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1、习题 62 1. 求图 621 中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为0, 1. 所求的面积为 6112)(12231=xxdxxxA. 2300解法一x 轴上的投影区间为0, 1. 所求的面积为 0画斜线部分在 y 轴上的区间为1, e. 所求的面积为 (2) 画斜线部分在1| )()(11=xxeexdxeeA, 0解法二投影1) 1(|lnln=eedyyyydyAeee. 111(3) w w w .k h d a w .c o m课后答案网解 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为3, 1. 所求的面积为 3322)3(132=dxxxA. (4) 解 1
2、, 3. 所求的面积为 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为332| )313()32(3132312=+=+=xxxdxxxA. 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 2 21xy=与x2+y2=8(两部分都要计算); 解: 388282)21222228(202 002 0221=dxxdxxdxxdxxxA 323cos164 02+=tdt. 48w w w .k h d a w .c o m课后答案网346)212=S. 2(2=A (2)xy=1与直线 y=x 及 x=2; 解: 所求的面积为 =A =202ln23)1(dxxx. ex, y=ex与直线x=1; 解:
3、所求的(3) y=面积为 +=1021)(eedxeeAxx. (4)y=ln x, y 轴与直线 y=ln a, y=ln b (ba0). 解 w w w .k h d a w .c o m课后答案网所求的面积为 abedyeAb aybay=ln lnlnln3. 求抛物线y=x2+4x3 及其在点(0, 3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解: 过点(0, 3)处的切线的斜率为 4, 切线方程为 y=4(x3). , 切线方程为 y=2x+6. y=2 x+4. 过点(3, 0)处的切线的斜率为2两切线的交点为) 3 ,23(, 所求的面积为 49 34(62)34(342
4、3023232=+=dxxxxxxxA. 4. 求抛物线y2=2px及其在点),2(pp处的法线所围成的图形的面积. 解 2yy=2p . 在点处, 1),2(=ppypy,),2(pp法线的斜率 k=1, 法线的方程为)2(pxpy=, 即ypx=23. w w w .k h d a w .c o m课后答案网),2(pp求得法线与抛物线的两个交点为和)3,29(pp. 法线与抛物线所围成的图形的面积为 2332 32316)61 21 23()223(pypyypdypyypAp ppp=. 5. 求由下列各曲线 所围成的图形的面积; (1)=2acos ; 解: 所求的面积为 =2221
5、 2 02cos4)cos2(2dadaA=a2. acos3t, y=asin3t; 解 2(2)x=所求的面积为 =2 04220233 0sincos34)cos()sin(44tdttatadtaydxAa22 062 042 83sinsin12atdttdta =. w w w .k h d a w .c o m课后答案网(3)=2解 所求的面积为 a(2+cos ) 2202220218)coscos44(2)cos2(221adadaA=+=+=. 6. 求由摆线 x=a(tsin t), y=a(1cos t)的一拱(0t2)与横轴 所围成的图形的面积. 解: 所求的面积为
6、=aaadttadttataydxA20222020)cos1 ()cos1 ()cos1 (22023)2cos1cos21 (adtttaa=+=. 7. 求对数螺线=ae()及射线=所围成的图形面积. 解 w w w .k h d a w .c o m课后答案网所求的面积为 )(42)(2edeadae11222222=ea. 8. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积. (1)=3cos 及=1+cos 解 曲线=3cos 与=1+cos 交点的极坐标为A)3,23(A, )3,23(B. 由对称性, 所求的面积为 45)cos3 (21)cos1 (21 22323 02=+=dd
7、A. (2)sin2=及 解 2cos2=.)6,22(.曲线sin2=与2cos2=的交点 M 的极坐标为 M 所求的面积为 231 62cos21)sin2(21 2466 02+=+= ddA. w w w .k h d a w .c o m课后答案网于曲线ex下方, 9. 求位y=该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积. 解 设直线y=kx与曲线y=ex相切于A(x0, y0)点, 则有 xyeykxyxx00 )(0000 , , y0=e, k=e . 所求面=ke求得x0=1 积为 21ln21)ln1( 00020edyyyyyyedyyyeeeee=+=. 10
