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1、 版权所有：中华资源库 绝密绝密启用前启用前2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 5 页，时量页，时量 120 分钟，满分分钟，满分 150 分。分。一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.1.复数在复平面上对应的点位于1ziiiA为虚数单位A第一象限 B第二象
2、限 C第三象限 D第四象限 2.某学校有男、女学生各 500 名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是 否存在显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样 方法是 A抽签法 B随机数法 C系统抽样法 D分层抽样法 3.在锐角中，角所对的边长分别为.若ABC,A B, a b2 sin3 ,aBbA则角等于A B C D 12 6 4 34.若变量满足约束条件，, x y211yxxyy 2xy则的最大值是A B C D 5-205 35 25.函数的图像与函数的图像的交点个数为 2lnf xx 245g xxxA3 B2 C1 D0 6. 已知是单位向量，.若向量
3、满足, a b0a b Ac1,cabc则的取值范围是A B 2-1,2+1，2-1,2+2，C D 1,2+1，1,2+2，7已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正 视图的面积不可能等于A B C D 122-1 22+1 2版权所有：中华资源库 8.在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从ABC=4AB AC ，PAB,A B点出发，经发射后又回到原点（如图 ）.若光线经过的中P,BC CAP1QRABC心，则等于AP A B 21C D 8 34 3二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答小题，考生作答 7 小题，每小题小题，每小
4、题 5 分，共分，共 35 分分. （一）选做题（请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答，如果全做，则按 前两题计分）9.在平面直角坐标系中，若xoy,3cos ,:(t)C:2sinxtxlytay 为参数过椭圆右顶点，则常数 .()为参数的a的值为10.已知 .222, ,236,49a b cabcabc则的最小值为11.如图 2，在半径为的中,弦7OA,2,AB CDP PAPB相交于点.1PDO ，则圆心到弦C D 的距离为（一）必做题（12-16 题）12.若 .209,Tx dxT则常数的值为13.执行如图 3 所示的程序框图，如果输入 .1,2,aba则输出的的值为版权
5、所有：中华资源库 14设是双曲线的两个焦点，P 是 C 上一点，若12,F F2222:1(0,0)xyCabab且的最小内角为，则 C 的离心率为_。216 ,PFPFa12PFF3015设为数列的前 n 项和，则nSna1( 1),2n nnnSanN （1）_；3a （2）_。12100SSS16设函数( ),0,0.xxxf xabccacb其中（1）记集合，则( , , ), ,Ma b c a b ca不能构成一个三角形的三条边长，且=b所对应的的零点的取值集合为_。( , , )a b cM( )f x（2）若 .（写出所, ,a b cABC是的三条边长，则下列结论正确的是有正
6、确结论的序号） ,1 ,0;xf x ,xxxxRxa b c 使不能构成一个三角形的三条边长；若 1,2 ,0.ABCxf x 为钝角三角形，则使三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤. 17 （本小题满分 12 分）已知函数。2( )sin()cos(). ( )2sin632xf xxxg x（I）若是第一象限角，且。求的值；3 3( )5f( )g（II）求使成立的 x 的取值集合。( )( )f xg x18 （本小题满分 12 分） 某人在如图 4 所示的直角边长为
7、 4 米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记 忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的 年收获量 Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米。版权所有：中华资源库 （I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。19 （本小题满分 12 分）如图 5，在直棱柱 1111/ABCDABC DADBC中，190 ,1,3.BADACBD BCADA
8、A（I）证明：；1ACB D（II）求直线所成角的正弦值。111BCACD与平面20 （本小题满分 13 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径成为 M到 N 的一条“L 路径”。如图 6 所示的路径都是 M 到 N 的“L 路1231MM M M NMN N与路径径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面 xOy 内三点处。(3,20),( 10,0),(14,0)ABC现计划在 x 轴上方区域（包含 x 轴）内的某一点 P 处修建一个文化中心。（I）写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明） ； （II）若以原点
9、 O 为圆心，半径为 1 的圆的内部是保护区， “L 路径”不能进入保护区， 请确定点 P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小。 21 （本小题满分 13 分）过抛物线的焦点 F 作斜率分别为的两条不同的直线，2:2(0)E xpy p12,k k12,l l且，相交于点 A，B，相交于点 C，D。以 AB，CD 为直径的圆 M，122kk1lE与2lE与版权所有：中华资源库 圆 N（M，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为。l（I）若，证明；120,0kk22FM FNP A（II）若点 M 到直线的距离的最小值为，求抛物线 E 的方程。l7 5 522 （本小题满分 13 分）已知，函数。0a ( )2xaf xxa（I） ；记求的表达式；( )0,4f xa在区间上的最大值为g( ),ag( )（II）是否存在，使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处a( )yf x0,4的切线相互垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。a
