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1、第 7 讲 立体几何中的向量方法(一)1通过线线、线面、面面关系考查空间向量的坐标运算2能用向量方法证明直线和平面位置关系的一些定理3利用空间向量求空间距离【复习指导】本讲复习中要掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，会找直线的方向向量和平面的法向量，并通过它们研究线面关系，会用向量法求空间距离基础梳理1空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a2，a3)；aba1b1a2b2a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则 ababa1b1，a2b
2、2，a3b3(R)，abab0a1b1a2b2a3b30(a，b 均为非零向量)(3)模、夹角和距离公式设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|，aaa2 1a2 2a2 3cosa，b.ab|a|b|a1b1a2b2a3b3a2 1a2 2a2 3 b2 1b2 2b2 3设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 dAB|.ABa2a12b2b12c2c122立体几何中的向量方法(1)直线的方向向量与平面的法向量的确定直线的方向向量：l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任意两点，则称为直AB线 l 的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量
3、AB平面的法向量可利用方程组求出：设 a，b 是平面 内两不共线向量，n 为平面 的法向量，则求法向量的方程组为Error!Error!(2)用向量证明空间中的平行关系设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1l2(或 l1与 l2重合)v1v2.设直线 l 的方向向量为 v，与平面 共面的两个不共线向量 v1和 v2，则 l或 l存在两个实数 x，y，使 vxv1yv2.设直线 l 的方向向量为 v，平面 的法向量为 u，则 l 或 lvu.设平面 和 的法向量分别为 u1，u2，则 u1u2.(3)用向量证明空间中的垂直关系设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v
4、2，则 l1l2v1v2v1v20.设直线 l 的方向向量为 v，平面 的法向量为 u，则 lvu.设平面 和 的法向量分别为 u1和 u2，则 u1u2u1u20.(4)点面距的求法如图，设 AB 为平面 的一条斜线段，n 为平面 的法向量，则B 到平面 的距离 d.|ABn|n|一种思想向量是既有大小又有方向的量，而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本定理的进一步深化和规范，是对向量大小和方向的量化：(1)以原点为起点的向量，其终点坐标即向量坐标；(2)向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标得到向量坐标后，可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位置关系，计算空间成角和
5、距离等问题三种方法主要利用直线的方向向量和平面的法向量解决下列问题：(1)平行Error!Error!(2)垂直Error!Error!(3)点到平面的距离求点到平面距离是向量数量积运算(求投影)的具体应用，也是求异面直线之间距离，直线与平面距离和平面与平面距离的基础双基自测1两不重合直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，则l1与 l2的位置关系是( )A平行 B相交 C垂直 D不确定解析 v22v1，v1v2.答案 A2已知平面 内有一个点 M(1，1,2)，平面 的一个法向量是 n(6，3,6)，则下列点 P 中在平面 内的是( )AP(2,3,3)
6、BP(2,0,1)CP(4,4,0) DP(3，3,4)解析 n(6，3,6)是平面 的法向量，n，在选项 A 中，(1,4,1)，n0.MPMPMP答案 A3(2011唐山月考)已知点 A，B，C平面 ，点 P，则0，APAB且0 是0 的( )APACAPBCA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析 由Error!Error!，得()0，APABAC即0，亦即0，APCBAPBC反之，若0，APBC则()0，未必等于 0.APACABAPABAPAC答案 A4(人教 A 版教材习题改编)已知 a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，则下列结论正
7、确的是( )Aac，bc Bab，acCac，ab D以上都不对解析 c(4，6,2)2(2，3,1)2a，ac，又 ab22(3)0140，ab.答案 C5(2012舟山调研)已知(2,2,1)，(4,5,3)，则平面 ABC 的单位法向量ABAC是_解析 设平面 ABC 的法向量 n(x，y，z)则Error!Error!即Error!Error!令 z1，得Error!Error!n，(12，1，1)平面 ABC 的单位法向量为.n|n|(13，23，23)答案 (13，23，23)考向一 利用空间向量证明平行问题【例 1】如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N 分别是
