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1、高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。1浙江省鄞州高级中学浙江省鄞州高级中学 2009 届高三数学复习讲义届高三数学复习讲义函数与导数函数与导数 第三课时第三课时例例 1：已知函数262)(23bxaxxxf（a，Rb）在3x和2x处取到极值（1）求a，b和)2()3(ff的值； （2）求最大的正整数t，使得,21ttxx时，| )()(|21xfxf125与| )()(|21xfxf125同时成立例 1：解：（1）依题意可知，262)(23bxaxxxf，baxxxf26)(2则： 363623602362ba ba，-2 分则263632)(23xxxxf， 5
2、5)3(f，70)2(f，125)2()3(ff；-4 分（2）由（1）知263632)(23xxxxf，275)21(63666)(22xxxxf0)( xf的两个根分别是3和 2，令0)( xf得3x或2x，令0)( xf得23x 即函数263632)(23xxxxf在区间)3,(上单调增，在区间)2 , 3(上单调减，在区间), 2( 上单调增，-6 分又55)3(f，70)2(f，125| )2()3(|ff，令55263632)(23xxxxf，得081363223xxx，其有一个根为3，则分解得：0)92()3(2xx，得3x或29x；-8 分令70263632)(23xxxxf，
3、得044363223xxx，其有一个根为 2，则分解得：0)112()2(2xx，得2x或211x；-10 分则要使得1x，,2ttx，125| )()(|21xfxf，必须满足：290 t；-12 分又t为正整数，t最大为 4，高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。2另一方面，275)21(63666)(22xxxxf，由于Zt ，则要使得1x，,2ttx，125| )()(|21xfxf成立，则125)275()( tf，即125)275(36662 tt，024712122tt-14 分令2471212)(2tttg，则07)4(g，0113)5(g，则要使得
4、1x，,2ttx，125| )()(|21xfxf成立，4t，（此处也可以对最大的正整数4t，在区间4 , 4上验证125|)()(|min maxxfxf）综上所述，最大的正整数t为 4-17 分例例 2 已知：在函数xmxxf3)(的图象上，以), 1 (nN为切点的切线的倾斜角为4（）求m，n的值； （）是否存在最小的正整数k，使得不等式1993)( kxf对于3, 1x恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由；（）求证：)21(2| )(cos)(sin|ttfxfxf（Rx，0t） 例 2：解：（）13)(2mxxf ，依题意，得 ) 1 (f4tan，即113
5、m，32m. 2 分 nf) 1 (， 31n. 3 分（）令012)(2xxf，得22x. 4 分当221x时，012)(2xxf；当22 22x时，012)(2xxf；当322 x时，012)(2xxf. 又31) 1(f，32)22(f，32)22(f，15)3(f. 因此，当3, 1x时，15)(32xf. 要使得不等式1993)( kxf对于3, 1x恒成立，则2008199315k.所以，存在最小的正整数2008k，使得不等式1993)( kxf对于3, 1x恒成立. （）方法一：| )(cos)(sin|xfxf| )coscos32()sinsin32( |33xxxx高考资源
6、网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。3| )cos(sin)cos(sin32|33xxxx| 1)coscossin(sin32)cos(sin|22xxxxxx|31cossin32|cossin|xxxx3|cossin|31xx 3| )4sin(2|31x322. 又 0t， 221tt，14122tt. )21(2ttf)21()21(32 23 tttt31)41(32)21(222tttt322)31 32(22. 综上可得，)21(2| )(cos)(sin|ttfxfxf（Rx，0t）. 14 分方法二：由（）知，函数)(xf在 -1，22上是增函数；
