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1、国民小学数学课程的改变国立台南师范学院数学教育系谢坚Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望課程銜接課程銜接 vs 版本銜接版本銜接課程銜接課程銜接:教育部課程標準實施不當所引出的銜接問題。版本銜接版本銜接:開放一綱多本，各校換版本所引出的銜接問題。版本銜接版本銜接九年一貫數學課程綱要能力指標1至至3 年級規劃為第一階段，4至至5 年級規劃為第二階段，6至至7 年級規劃為第三階段，8至至9 年級規劃為第四階段，沒有各個年級各個年級的分年指標。82年課程標準開放民間版本，產生了
2、版本銜接版本銜接問題，九年一貫課程讓版本銜接版本銜接的影響變的更嚴重，以容量教材而言，可能甲版本二年級出現，而乙版本三年級才出現。數學領域四個階段的區分方式，讓低中高年級教材的銜接，產生更多額外的問題。如何因應版本銜接的問題如何因應版本銜接的問題由各出版社負責，編寫銜接該出版社的銜接教材。由教師負責，自編版本銜接教材。要注意以前漏教了什麼?也要注意教材引入方式的差異?課程銜接課程銜接82年課程vs九年一貫課程四年內，一至九年級全面實施九年一貫課程所引起的課程銜接問題。小三升小四產生課程銜接問題。小六升國一產生課程銜接問題。小三銜接小四小三銜接小四:九年一貫課程第一階段的進度，比82年課程慢，因
3、此部份教材重複出現，浪費學童學習的時間。小六銜接國一小六銜接國一:九年一貫課程進度比82年課程快，因此漏教部份教材，尤其以分數四則最為嚴重。 82年課程年課程 九年一貫課程九年一貫課程三升四三升四比較快比較慢六升國一六升國一比較慢比較快九年一貫課程，四年級開始時的進度比82年課程慢，但是升國中時，九年一貫課程的進度變成比82年課程快，也就是說，高年級教師將面臨課程教不完的困境。82年課程年課程 vs 九年一貫課程九年一貫課程的課程銜接問題的風暴已經過去，只剩下今年小六升國一的學童面臨銜接問題。1至至5 年級(含大班)的學童又將面臨新的數學課程銜接問題。新的數學課程銜接新的數學課程銜接:九年一貫
4、課程九年一貫課程 vs 九年一貫課程九年一貫課程只有數學領域有課程銜接問題。94年起，國小學童升國中時，都會面臨(連續六年)的課程銜接問題。如何因應九十四年要實施的數學課如何因應九十四年要實施的數學課程標準程標準?課程綱要教材的內容以及進度有那些差異?課本的編輯理念及編寫方式有那些差異?如何透過體制內或體制外來因應?九十四年要實施的數學課程綱要和九十四年要實施的數學課程綱要和九年一貫課程綱要教材內容及進度九年一貫課程綱要教材內容及進度的差異的差異:1至4年級的進度，比九年一貫的教材快很多。5至6年級的進度，和九年一貫的教材差不多。但是，多了一些不好處理的教材。整數概念整數概念:1至3年級引入1
5、萬以內的數。4年級引入所有的整數。整數的四則運算整數的四則運算:四年級處理完所有整數的四則運算及其關係。年級能作整數四則混合計算（兩步驟），並引入併式記錄。加減問題加減問題:年級熟練二位數加減直式計算。年級熟練四位數加減直式計算。年級能熟練整數加減乘除的直式計算。沒有引入電算器。乘法問題乘法問題:年級能熟練三位數乘以一位數的乘法直式計算，並解決二位數乘以二位數的乘法問題。年級能熟練整數加減乘除的直式計算。沒有引入電算器。除法問題除法問題:年級能進行分裝與平分的活動。年級能熟練三位數除以一位數的直式計算。年級能熟練整數加減乘除的直式計算。沒有引入電算器。概數概數:年級能作三位數以內的加減估算，用
