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1、数学思维的开拓性数学思维的开拓性一、概述一、概述数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律
2、，从中发现最有意义的简捷解法。数学思维的开拓性主要体现在：(1) 一题的多种解法例如 已知复数满足，求的最大值。z1|z|iz 我们可以考虑用下面几种方法来解决：运用复数的代数形式； 运用复数的三角形式；运用复数的几何意义；运用复数模的性质（三角不等式）；|212121zzzzzz运用复数的模与共轭复数的关系；zzz2|（数形结合）运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆与有公1|zriz |共点时， 的最大值。r(2) 一题的多种解释例如，函数式可以有以下几种解释：2 21axy 可以看成自由落体公式.212gts 可以看成动能公式.212mvE 可以看成热量公式.212RIQ 又如“1”这个
3、数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷。 “1”可以变换为：，等等。xtgxabxxxxabaa2222sec),(log)(log,cossin,log1例 思思维训练实维训练实例例例例 1 已知求证：. 1, 12222yxba. 1byax分析分析 1 用比较法。本题只要证为了同时利用两个已知条件，只. 0)(1byax需要观察到两式相加等于 2 便不难解决。证证法法 1 )() 11 (21)(1byaxbyax)()(212222byaxyxba, 0)()(21)2()2(21222222ybxaybybxaxa所以 . 1byax分析分析 2 运用分析法，从所需证明
4、的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。因此，证明过程必须步步可逆，并注意书写规范。证证法法 2 要证 . 1byax只需证 , 0)(1byax即 , 0)(22byaxxlMyd图图421O因为 . 1, 12222yxba所以只需证 , 0)(2)(2222byaxyxba即 . 0)()(22ybxa因为最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。分析分析 3 运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法）证证法法 3
5、.2,22222ybbyxaax. 1222222 ybxabyax即 . 1byax分析分析 4 三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于 1 的形式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。证证法法 4 可设, 1, 12222yxbacos,sin.cos,sinyxba, 1)cos(coscossinsinbyax分析分析 5 数形结合法：由于条件可看作是以原点为圆心，半径为 1 的单122 yx位圆，而联系到点到直线距离公式，可得下面证法。. 22babyaxbyax 证证法法 5 （如
6、图 4-2-1）因为直线经过0:byaxl圆的圆心 O，所以圆上任意一点122 yx),(yxM到直线的距离都小于或等于圆半径 1，0byax即 . 11|22 byaxbyax babyaxd简评简评 五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法。除了证法 4、证法 5 的方法有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法。可在具体应用过程中，根据题目的变化的需要适当进行选择。例例 2 如果求证：成等差数列。, 0)(4)(2zyyxxzzyx、分析分析 1 要证，必须有成立才行。此条件应从已知条件中得出。zyx、zyyx故此得到直接的想法是展开已知条件去寻找转换。证证法法
7、1 , 0)(4)(2zyyxxz, 02, 0)2(, 0)2()(22)(, 044442222222yzxyzxyzxyzxyzyxzxyxxzz故 ，即 成等差数列。zyyxzyx、分析分析 2 由于已知条件具有轮换对称特点，此特点的充分利用就xzzyyx,是以换元去减少原式中的字母，从而给转换运算带来便利。证证法法 2 设则,bzyayx. bazx于是，已知条件可化为：.0)(04)(22zyyxbabaabba所以成等差数列。zyx、分析分析 3 已知条件呈现二次方程判别式的结构特点引人注目，提供了acb42构造一个适合上述条件的二次方程的求解的试探的机会。证证法法 3 当时，由
8、已知条件知即成等差数列。0 yx, 0zyxxzzyx、当时，关于 的一元二次方程：0 yxt, 0)()()(2zytxztyx其判别式故方程有等根，显然 1 为方程的一个根，, 0)(4)(2zyyxxzt从而方程的两根均为 1，由韦达定理知 即 成等差数列。.121zyyxyxzyttzyx、简评简评： ：证法 1 是常用方法，略嫌呆板，但稳妥可靠。证法 2 简单明了，是最好的解法，其换元的技巧有较大的参考价值。证法 3 引入辅助方程的方法，技巧性强，给人以新鲜的感受和启发。例 3 已知，求的最小值。1 yx22yx 分析分析 1 虽然所求函数的结构式具有两个字母，但已知条件恰有的关系y