8、C1C、B1C1的中点求证：MN平面 A1BD.审题视点 直接用线面平行定理不易证明，考虑用向量方法证明证明 法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为 x 轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，(0，1，12)(12，1，1)于是，MN(12，0，12)设平面 A1BD 的法向量是 n(x，y，z)则 n0，且 n0，得Error!Error!DA1DB取 x1，得 y1，z1.n(1，1，1)又n(1，1，1)0，MN(12，0，12)n，又 MN平面 A1BD，MNMN平面 A1
9、BD.法二 MNC1NC1M12C1B112C1C ()，12D1A1D1D12DA1，又MN 与 DA1不共线，MNDA1，MNDA1又MN平面 A1BD，A1D平面 A1BD，MN平面 A1BD.证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题【训练 1】 如图所示，平面 PAD平面 ABCD，ABCD 为正方形，PAD 是直角三角形，且 PAAD2，E、F、G 分别是线段 PA、PD、CD 的中点求证：PB平面 EFG.证明 平面 PAD平面 ABC
10、D 且 ABCD 为正方形，AB、AP、AD 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则 A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)(2,0，2)，(0，1,0)，(1,1，1)，PBFEFG设st，PBFEFG即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，Error!Error!解得 st2.22，PBFEFG又与不共线，、与共面FEFGPBFEFGPB平面 EFG，PB平面 EFG.考向二 利用空间向量证明垂直问题【例 2】如图所示，在棱长为 1 的正方体 O
11、ABCO1A1B1C1中，E，F 分别是棱AB，BC 上的动点，且 AEBFx，其中 0x1，以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz.(1)求证 A1FC1E；(2)若 A1，E，F，C1四点共面求证：.A1F12A1C1A1E审题视点 本题已建好空间直角坐标系，故可用向量法求解，要注意找准点的坐标证明 (1)由已知条件A1(1,0,1)，F(1x,1,0)，C1(0,1,1)，E(1，x,0)，(x,1，1)，(1，x1，1)，A1FC1E则x(x1)10，A1FC1E，即 A1FC1E.A1FC1E(2)(x,1，1)，(1,1,0)，A1FA1C1(0，x，1)，A1E设，Error
12、!Error!A1FA1C1A1E解得 ，1.12.A1F12A1C1A1E证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明【训练 2】 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E 是 PC 的中点证明：(1)AECD；(2)PD平面 ABE.证明 AB、AD、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设 PAABBC1，则 P(0,0,1)(1)ABC60，ABC 为正三角形C，E.(12，32，0)(14，34，12)设 D(0，y,0)，由 ACCD，得0，AC
13、CD即 y，则 D，2 33(0，2 33，0).又，CD(12，36，0)AE(14，34，12) 0，AECD12143634，即 AECD.AECD(2)法一 P(0,0,1)，.PD(0，2 33，1)又 (1)0，AEPD342 3312，即 PDAE.(1,0,0)，0，PDAEABPDABPDAB，又 ABAEA，PD平面 AEB.法二 (1,0,0)，ABAE(14，34，12)设平面 ABE 的一个法向量为 n(x，y，z)，则Error!Error!令 y2，则 z，n(0,2，)33，显然n.PD(0，2 33，1)PD33n，平面 ABE，即 PD平面 ABE.PDPD
14、考向三 利用向量求空间距离【例 3】在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC平面ABC，SASC2，M、N 分别为 AB、SB 的中点，如图所示，求点 B 到平面3CMN 的距离审题视点 考虑用向量法求距离，距离公式不要记错解 取 AC 的中点 O，连接 OS、OB.SASC，ABBC，ACSO，ACBO.平面 SAC平面 ABC，平面 SAC平面 ABCAC，SO平面 ABC，SOBO.如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 B(0,2，0)，C(2,0,0)，S(0,0,2)，32M(1， ，0)，N(0， ，)332(3， ，0)，(1,0，)，CM3MN2(1， ，0)MB3设 n(x，y，z)为平面 CMN 的一个法向量，则Error!Error!取 z1，则 x，y，n(，1)2626点 B 到平面 C
