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1、第六章第六章 留数留数1 留数 教学目的与要求:了解留数的定义及留数定理;掌握留数的计算方法;掌握留数定理. 重点: 留数的定义及留数定理;留数的求法. 难点：留数定理及留数的求法. 课时：2 学时定义 6.1 设在内解析，则称积分 （6.1） ( )f z00zzR1( )2Cf z dzi为在孤立奇点的留数，记作( )f z0z0Re ( ,)s f z其中0:,0C zzrrR（6.1）所定义的留数与圆的半径无关，事实上，内，0Re ( ,)s f zCr00zzR的洛朗展式为( )f z0( )()nn nf zCzz上述在任一圆上一致收敛，故逐次积分得0:(0)CzzrrR.012(
2、 )2()nnCCnif z dziCzzdzC 即，也就是说等于在的洛朗展式中这一项的01Re ( ,)s f zC0Re ( ,)s f z( )f z0z01 zz系数，故它与的半径无关Cr显然，如果为的解析点或可去奇点，则0z( )f z0Re ( ,)0s f z下面我们叙述几种常见的留数计算公式：（）设为的一阶极点，则在内有0z( )f z00zzR（6.2）01( )( )f zzzz其中在内解析，其泰勒展式为：( ) z0zzR（6.3）0 0( )n n nzb zz且于是的洛朗展式中的系数等于，故00()0bz( )f z01 zz0()z（6.4）000Re ( ,)li
3、m() ( ) zzs f zzzf z （）若在内有，且，均在内解析，00zzR( )( )( )P zf zQ z( )P z( )Q z0zzR及为的一阶零点，在内 （） ，于是为0()0P z0z( )Q z0zzR( )0Q z 0zz0z的一阶极点，因此由（6.4）得( )f z（6.5）000Re ( ,)lim() ( ) zzs f zzzf z 00 0 0()( )lim()( )( )()zzP zP zzzQ zQ zQ z() 设为的阶极点，则在内有且在0z( )f zm00zzR0( )( )()mzf zzz( ) z内解析，它的泰勒展式为（6.3） ，于是0z
4、zR0()0z01Re ( ,)ms f zb显然，0(1)(1) 0 1()( )lim(1)!(1)!mmmzzzzbmm因而也可按下列公式计算：0Re ( ,)s f z（6.7）0(1) 001Re ( ,)lim()( )(1)!mmzzs f zzzf zm例 求函数在奇点处的留数2( )1izef zz解： 有两个一阶极点，于是根据（6.5）得( )f zzi 2( )Re ( , )( )22iP ieis f iQ iie 2()Re ( ,)()22iPieis fieQii 例 求函数在奇点处的留数3cos( )zf zz解： 有一个三阶极点，故由（6.7）得( )f z
5、0z 3 3001cos11Re ( ,0)lim()lim( cos )222zzzs fzzz 例 求函数在奇点处的留数22( )(1)izef zzz解： 有一个一阶极点与两个二阶极点，于是由（6.4）及（6.7）可得( )f z0z zi 220Re ( ,0)lim1(1)izzes fz2 2223Re ( , )lim()lim(1)()4izizziziees f izizzz zie 26Re ( ,)lim()4izzieis fiez zi作业: 第 270-271 页 1 (2) (4) (6) , 2(2) (4). 留数的应用 教学目的与要求: 掌握用留数求周线积分
6、的方法，会用留数求一些实积分. 重点:用留数求围道积分的方法，用留数求一些实积分. 难点：用留数求围道积分的方法，用留数求一些实积分 课时：2 学时 本节我们主要介绍留数在积分计算中的某些应用（）形如的积分，其中表示关于与的有20(sin ,cos )Rxx dx(sin ,cos )Rxxsin xcosx理函数且在上连续( )R x0,2 令，则且，ixezdzdxiz21sin22ixixeezxiiz21cos22ixixeezxz其次，当由连续地变动到时，则连续地在周围上变动一周，故有x02z:1Cz （6.8）222011(sin ,cos )(,)22CzzdzRxx dxRiz
7、ziz例 求的值， （）2201 2 cosdx pxp01p解： 令，则由（6.8）得ixez222201 11 2 cos(1)()()CCdxdzdz pxpipzppzzpp由于，故在内，被积函数只有一个极点，于是01p1z zp222012122Re lim()111 2 cos1()()()()zpiszppxpipppzzpzzppp （）形如的积分，其中与分别为关于的和次多项式，且20( ) ( )P xdxQ x( )P x( )Q xxnm，为此我们需要借助下述一个引理：( ( ),( )1P x Q x2mn( )0Q x 引理 6.1 设圆周上的一段弧为，在（:CzR:
8、RCzRarg z( )f zRC充分大）上连续，若均有，则RRClim( ) Rz f zk lim( )()RCRf z dzik 例 求的值241x dx x解： 令，选取积分路径如图（6.1） ，22422( )1(1)(1)zzf zzzzCRi-RxyR则1( )( )2Re ( ,)RnRjRCjf x dxf z dzis f z 在内，有两个一阶极点及，从而RC( )f z1z zi1112Re ( ,)2242nj jis f ziii由引理 6.1 知，故lim( )0RCRf z dz 241()12x dxix（）形如的积分 （）( ) ( )i xP xedxQ x
9、0引理 6.2 设在半径圆周（，充分大）上连续，( )F z:ReiRCz0R且均有，则 （6.10）RzC lim( )0 RF z lim( )0Ri xCRF z edz例 求 （）22ixedxxa0a 解： 令，积分路径如图（6.1） ，221( )F zza图 6.1CRi-RxyR则在内只有一个一级极点对于，显然有( )F zRCzaiRzC 2222limlim( )RixixRizRCkReedxdxF z e dzxaxa222Re ,izaeisaizaae例 求20cos 1xdxx解： 由于对任意均有0R .22200cos1 12(1)21ixixixRRRRxee
10、edxdxdxxxx令，则在内只有一个一阶极点类似于例我们可得21( )1F xz( )F zRCzi.22220cos11lim2Re 12(1)1212RixixixRRCRxeeedxdxdzisixxxze作业: 第 271 页 4(1) (3), 5(1) (3)3 幅角原理及其应用 教学目的与要求: 重点: 难点： 课时：2 学时1. 对数留数：引理 6.2. 1）设 a 为 f 的 n 级零点，则必是的一级极点，且af f1( )()( )Re z afznf zsc 2）设 b 是 f 的 m 级极点，则 b 必是的一级极点，且.f f( )()( )Re z bfzmf zs
11、 证：由所设，1）在的某个领域内，有. 其中在的领域内a( )( )()nf zg zz a( )g za解析，且.( )0g a 1( )( )( )()()nnfzng zg zz az a即, 由在点解析便知：是的一级极点，且( )( ) ( )( )fzng z f zzag z( ) ( )g z g zaa( ) ( )fz f z.Re z afsnf2)由所设在的某去心领域内，有,其中在的某去心领域内解析，b( )( )()mh zf zz a( )h za且, 于是 .( )0h a ( )( ) ( )( )fzmh z f zzah z由于在点解析, 故为的一级极点，且(
12、 ) ( )h z h zaaf f( ) ( )Re z afzmf zs 定理 6.1 设为围线，满足 1）在内除可能极点外解析;C( )f zfC2）在上解析，且不取零，则.fC1( )( , )( , )2( )cfzdzN f cp f cif z（其中与分别表示在内部零点个数与极点个数几级算几个）( , )N f c( , )p f cfC证明：由已知条件知，在内至多只能有有限个零点与有限个极点，设( )f z为在内部不同的零点，其级分别为，为在(1,2,., )kkpafCkn(1,2,., )jjqbf内部不同的极点，其级分别为，由引理知，在上解析。在内部除了一Cjm( ) (
13、 )fz f zCC级极点，与处均解析.由留数定理，得kajb11111( )( )( )Re ()Re ()()2( )( )( ) jpqpqkj kjkjzcfzfzfzdzssif zf zf zbnm 1.辐角原理辐角原理：在定理 6.1 的条件下，arg( )( , )( , )2cf zN f cp f c特别地，若在内部解析，则fCarg( )(, )2cf zN f c证明：只要证明即可.但arg1( ) 2( )2cczfzdzif z0000001( )1ln()ln()2( )2 1ln()arg()ln()arg()2cfzdzffif zififfifizzzzzz
14、注: 辐角原理中的条件 2）可减弱为：连续到上，且在上fCfC( )0f z 例 8：设 ：试验试辐角原理2( )(1)(4)(2)f zzzzC3z 解：满足辐角原理条件。又( )f z( , )3N f c arg( )arg(1)2arg(2)arg(4)240ccccf zzzz3. 儒歇定理定理 6.2 设为围线，与满足：1）它们在内解析，且连续到，C( )f z( ) zCC2）在上 ，则C( )( )f zz(, )( , )N fcN f c证明：由已知条件，与 都在内部解析，且连续到( )f z( )( )f zzCC在上，C( )0f z ( )( )f zz要证明 即可arg( )( )arg( )ccf zzf z但( )argargarg(1)( )cccZfff z故只要证明( )arg(1)0( )cZ f z记，它把变为平面上曲线( )1( )Zwf z Cw但 故不会绕平面原点.( )11( )zwf zz