9、x、yx、式，可用代入法消掉一个字母，从而转换为普通的二次函数求最值问题。解法解法 1 .1, 1xyyx设，则22yxz. 122)1 (222xxxxz二次项系数为故有最小值。, 02 z当时，21 222x.21 2421242 ）（最小值z的最小值为22yx .21分析分析 2 已知的一次式两边平方后与所求的二次式有密切关联，1 yx22yx 于是所求的最小值可由等式转换成不等式而求得。解法解法 2 即, 1)(, 12yxyx.2122xyyx).(1,2222222yxyxyxxy即 当且仅当时取等号。 的最小值为,2122 yx21 yx22yx .21分析分析 3 配方法是解决
10、求最值问题的一种常用手段，利用已知条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的。解法解法 3 设.22yxz.21 21)21()21(1, 12222yxyxyxzyx当时，即的最小值为21 yx.21最小z22yx .21分析分析 4 因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点，故可得到用解析法求解的启发。解法解法 4 如图 422，表示直线1 yx, l22yx 表示原点到直线 上的点的距离的平方。l),(yxP显然其中以原点到直线 的距离最短。l此时，即,222|100|d.22)(22最小yx 所以的最小值为22yx .21注注 如果设则问题还可转化
11、为直线与圆有交点时，,22zyx1 yxzyx22半径的最小值。z简评简评 几种解法都有特点和代表性。解法 1 是基本方法，解法 2、3、4 都紧紧地抓住题设条件的特点，与相关知识联系起来，所以具有灵巧简捷的优点，特别是解法 4，形象直观，值得效仿。例 4 设求证：.1,2RzzRz. 1|z分析分析 1 由已知条件为实数这一特点，可提供设实系数二次方程的可能，在21zz 该二次方程有两个虚根的条件下，它们是一对共轭虚根，运用韦达定理可以探求证题途径。证证法法 1 设当时，可得与条件不合。),(12Raazz0a0zRz于是有 . 0a. 02azaz该方程有一对共轭虚根，设为，于是,Rz21
12、,zz.|,2 22 121zzzz),(yxP11Oxyl图图422又由韦达定理知 . 1|. 1|, 12 22 1221121zzzzzzzaazz分析分析 2 由于实数的共轭复数仍然是这个实数，利用这一关系可以建立复数方程，注意到这一重要性质，即可求出的值。2| zzz | z证证法法 2 设当时，可得与条件不合，),(12Raazz0a0zRz. 0a则有 ，21zza.11,22zz zzaa即 ).()()1 ()1 (22zzzzzzzzzzzz但 ,|2zzz. 0)|1)(,|222zzzzzzzzz而 即. 1|,2zRzz. 1|z分析分析 3 因为实数的倒数仍为实数，
13、若对原式取倒数，可变换化简为易于进行运算的形式。再运用共轭复数的性质，建立复数方程，具有更加简捷的特点。证证法法 3 即,1,122RzzRzz.11Rzzzzzz从而必有. 1|. 1zzz简评简评 设出复数的代数形式或三角形式，代入已知条件化简求证，一般也能够证明，它是解决复数问题的基本方法。但这些方法通常运算量大，较繁。现在的三种证法都应用复数的性质去证，技巧性较强，思路都建立在方程的观点上，这是需要体会的关键之处。证法 3 利用倒数的变换，十分巧妙是最好的方法。例例 5 由圆外一点引圆的割线交圆于两点，求弦的中922 yx)12, 5(PBA、AB点的轨迹方程。M分析分析 1 （直接法
14、）根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为代数等式，从而求出曲线方程。这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和弦中点的连线垂直于弦，可得下面解法。解法解法 1 如图 423，设弦的中点的坐标为，连接，ABM),(yxMOMOP、则，在中，由两点间的距离公式和勾股定理有ABOM OMP.169)12()5(2222yxyx整理，得 其中. 012522yxyx. 33x分析分析 2 （定义法）根据题设条件，判断并确定轨迹的曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。解法解法 2 因为是的中点，所以，MABABOM 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为,M|OP)6 ,25(半径为该圆的方程为：,213 2|OP222)213()6()25(yx化简，得 其中. 012522yxyx. 33x分析分析 3 （交轨法）将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。因为动点可看作M直线与割线的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法。OMPM解法解法 3 设过点的割线的斜率为则过点的割线方程为：.P, kP)