6、來檢驗答案的合理性。能用四捨五入、進位、捨去等方式對一個數量取概數，並利用概數做簡單的估算。分數分數:年級解決同分母分數的比較及加減問題。年級能作假、帶分數的加減。年級能理解等值分數，進行異分母的比較，簡單分數與小數的互換年級能理解分數之整數相除的意義（等分除）。年級能理解分數之整數相除的意義（包含除）。年級能透過約分，擴分求等值分數。年及能理解通分的意義，解決簡單異分母加減問題。年級能理解乘數為分數的意義及計算方法。小數小數:年級引入一位小數（整數部份兩位數），並作比較與加減計算年級能認識二、三位小數。年級能用直式處理三位小數的加減及整數倍問題。年級能作整數除以整數，商數是三位小數的計算。年
7、級能認識多位小數。年級能用直式處理小數乘以小數的計算。年級能將小數標記在數線上。六年級增添的教材六年級增添的教材:正比及反比的概念。認識質數、合數，作質因數分解。理解最大公因數，最小公倍數，互質的意義。能理解等量公理等量公理。能透過列表的方式認識變數。能繪製圓形圖。可能因應的方式:在國小課程全部教完後，再找時間將不足的教材一次教完。由各個年級開始趕上進度，在國小畢業前將所有教材教完。幼稚園大班到五年級的學童，追趕進度的時間都不相同。體制內可能的因應方式(前提是必須增加數學課程的時間):教師自編教材。追趕課本的進度，例如三年級下學期就開始教四上的教材。體制外可能的因應方式:出版社編寫一套進度超前
8、的參考書(不必送審)，上課不使用課本，改用參考書教學。送到安親班或補習班，教過的教材在學校會再教一次。教育部各師範院校(含有國小教育學程的大學)或各縣市輔導團可能的因應方式:社會上對建構式數學的質疑社會上對建構式數學的質疑! 台大數學系黃敏晃教授，先編寫人人稱讚的數學課本，再編寫人人喊打的數學課本。經過二十年反省所編寫的新課程，是否有一些改變是合理的?是對學童有幫助的?很多人質疑： 為什麼要學童用笨方法笨方法解題？ 為什麼不直接教學童最有效率最有效率的解題策略？讓學童用笨方法笨方法解題的目的是什麼？引入加、減、乘、除等運算時，應該只學習唯一算則只學習唯一算則？或先接受學童法，等待認知發展先接受
9、學童法，等待認知發展成熟後才引入算則成熟後才引入算則？學童法學童法：學童自己可以發展出來的解題策略。算則算則：某年代、某地區，大多數人所使用最有效率的解題策略。3825( )點數策略。先分解再合成策略。加法算則。點數策略點數策略分別做出被加數及加數再點數合起來是多少。學童可以發展出這種策略嗎?學童可以提升解題的效率嗎?只做出加數，再由38（被加數）開始往上點數，38，48，58，59，60，61，62，63得到答案。學童可以發展出這種策略嗎?學童可以提升解題的效率嗎?當學童能使用手指頭當做加數的計數器時，就可以省略第二次的做數活動。利用手指頭幫忙算算看:3825( ) 738275( )998
10、25( ) 先分解再合成策略(先將原問題分解成好算或已經背起來的數字，再一步一步算出答案)。 讓學童有使用學童法解題的經驗，對理解加法的意義是否有幫助?讓學童對大數字比較有感覺。讓學童比較有數感。讓學童更能掌握加法的解題活動類型(簡易的數學模型) 。成人的經驗(64年課程):整數分數小數加減乘除的方式都一樣(只教算則)。像如何解題部份的題目，才會出現很多不同的解法。現在的課本:引入整數分數小數加減乘除時，也接受學童法。算則是學童不可能自己發展的解題策略，太早引入算則，學童可能會混淆運算的意義。教師應該分辨:課本何時開始引入算則?學童法不必精熟，引入的目的是幫助學童理解加減乘除的意義，算則才需要
