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1、1元 素 法元 素 法解 题 步 骤解 题 步 骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式一、第六章主要内容一、第六章主要内容所求量的特点所求量的特点（1）U是与一个变量是与一个变量x的变化区间的变化区间 ba,有关 的量；（有关 的量；（2）U对于区间对于区间 ba,具有可加性，就是说， 如果把区间具有可加性，就是说， 如果把区间ba,分成许多部分区间，则分成许多部分区间，则U相 应地分成许多部分量，而相 应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之 和；等于所有部分量之 和； （3）部分量）部分量iU 的近似值可表示为的近似值可表示为iixf )( ；就可以考虑用定积分来表达这个量就可以考
2、虑用定积分来表达这个量 U. 1、所求量的特点1、所求量的特点1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为 积分变量，并确定它的变化区间为 积分变量，并确定它的变化区间,ba； 2）设想把区间）设想把区间,ba分成分成 n个小区间，取其中任 一小区间并记为个小区间，取其中任 一小区间并记为,dxxx+ +，求出相应于这小区 间的部分量，求出相应于这小区 间的部分量U 的近似值如果的近似值如果U 能近似地表 示为能近似地表 示为,ba上的一个连续函数在上的一个连续函数在 x处的值处的值)(xf与与 dx的乘积，就把的乘积，就把dxxf)(称为量称为量 U的元素
3、且记 作的元素且记 作dU，即，即dxxfdU)(= =； 3）以所求量）以所求量U的元素的元素dxxf)(为被积表达式，在区间为被积表达式，在区间,ba上作定积分，得上作定积分，得 = =badxxfU)(，即为所求量，即为所求量U2、解题步骤2、解题步骤3、定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积3、定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积xyo)(xfy = = = =badxxfA)( =badxxfxfA)()(12A直角坐标情形直角坐标情形abxyo)(1xfy = =)(2xfy = =Aab如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 = = )()( tytx
4、 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 = =baydxA（其中（其中1t和和2t分别与分别与 x = a, x = b 对应）对应） 在在1t,2t（或（或2t,1t）上）上)(tx = =具有连续导数，具有连续导数，)(ty = =连续连续.参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数 =21)()(ttdttt = =dA2)(21xo d )( = =r xo)(2 = =r)(1 = =r =dA)()(212 12 2极坐标情形极坐标情形2(2) 体积(2) 体积dxxfVba2)( = = dyyVdc2)( = =xyo)(yx = = cdxdxx + +xyo( )( )xfy = =
5、 = =badxxAV)(平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积xoxdxx + +ab)(xAxyo)(xfy = =abxdxx+ +dxxfxVbay| )(|2 = =(3) 平面曲线的弧长(3) 平面曲线的弧长xoyabxdxx + + dy 弧长弧长dxysba +=+=21A曲线弧为曲线弧为 = = )()(tytx )( t其中其中)(),(tt在在, 上具有连续导数上具有连续导数弧长弧长dttts +=+= )()(22)(xfy = =B曲线弧为曲线弧为C曲线弧为曲线弧为)( )( rr = =弧长弧长 drrs +=+=)()(22(4) 旋转体的侧
6、面积(4) 旋转体的侧面积xdxx + +xyo)(xfy = =bxaxfy = =, 0)( +=+=badxxfxfS)(1)(22 侧侧(5) 变力所作的功(5) 变力所作的功)(xF o abxdxx + +x =babadxxFdWW)(6) 水压力(6) 水压力xyo abx dxx + +)(xf=babadxxgxfdPP)( (7) 引力(7) 引力xyxdxx + +oAl l += +=llllyy xadxGadFF23 22)( . 0= =xF)(为引力系数为引力系数G(8) 函数的平均值(8) 函数的平均值 =badxxfaby)(13二、典型例题二、典型例题计