8、. 求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值. 解 设弦的倾角为. 由图可以看出, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为 10AAA+=.显然当2=时1=0; 当, A21因此, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为 0. 2030038 3822axadxaxAaa=. 1. 把抛物线y2=4ax及直线x=x0(x00)所围成的图形绕x轴旋转, 计算 得旋转体的体积. 1 所解 所得旋转体的体积为 2 0022224000xaaxdxdxyVxxx=00xa. 12. 由y=x3, x=2, y=0 所围成的图形, 分别绕x轴及y轴旋转, 计算所得转所得旋转体
9、的体积为 两个旋转体的体积. 解 绕 x 轴旋7128 71207206202=xdxxdxyV x. 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为 w w w .k h d a w .c o m课后答案网=803280223282dyydyxVy 564 53328035=y. 所围成的图形, 绕 x 轴旋, 计算所得旋转体的体积. 解 由对称性, 所求旋转体的体积为 13. 把星形线转3/23/23/2ayx=+dxxadxyVaa=22 22= 0333)(2 030234 32 32 34 2 10532)33(2adxxxaxaaa=+=. 14. 用 积 分 方 法 证 明 图 中 球 缺 的
10、 体 积 为)(2HRHV=. 3证明 =RHRRHRdyyRdyyxV)()(222)3()1(32yyRRHR= 32HRH. 15. 求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生 的体积: (1 的旋转体)2xy=,2yx=, 绕 y 轴; )(22=dyyydyV 解 103)51 21(10521010=yy. (2)axaych=, x=0, x=a, y=0, 绕 x 轴; 解 =102ch udu302202ch)(axdxaxadxxyVaa令auw w w .k h d a w .c o m课后答案网1022)()2(uuuduee=+=22310321221 44u
11、eueaa+) 2sh2(43+a= . (3)216) 5(2=y, 绕 x 轴. 解 +x+=44224422)165 ()165 (dxxdxxV 24021601640=dxx .x= (tsin t), =a(1cos t)的一拱, y=0, 绕直线 y=2a . 解 adyyadxaV 02202)2()2( 23237)8ataa=+=. 16. 求圆盘(4)摆线a ya2=+=202223)sin()cos1 (8ttdataa 0sincos1 (tdta232222ayx+绕 x=b(ba0)旋转所成旋转体解 的体积. +=aaaadyyabdyyabV222222)()(
12、 2202228badyyaba=. 17. 设有一截锥体, 其高为 h, 上、下底均为椭圆, 椭圆的轴 2a、2b 和 2A、求这截锥体的体积. 解 建立坐标系如图. 过 y 轴上 y 点作垂直于 y 轴的平面, 则易得其 长分别为2B, 平面与截锥体的截面为椭圆,长短半轴分别为yhaAA, yhbBB. 积为)()(y截面的面hhBByaAAb. 于是截锥体的体积为w w w .k h d a w .c o m课后答案网)( 261)()(bVh= 0ABahdyyhbBByhaAA+=. 计算底面是半径为 R 的圆, 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角 . x 且垂直于 x
13、( ) 件知, 它是边长为bAaB18. 形的立体体积解 设过点轴的截面面积为 A x , 由已知条xR 2的等边三角形的面积, 其值为 )(3)(22xRxA=, 322 334)(3RdxxRV R=R 所以 a. 如图, 在 x 处取一宽为 dx 的边梯形, 小曲边梯形绕 y 积近似为 2xf(x)dx, 这就是体积元素, 即 dV=2xf(x)dx, y 轴旋转所成的旋转体的体积为=babdxxxfdxxxfV)(2)(2. 用题 19 和结论, 计算曲线 y=sin x(0x)和 x 轴所围 成的图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积. 解 . 19. 证明 由平面图形 0axb, 0y
14、f(x)绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积为=bdxxxfV)(2证明 小曲轴旋转所得的旋转体的体于是平面图形绕 a20. 利2 0002)sincos(2cos2sin2=+=xxxxxdxdxxV. y=ln x 上相应于83 21. 计算曲线x的一段弧的长度. 解 +=+=+=82838 x32321)1(1)(1dxxxdxdxxys, t12= tx,x+21=, 即 则 令23ln21111 1113223232222322+=+=ts=dttdtdttdttt tt. w w w .k h d a w .c o m课后答案网)3 (x 22. 计算曲线3弧的长度. xy=上相应于 1x3 的一段解 xxxy3=, 1xy2=, x1 21xxy4112+=, 21 4)(12xy+=+, 1 21 x为 所求弧长3432)