7、在22,22上是减函数；在22，1上是增函数.又31) 1(f，32)22(f，32)22(f，31) 1 (f.所以，当x-1，1时，32)(32xf，即32| )(|xf. xsin，xcos-1，1， 32| )(sin|xf，32| )(cos|xf. 322 32 32| )(cos| )(sin| )(cos)(sin|xfxfxfxf.11 分又0t， 1221tt，且函数)(xf在), 1 上是增函数. 3222)2(32 2)2(2)21(23fttf. 13 分综上可得，)21(2| )(cos)(sin|ttfxfxf（Rx，0t）.14 分例例 3：定义在(0,)的三个
8、函数f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx,g(x)= 2( ), ( )xaf x h xxa x,且 g(x)在 x=1 处取极值。 （I）求 a 值及 h(x)的单调区间；（II）求证：当 11 时，k (x)0k(x)1 在，）为增函数.9 分 k(x)k(1)0,k(x)0.即2(x-1)2(x1)lnx0,lnxx+1x1 结论成立 10 分（III）由 （1）知：2g(x)x2lnx,h(x)x2 x.2C对应表达式为1h (x)x2 x6问题转化成求函数2 1g(x)x2lnxh (x)x2 x6.与交点的个数即求方程：2x2lnxx2 x6. 的根的个数即：22
9、x2lnxxx6.12 分设2 23h (x)2 x2lnx,hxxx6.（）=-212x( x2)x2h (x).xxxx x当x(0,4)时，22h (x)0,h (x)为减函数.当x(4,)时，22h (x)0,h (x)为增函数.而2 3h (x)xx6 的图象开口向下的抛物线3h (x)与2h (x)的大致图象如图：3h (x)与2h (x)的交点个数为 2 个.即2C与3C的交点个数为 2 个. 16 分例例 4：设 M 是由满足下列条件的函数)(xf构成的集合：“方程)(xf0 x有实数根；函数)(xf的导数)(xf 满足1)(0xf.”（I）判断函数4sin 2)(xxxf是否
10、是集合 M 中的元素，并说明理由；（II）集合 M 中的元素)(xf具有下面的性质：若)(xf的定义域为 D，则对于任意m，nD，都存在0xm，n，使得等式)()()()(0xfmnmfnf成立” ，高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。5试用这一性质证明：方程0)( xxf只有一个实数根；（III）设1x是方程0)( xxf的实数根，求证：对于)(xf定义域中任意的2| )()(| ,1|, 1|,23131232xfxfxxxxxx时且当.解：解：（1）因为xxfcos41 21)(，2 分 所以43,41)( xf满足条件, 1)(0xf3 分又因为当0x时，
11、0)0(f，所以方程0)( xxf有实数根 0.所以函数4sin 2)(xxxf是集合 M 中的元素.4 分（2）假设方程0)( xxf存在两个实数根(,） ，则0)(, 0)(ff，5 分 不妨设，根据题意存在数),(c使得等式)()()()(cffff成立，7 分因为且,)(,)(ff，所以1)( cf，与已知1)(0xf矛盾，所以方程0)( xxf只有一个实数根；9 分（3）不妨设32xx ，因为, 0)( xf所以)(xf为增函数，所以)()(32xfxf，又因为01)( xf，所以函数xxf)(为减函数，10 分所以3322)()(xxfxxf，11 分所以2323)()(0xxxf
12、xf，即|,| )()(|2323xxxfxf12 分所以. 2|)(| )()(|121312132323xxxxxxxxxxxfxf09 届鄞高高三数学专题复习之函数与导数练习 3 一、选择题：（ ）1. (理)已知)(xg是各项系数均为整数的多项式，, 12)(2xxxf且满足高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。6,16111342)(234xxxxxgf则)(xg的各项系数和为A4B5C6D7（文）设)(xf 是函数)(xf的导函数，)(xfy的图象如图所示，则)(xfy 的图象最有可 能的是（ ）2. 已知二次函数2( )f xaxbxc的导函数( )fx满足：(0)0f ，若对任意实数x，有( )0f x ，则(1) (0)ff 的最小值为A5 2B3 C3 2D 2（ ）3. 已知函数3( )f xaxx在1,上是增函数，则a的最小值是 A.3 B2 C2D3 （ ）4. 已知曲线1,27) 1(,13)0(,)(24xffbxaxxxf则曲线在且处切线
