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1、 - 1 -梯形常见计算题型解密梯形常见计算题型解密梯形是一种特殊的四边形，而利用梯形的知识进行有关的计算则是梯形中遇到的常见题型.处理梯形的计算问题必须把几何知识与代数知识有机的结合在一起，充分发挥数形结合的作用，必要时要综合利用梯形和其它的知识构造出方程求解，那么涉及梯形常见的计算题型有哪些呢？下面简单地归类说明，供同学们学习梯形的知识参考.一、计算角度的大小问题一、计算角度的大小问题例 1 在梯形 ABCD 中，DCAB，ADBC，A60，BDAD.求DBC 和C 的大小.分析 依据题意可以画出如图 1，由已知条件可知梯形 ABCD 是等腰梯形，且底角为60，对角线与腰垂直，于是再利用三
2、角形内角和等于 180即可求解.解 如图 1，梯形 ABCD 中，因为 DCAB，A60，所以ADC120，又因为 BDAD，所以ADB90，即ABD30，而 ADBC，所以ABC60，CADC120，所以DBC30.答 DBC 和C 的大小分别是 30和 120.二、计算线段的长度问题二、计算线段的长度问题例 2 如图 2，已知梯形 ABCD，上底 AD12，下底 BC28，EFAB 分别交AD、BC 于点 E、F，且将梯形分成面积相等的两部分.试求 BF 的长.分析 已知梯形被 EF 分成两部分，且一部分是平行四边形，而另一部分仍然是梯形，这两个部分的高是相等，此时可以设 BFx，则 FC
3、28x，则由面积相等构造出方程求解.解 设 BFx，则 FC28x.又设 AD 与 BC 间的距离为 h，即梯形和平行四边形ABFE 的 BF 边上的高为 h.在梯形 ABCD 中，因为 ADBC，EFAB，所以四边形 ABFE 是平行四边形，所以 AEBFx，DE12x.图 1ADCBD图 2AFBCED图 3ABCE- 2 -因为平行四边形 ABFE 的面积BEh，梯形 EFCD 的面积(DE+FC)h，1 2所以 xh(12x)+(28x)h，解得 x10，1 2答 BF 的长为 10.三、确定梯形某边的取值范围三、确定梯形某边的取值范围例 3 已知梯形上底长为 2，下底长为 5，一腰长
4、为 4.求另一腰的取值范围.分析 可依据题意画出如图 3，此时不妨设 AD2，BC5，CD4，若要求另一腰AB 的范围，只需将此转化到某一个三角形中来，于是可以利用梯形常用的辅助线，即平移一腰，则过点 A 作 AECD 交 BC 于点 E，这样再利用三角形的三边关系定理即可求得.解 如图 3，由已知条件设 AD2，BC5，CD4，过点 A 作 AECD 交 BC 于点E，因为 ADBC，所以四边形 AECD 是平行四边形，所以 ECAD2，AEDC4，所以 BE3，在ABE 中，由三角形的三边关系定理，得 AEBEABAE+BE，所以 43AB4+3，即 1AB7.答 另一腰的取值范围是大于
5、1 而小于 7.四、求梯形的周长四、求梯形的周长例 4 如图 4，在梯形 ABCD 中，ADBC，B90，ADAB2，且 BDCD，求梯形 ABCD 的周长.分析 要求梯形 ABCD 的周长，已知，ADAB2，只要根据条件求出 BC 和 CD 的长即可.解 因为 ADBC，B90，ABAD，所以AABC90，ABDADBDBC45.又 BDCD，所以BDC90.在 RtABD 中，因为 ADAB2，所以由勾股定理，得 BD2，22222而 BDCD，所以 CD2，RtBDC 中，由勾股定理，得 BC24.即 AB+BC+CD+AD2+4+2+28+2.22(2 2)(2 2)22答 梯形 AB
6、CD 的周长是 8+2.2- 3 -五、求图形的面积问题五、求图形的面积问题例 5 如图 5，在梯形 ABCD 中，ABCD，对角线 ACBD，且 AC4，BD5，求梯形的面积.分析 考虑对角线互相垂直，可以利用梯形的一种常见辅助线，即添加梯形对角线的平行线构造BDCE 和 RtACE.解 过点 C 作 CEBD 交 AB 的延长线于点 E.因为 ABCD，所以四边形 BDCE 为平行四边形.因此 CEBD5，BEDC.又因为 C 到 BE 的距离等于 A 到 CD 的距离，所以ACD 的面积BEC 面积.从而梯形 ABCD 的面积AEC 的面积.因为 ACBD，CEBD，所以 ACCE，即A