11、精熟。能分辨一個問題應該使用那種運算方式，與能夠快速的算出答案，那種能力比較重要？加、減法的教學模式第一種:在教師的協助下，學童自己發展加減運算，只要能夠成功解題即可（必須發展出較有效率的點數策略或先分解再合成策略），不強求學童必須使用加減算則解題（提供學童學習加減算則的機會，但不強制要求學會）。第二種:在教師的協助下，先讓學童自己發展加減運算，讓學童有主動成功解題的經驗，等待認知發展成熟或形成解題活動類型後，再幫助學童發展加減算則，並要求學童學會。第三種:只幫助學童發展出加減算則，並要求學童學會。64年教材，採用的是第三種模式，82年教材，採用的是第二種模式，但部份教師誤以為是第一種模式。九
12、年一貫的教材,採用的是那一種模式?九十四年開始實施的教材，採用的是那一種模式?年課程編輯模式（只學習唯一算則)(以加法運算為例）：為什麼年課程強調具體具體物操作物操作 半半具體物操作具體物操作 形式運算形式運算年課程透過下列三步驟，引入加減問題的教材。步驟一:先布一、二個文字題，再利用數學上同構同構的概念，透過具體物操作，半具體物操作，形式（符號）操作的方式，解釋加法運算每一個步驟的意義。步驟二:教師舉例示範計算規則，並布大量的計算題（純數字題），要求學童熟練此計算規則，以作為解題工具之用。你以前花了多少時間在熟練計算?步驟三: 教師先舉例示範如何應用加法計算來解決加法問題，再給予學童一些文字
13、題（應用問題），期望學童能把計算規則應用在加法問題的情境之中。以前稱之為應用問題，現在稱之為文字題或情境題。年課程如何透過同構同構解釋加法運算的意義課程編寫者先思考解決加法問題可能有那些策略，再思考這些解題策略中，那一種是最有效率的，那一種是社會上大多數人所使用的，最後選定最有效率的算則，當做學童學習唯一的方法。選定要教學的唯一解題策略後，課程編寫者先分析這種特殊解法特殊解法（算則）的結構，思考學童必須有那些先備經驗後，才能學習算則。一位加一位的加法。合十與拆十。位值概念(個位與十位)。逢十進一的原則。這些先備經驗只是為了引入算則舖路，學童可能無法理解算則的意義，課程編寫者透過同構的概念落實在
14、具體操作層次，再透過畫圖像半具體物的方式，幫助學童看到操作吸管和畫圖像間滿足同構關係，希望學童能將這種同構關係類推到圖像（吸管）和直式計算上。 38 +25 13 +5 63請分析每一個運算步驟的意義:拿出（）根吸管，每根綁成綑（綑根）。先算零散的吸管有根，根綁成綑，合起來是綑根。再算綑和捆合起來是綑，加上多出的綑共有綑。6綑是60根，得到綑和根合起來是根。直式算法，和操作具體物的方式，是否滿足同構同構的關係?課程編寫者再透過畫圖像的方式，幫助學童看到操作吸管和畫圖像滿足同構的關係，希望學童能將這種同構關係，類推到圖像（吸管）和直式計算上。使用同構的概念幫助解題，是一種很重要的數學能力，教師應
15、如何幫助學童發現並掌握兩種解法間的同構關係？國小數學教材中,有那些教材滿足同構關係?兔子1分鐘跑8公尺，獵犬1分鐘跑10公尺，兔子先跑5分鐘後獵犬追之，問獵犬幾分鐘後能追上兔子？點到點間，時針和分針兩針點到點間，時針和分針兩針何時會重疊？何時會重疊？這兩個問題，滿足同構關係嗎？你能透過同構關係解題嗎？8x5=40(兔子在獵犬前面的距離)40 (10-8)=20(獵犬何時追上兔子)30x4=120(時針在分針前面的角度)120 (6-0.5)=(時針何時追上分針)每分鐘分針轉6度，時針轉0.5度。時分384 7/13447+25+3 8/13+338這三個問題是否滿足同構關係同構關係?年課程的省
