往是这这些方面的些方面的综综合考合考虑虑的的结结果。果。劳劳斯判据斯判据劳劳斯判据，又称斯判据，又称为为代数代数稳稳定判据。定判据。劳劳斯于斯于 1877 年年提出的提出的稳稳定性判据能定性判据能够够判定一个多判定一个

5、多项项式方程中是否存式方程中是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。由此在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。由此劳劳斯斯获获得了得了亚亚当当奖奖。 。劳劳斯判据，斯判据，这这是一种代数判据方是一种代数判据方法。它是根据系法。它是根据系统统特征方程式来判断特征根在特征方程式来判断特征根在 S 平面平面的位置，从而决定系的位置，从而决定系统统的的稳稳定性定性.由于不必求解方程，由于不必求解方程，为为系系统统的的稳稳定性的判断定性的判断带带来了极大的便利。来了极大的便利。假若假若劳劳斯斯阵阵列表中第一列系数均列表中第一列系数均为为正数，正数，则该则该系系统统是是稳稳定的，即特征方程所有

6、的根均位于根平面的左定的，即特征方程所有的根均位于根平面的左半平面。假若第一列系数有半平面。假若第一列系数有负负数，数，则则第一列系数符号第一列系数符号的改的改变变次数等于在右半平面上根的个数。次数等于在右半平面上根的个数。劳劳斯判据不斯判据不仅仅可以判可以判别别系系统稳统稳定不定不稳稳定，即系定，即系统统的的绝对稳绝对稳定性，而且也可定性，而且也可检验检验系系统统是否有一定的是否有一定的稳稳定定裕量，即相裕量，即相对稳对稳定性。另外定性。另外劳劳斯判据斯判据还还可用来分析系可用来分析系统统参数参数对稳对稳定性的影响和定性的影响和鉴别鉴别延滞系延滞系统统的的稳稳定性。定性。赫赫尔维尔维茨判据茨

7、判据 赫赫尔维尔维茨提出了另一种形式的代数判据。它以特征茨提出了另一种形式的代数判据。它以特征方程的各系数方程的各系数 ai( i =0 ， ， 1 ， ， ， n) 构造构造 n n 维维的赫的赫尔维尔维茨行列式茨行列式 D 线线性定常系性定常系统稳统稳定的充分必要条件定的充分必要条件为为，赫，赫尔维尔维茨茨行列式的各行列式的各阶阶主子式均大于零：主子式均大于零： 李李亚谱亚谱若夫若夫稳稳定判据定判据Lyapunov 意意义义下的下的稳稳定性定定性定义义定定义义 1 设设系系统统， ，),(txfx 0),(txfe之平衡状之平衡状态态的的 H 邻邻域域为为0exHxxe其中，其中， ，为为

8、向量的向量的 2 范数或欧几里德范数，范数或欧几里德范数，0H即即2/122 222 11)()()(neneeexxxxxxxx类类似地，也可以相似地，也可以相应应定定义义球域球域 S( ）和）和 S( ）。）。在在 H 邻邻域内，若域内，若对对于任意于任意给给定的定的，均有，均有H0(1) 如果如果对应对应于每一个于每一个，存在一个，存在一个，使得，使得)(S)(S当当 t 趋趋于无于无穷时穷时，始于，始于 S( )的的轨轨迹不脱离迹不脱离 S( )， ，则则式式(4.1)系系统统之平衡状之平衡状态态称称为为在在 Lyapunov 意意义义下下0ex是是稳稳定的。一般地，定的。一般地，实实

9、数数 与与 有关，通常也与有关，通常也与 t0有关。有关。如果如果 与与 t0无关，无关，则则称此称此时时之平衡状之平衡状态态为为一致一致0ex稳稳定的平衡状定的平衡状态态。 。以上定以上定义义意味着：首先意味着：首先选择选择一个球域一个球域 S( ），），对应对应于每一个于每一个 S( ），必存在一个球域），必存在一个球域 S( ），使得当），使得当 t 趋趋于于无无穷时穷时，始于，始于 S( ）的）的轨轨迹迹总总不脱离球域不脱离球域 S( ）。）。(2) 如果平衡状如果平衡状态态，在，在 Lyapunov 意意义义下是下是0ex稳稳定的，并且始于域定的，并且始于域 S( ）的任一条）的任一

10、条轨轨迹，当迹，当时间时间 t 趋趋于无于无穷时穷时，都不脱离，都不脱离 S( ），且收），且收敛敛于于， ，则则称式称式0ex(4.1）系）系统统之平衡状之平衡状态态为渐为渐近近稳稳定的，其中球域定的，其中球域0exS( ）被称）被称为为平衡状平衡状态态的吸引域。的吸引域。0ex类类似地，如果似地，如果 与与 t0无关，无关，则则称此称此时时之平衡状之平衡状态态为为一致一致渐渐近近稳稳定的。定的。0ex实际实际上，上，渐渐近近稳稳定性比定性比 Lyapunov 意意义义下的下的稳稳定定性更重要。考性更重要。考虑虑到非到非线线性系性系统统的的渐渐近近稳稳定性是一个局定性是一个局部概念，所以部概