7、算下列各题计算下列各题1例例所围图形的面积；与直线上由曲线）求区间（1, 0,sin2, 01=yxxy 0 . 2 50 . 50 . 7 511 . 2 51 . 50 . 20 . 40 . 60 . 81()() =20sin1 dxxA解解12= 的体积；轴旋转一周所得旋转体轴和该图形绕所围图形的面积及与）求由曲线（yxxyxy222,2=- 2- 112- 2- 1123438)1 (4)2(1021122=dxxdxxxA解解 =10221022)()2(2dxxdxxVx 320)24(2102 =dxx +=212102)2()(dyydyyVy = =1022)2(2dxx
8、xxVy = =求由双纽线求由双纽线0xyar2=2=2222cos. .2122a . .由对称性由对称性.例例2a 2 2a6 = =)()(222222所围而且在圆周 所围而且在圆周 yxayx=+=+内部的面积。内部的面积。双纽线化成极坐标双纽线化成极坐标2)2316(a+=+= 令令 r = 0,4=4= k6=6= k,2=2=ar令令dcos221246aS = 4+.4 = =22 2 22 2ayx=+=+a aoyx=aydxA 04)1(0223sincos3sin4 tdttata=2 0642)sin(sin12 dttta;83 221 43 65 221 4312
9、22aa= =+=2 022)()(4)2( dttytxs;6cossin342 0atdtta= =axdxyV 022)3( 02262sincos3sin2 tdttata32 0973 10532)sin(sin6adttta =.)3(;)2( ;)1(:),0( sincos333体积和表面积轴旋转而成的旋转体的它绕它的弧长它所围图形的面积试求设星形线方程为例xa taytax =换元换元下限下限 x所围成 的图形绕y轴旋转构成旋转体的体积. 213),(, 0)(,)(6SSbaxfbabaxf= 使证明存在唯一一点）内有上连续，且在（在设例 t解解设任取设任取),(bat d
10、xtfxfdxxftftFbtta=)()(3)()()(即连续，在则,)(batF)0)(, 0)()(3)(=dxxfbfbFba存在性由零点定理存在性由零点定理, 0)(),(= Fba使使.3,21SSba=）使（即=）使（即,3)(21SStF=唯一性唯一性)()(3)(3)(3)()()()()(tftbtftftftfattftF+=0)()(3)( + + = =tftbat.,)(唯一故 唯一故 tF)()(3)(3)()()(tftbdxxfdxxftfatbtta+=dxtfxfdxxftftFbtta=)()(3)()()(Q213),(, 0)(,)(6SSbaxfb
11、abaxf= 使证明存在唯一一点）内有上连续，且在（在设例 t解(1) 直角坐标解(1) 直角坐标xyOa22)(axay=22)()(axaaxy = =222 )(1 axaadxdxyds =+= =+= = =aaxaadxs2022)(2aaaxa20arcsin2 = =a 2= =.)(7222的周长分别用三种坐标计算圆例ayax=+=+xyOa(2) 参数方程(2) 参数方程 = =taytaaxsincos令令t)20( tdtyxds22+=+=adt= =aadts 220= (3) 极坐标(3) 极坐标 cos2ar = = 22 drrds22+=+= ad2= =
12、= =222 adsa 2= =5例8例8.,4,20,3050,力求闸门一侧所受的水压米顶部高出水面如果闸门米高为米米和分别为梯形的上下底如图所示一等腰梯形闸门力求闸门一侧所受的水压米顶部高出水面如果闸门米高为米米和分别为梯形的上下底如图所示一等腰梯形闸门解解xyo164 x dxx + +AB如图建立坐标系如图建立坐标系,的方程为则梯形的腰的方程为则梯形的腰 AB.2321+=+=xy此闸门一侧受到水压力为此闸门一侧受到水压力为 +=+=160)2321(2dxxgxP 16 023 )233(xxg+=+= )25623409631(+=+=g g 67.4522= =).(1043.
13、47N.cos1cos9部分的面积所围图形的公共及求由例=rr解解 = = cos1cos rr,3 =的极坐标得交点=的极坐标得交点C于是所求面积为于是所求面积为 +=2323 02 1cos21)cos1(2122 ddAA.31272sin41 212sin41sin22342cos1 42cos1cos2122330233 0= + += + += ddhRxoxA(x)A(x)yh=2222=xRhV = RRxxAd )( 2222=RRxxRhd hR dcos22 022 = =hR2 221=21= .Ry.求以半径为求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶， 高为的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶， 高为h的正劈锥体的体积。的正劈锥体的体积。y例10例10 一、 选择题：1、 曲线一、 选择题：1、 曲线xyln= =与直线与直线ex1= =，ex = =及及0= =y所围成的区域的面积所围成的区域的面积= =S（ ） ；（A）（ ） ；（A）)11(2e ； （B）