16、思：只教一種特殊解法（成人算則），是否讓學童產生數學一定要教過才會的迷思？將計算視為解決應用問題的工具，是否影響學童選擇正確運算方式的能力？透過同構的方式，學童學到的可能偏向計算能力，對概念的掌握是否能落實？學童不理解算則的意義，但是能模仿成人依序算出答案，和按計算器解題有何不同？當計算器具不普遍時，將學童訓練成會走路的計算機，算的又快,又準,又狠是合理的。當計算器具使用方便且普遍時，還需要算的又快,又準,又狠嗎?遇到大數字時使用計算器具，但是當沒有計算器具時，也能夠慢慢的算出答案。算則引入的方式有兩種:第一種:學童能掌握計算流程的意義，並能類推到大數字的計算(例如能算一百位乘以一百位的乘法)
17、，但是無法說清楚為什麼可以這樣算出答案的理由。第二種:學童能理解計算流程的意義，能清楚的說出每一步為什麼可以算出答案的理由，學童也能類推到大數字的計算，並說明可以類推的理由。你可以清楚說出二位乘以二位乘法算則每一步的意義嗎?64年課程是第一種引入方式，82年課程是第二種引入的方式，82年課程為了幫助學童理解算則，多引入了一些教材(成人認為沒有必要)，為了等待學童認知法展成熟，讓引入的時間延後，引發許多的民怨。有一種能夠掌握的學童法後，是否可以將算則視為記算器使用。只會算則，但是又不理解算則的意義，對學童學好數學有幫助嗎?國小階段:培養數學的能力或成就養成良好數學學習的方法與態度國小階段有需要引
18、入計算機嗎？ 何時引入較恰當？學童不理解算則的意義，但是能模仿成人依序算出答案，和按計算器解題有何不同？很多人質疑：數學是一門化繁為簡的科學，為什麼課本的記法常化簡為繁？引入記錄格式時，應該直接要求直接要求成人使用最精簡的紀錄格式成人使用最精簡的紀錄格式？或先要求較詳細的紀錄，等待學先要求較詳細的紀錄，等待學童掌握細部解題活動後，才接受較童掌握細部解題活動後，才接受較摘要的紀錄摘要的紀錄 ？ 38 38 467 467+25 +25 x 3 x 3 63 13 1401 21 +5 18 63 +12 1401你喜歡較摘要的記法嗎?為什麼你喜歡簡單省略的記法?47x69=( )你喜歡記成四行的
19、記法嗎？你喜歡記成二行的記法嗎？你喜歡記成一行的記法嗎？為什麼你不喜歡記成四行?為什麼你不喜歡記成一行?解題活動解題活動的步驟可以省略嗎？記錄活動記錄活動的步驟可以省略嗎？1 38 38 先學左邊的記法， +25 +25 對學童或教師， 63 13 有任何幫助嗎？ +5 需要引導學童學會需要引導學童學會 63 簡便的記法嗎？簡便的記法嗎？ 47x69=( ) 47 為什麼可以記成二行？ 69 為什麼不能記成一行？ 423+ 282 有那些能力後,就可以摘 1401 要地記成一行?有需要記成一行嗎?10 ) 30 40 3 4 2 ) 30 40 10 ) 30 40 5 )15 20 3 4
20、3 4用短除法求15，20，30時，可以先提公因數10嗎？10）15，20，30 3）15， 2， 3 5，2，1最小公倍數是10 3 5 2）， ）， ）， ， ， ， 最小公倍數是 先乘除後加減先乘除後加減,是詳細明白的說法,還是省略的說法?48 3 4 = 48 12 = 4 這樣算的學童,符合先乘除後加減先乘除後加減的語意嗎?先乘除後加減由左往右算括號先算是三個獨立的口訣嗎?括號先算是數學上的約定。先乘除後加減,由左往右算是省略擴號的約定。29-4829-48 3 4 +(3 4-7)=?3 4 +(3 4-7)=?請用一段話(不要提到數字),告訴學童運算的先後順序。將你的話錄音起來,再放給自己或別人聽聽看!懂得人,可能猜出你說的意思不懂的人,應該還是不懂。