11、念，所以简单简单地确定地确定渐渐近近稳稳定性并不意味着系定性并不意味着系统统能正常工作。通常有必要确定能正常工作。通常有必要确定渐渐近近稳稳定性的最大范定性的最大范围围或吸引域。它是或吸引域。它是发发生生渐渐近近稳稳定定轨轨迹的那部分状迹的那部分状态态空空间间。 。换换句句话说话说， ，发发生于吸引域内的每一个生于吸引域内的每一个轨轨迹都是迹都是渐渐近近稳稳定的。定的。(3) 对对所有的状所有的状态态（状（状态态空空间间中的所有点），如果中的所有点），如果由由这这些状些状态态出出发发的的轨轨迹都保持迹都保持渐渐近近稳稳定性，定性，则则平衡状平衡状态态称称为为大范大范围渐围渐近近稳稳定。或者定。

12、或者说说，如果式，如果式(4.1） ）0ex系系统统之平衡状之平衡状态态渐渐近近稳稳定的吸引域定的吸引域为为整个状整个状态态0ex空空间间， ，则则称此称此时时系系统统的平衡状的平衡状态态为为大范大范围渐围渐近近0ex稳稳定的。定的。显显然，大范然，大范围渐围渐近近稳稳定的必要条件是在整个定的必要条件是在整个状状态态空空间间中只有一个平衡状中只有一个平衡状态态。 。在控制工程在控制工程问题问题中，中，总总希望系希望系统统具有大范具有大范围渐围渐近近稳稳定的特性。如果平衡状定的特性。如果平衡状态态不是大范不是大范围渐围渐近近稳稳定的，定的，那么那么问题问题就就转转化化为为确定确定渐渐近近稳稳定的

13、最大范定的最大范围围或吸引域，或吸引域，这这通常非常困通常非常困难难。然而，。然而，对对所有的所有的实际问题实际问题，如能确定，如能确定一个足一个足够够大的大的渐渐近近稳稳定的吸引域，以致定的吸引域，以致扰动扰动不会超不会超过过它就可以了。它就可以了。(4) 如果如果对对于某个于某个实实数数 0 和任一个和任一个实实数数 0，不，不管管这这两个两个实实数多么小，在数多么小，在 S（ （ ）内）内总总存在一个状存在一个状态态， ，0x使得始于使得始于这这一状一状态态的的轨轨迹最迹最终终会脱离开会脱离开 S( ），那么平），那么平衡状衡状态态称称为为不不稳稳定的。定的。0ex图图 1 （ （a）

14、）稳稳定平衡状定平衡状态态及一条典型及一条典型轨轨迹迹;（ （b） ）渐渐近近稳稳定平衡状定平衡状态态及一条及一条典型典型轨轨迹迹;（ （c）不）不稳稳定平衡状定平衡状态态及一条典型及一条典型轨轨迹迹表表 1 线线性系性系统稳统稳定性概念与定性概念与 Lyapunov 意意义义下的下的稳稳定性概念定性概念经经典控制理典控制理论论(线线性系性系统统)不不稳稳定定 (Re(s)0)临临界情况界情况 (Re(s)=0)稳稳定定 (Re(s)0)Lyapunov 意意义义下下不不稳稳定定稳稳定定渐渐近近稳稳定定Lyapunov 稳稳定性判定定性判定Lyapunov 第一法和第一法和 Lyapunov

15、第二法。第二法。第一法通第一法通过过求解微分方程的解来分析运求解微分方程的解来分析运动稳动稳定性，定性，即通即通过过分析非分析非线线性系性系统线统线性化方程特征性化方程特征值值分布来判分布来判别别原非原非线线性系性系统统的的稳稳定性；定性；第二法第二法则则是一种定性方法，它无需求解困是一种定性方法，它无需求解困难难的非的非线线性微分方程，而性微分方程，而转转而构造一个而构造一个 Lyapunov 函数，研函数，研究它的正定性及其究它的正定性及其对时间对时间的沿系的沿系统统方程解的全方程解的全导导数的数的负负定或半定或半负负定，来得到定，来得到稳稳定性的定性的结论结论。 。这这一方法在学一方法在学术术界广泛界广泛应应用，影响极其深用，影响极其深远远。一般我。一般我们们所所说说的的Lyapunov 方法就是指方法就是指 Lyapunov 第二法。第二法。Lyapunov 渐进稳渐进稳定物理意定物理意义义： ：即如果系即如果系统统有一个有一个渐渐近近稳稳定的平衡状定的平衡状态态， ，则则当其当其运运动动到平衡状到平衡状态态的吸引域内的吸引域内时时，系，系统统存存储储的能量随着的能量随着时间时间的增的增长长而衰减，直到在平而衰减，直到在平稳稳状状态态达到极小达到极小值为值为止。止。