7、EC 的面积ACCE4510.1 21 2答 梯形 ABCD 的面积是 10.六、探索实际问题六、探索实际问题例 6 用 20 米的篱笆可以围成一个面积为 25 平方米的正方形园地，如果用 20 米长的篱笆围成一个三边相等且对角线和腰互相垂直的等腰梯形，试问：这个等腰梯形的面积比正方形的面积小多少平方米？分析 只要求出等腰梯形的面积即可解答问题.解 如图 6，因为 ADBC，且 ABAD，所以ABDADBCBD.而ABCC，所以CBDABCC. 而BDC90，即CBD30.1 21 2所以C60，所以 BC2CD.又 BC+CD+DA+AB20(米)，所以 5CD20(米)，则 CDDAAB4
8、(米)，BC8（米）.所以梯形 ABCD 的高为 2(米).所以梯形 ABCD 的面积(4+8)212(平31 233方米).图 5BADC 图 4CBDA- 4 -所以梯形 ABCD 的面积比正方形面积小(2512)平方米.3七、费用与图案设计七、费用与图案设计例 7 某生活小区的居民筹集资金 1600 元，计划在一块上、下底分别为 10m、20m 的梯形空地上种植花木（如图 7）.（1）他们在AMD 和BMC 地带上种植太阳花，单价为 8 元/m2，当AMD 地带种满花后（图 7 中阴影部分） ，共花了 160 元，请计算种满BMC 地带所需的费用.（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种
9、花木可供选择，单价分别为 12 元/m2和10 元/m2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？（3）若梯形 ABCD 为等腰梯形，面积不变（如图 8） ，请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点 P，使得APBDPC 且 SAPDSBPC，并说出你的理由.分析（1）要计算种满BMC 地带所需的费用，只要求出BMC 的面积与AMD 的面积的比，此时可以作BCM 的中位线 EF，则知FMEAMD，即可知道AMD 的面积与BMC 的面积的比是 14，从而求出费用；（2）由（1）可知AMD 的面积与AMB 的面积比是 12，而AMB 的面积等于CMD 的面积，再由余下的资金即可确定应选择种哪种花木
10、；（3）要要梯形内找到一点 P，且符合题意，由于等腰梯形是轴对称图形，所以点P 首先应在其对称轴上，而 BC 是 AD 的 2 倍，此时的点 P 又必须满足到 AD 的距离与到BC 的距离之比是 21 即可.解（1）如图 6，作BCM 的中位线 EF，则 EFBC，即 EFAD，且EFBC10mAD，.所以FME 的面积等于BMC 的面积，并有FMEAMD，1 21 4所以FME 的面积等于AMD 的面积，BMC 的面积等于AMD 的面积的 4 倍.而AMD 的面积是 160 元8 元/m220m2，所以BMC 的面积等于 80m2，所以种满BMC 地带所需的费用 80m28 元/m2640
11、元.（2）由（1）可知 BM2DM，即AMB 的面积是AMD 的面积的 2 倍，所以AMBDBM图 6AC10m20mFEDB图 7AC10m20mP- 5 -的面积是 40m2，又AMB 的面积等于CMD 的面积，所以AMB 的面积+CMD 的面积80m2，而余下的资金是 1600 元160 元640 元800 元，此时有 800 元80m210 元/m2，故应单价为 10 元/m2的花木，刚好用完所筹集的资金.（3）因为等腰梯形是轴对称图形，所以要使得APBDPC，点 P 应在其对称轴上，又 SAPDSBPC，而 BC 是 AD 的 2 倍，所以此时的点 P 又必须满足到 AD 的距离与到 BC 的距离之比是 21 即可，如图 7 中的虚线，其中 P 点即为所求.
