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1、实验三实验三 用双线性变换法设计用双线性变换法设计 IIR 滤波器滤波器1、实验目的实验目的1、了解两种工程上最常用的变换方法:脉冲响应不变法和双线性变换法。 2、掌握双线性不变法设计 IIR 滤波器的原理及具体设计方法，熟悉双线性设计法设计低通、 带通和高通 IIR 滤波器的计算机程序。 3、观察用双线性变换法设计的滤波器的频域特性，并与脉冲响应不变法相比较，了解双线 性变换法的特点。 4、熟悉用双线性变换法设计数字 Butterworth 和 Chebyshev 滤波器的全过程。 5、了解多项式乘积和多项式乘方运算的计算机编程方法。2、实验原理与方法实验原理与方法从模拟滤波器设计 IIR
2、数字滤波器具有四种方法：微分差分变换法、脉冲响应不变 法、双线性变换法、匹配 Z 变换法；在工程上常用的是其中两种：脉冲响应不变法、双线 性变换法。脉冲响应不变法需要经历如下步骤：由已知系统传输函数 H（s）计算系统冲击 响应 h(t)；对 h(t)进行等间隔取样得到 h(n)=h(nT)；由 h(n)活的数字滤波器的系统响应 H（z） 。这种方法非常直观，其算法宗旨是保证所设计的 IIR 滤波器的脉冲响应和响应模拟 滤波器的冲击响应在采样点上完全一致。而双线性变换法的设计准则是使数字滤波器的频 率响应与参考模拟滤波器的频率响应相似。 脉冲响应不变法的优点是频率坐标的变换是线性的，缺点是有频谱
3、的周期延拓效应，存在 频谱混淆的现象。为了克服频谱混淆提出了双线性变换法，它依靠双线性变换公式：，z= 其中，s=，z=1111zzsss 11 jjre建立起 S 平面和 Z 平面的单值映射关系，数字频域和模拟频域之间的关系： ， （3-1）)2/(tg arctg2由上面的关系式可知，当时，中止在折叠频率处，整个 轴单值j的对应于单位圆的一周。因此双线性变换法不同于脉冲响应不变法，不存在频谱混淆的问题。从式（3-1） 还可以看出，两者的频率不是线性关系。这种非线性关系使得通带截止 频率、过渡带的边缘频率的相对位置都发生了非线性畸变。用双线性变换法设计数字滤波器时，一般总是先将数字滤波器的各
4、临界频率经过（3-1）的频率预畸，求得相应参考模 拟滤波器的各临界频率，然后设计参考模拟滤波器的传递参数，最后通过双线性变换式求 得数字滤波器的传递函数。参考模拟滤波器的设计，可以，按照一般模拟滤波器的设计方 法，利用已经成熟的一整套计算公式和大量的归一化设计表格和曲线，通过原型变换完成 实际的滤波器设计。 在本实验中，我们只涉及 Butterworth 和 Chebyshev 两种滤波器的设计，相应的这两种 参考模拟原型滤波器的设计公式如下：Butterworth：阶数：)lg(/110110lg1 . 01 . 0spsp N传递函数： 10)( )(NkkN c sa ssH5 . 0)
5、5 . 0(1kNjckes有关参数： Ns sc21 1 . 0) 110/( Np pc21) 110/(1 . 0Chebyshev：阶数：)(/1101101 1 . 01 . 01spps chchN 传递函数： NkkkpNN psayshxsH11 )(sin2/)coskkyjchx，=111shNxkky212 Nk 有关参数：波纹系数：1101 . 0p综上所述，以 Butterworth 低通滤波器设计为例，可以将双线性变换法设计数字滤波器 的步骤归纳如下：1、确定数字滤波器的性能指标。这些指标包括：通带、阻带临界频率fpfs；通带内的最大衰减；阻带内的最小衰减；采样周期
6、 T。ps2、确定相应的数字频率，Tfpp2Tfss23、计算经过频率预畸的相应参考低通原型的频率 ，。)2(p ptg)2(s stg4、计算低通原型阶数 N：计算 3db 归一化频率 ，从而求得低通原型的传递函数c。)(sHa5、用变换公式s= ，代入 ，求得数字滤波器传递函数：1111 zz)(sHaH（z）= )(sHa1111| zzs6、分析滤波器频域特性，检查其指标是否满足要求。三三 实验内容及步骤实验内容及步骤( (一一) )编制实验用主程序及相应子程序编制实验用主程序及相应子程序f=1;T=1/f;fp=?;fs=?; wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T; Q
7、p=2*f*tan(wp/2);Qs=2*f*tan(ws/2); n,Wn=cheb1ord(Qp,Qs,Rp,Rs,s); b,a=cheby1(n,f,Wn,high,s); close all; freqs(b,a);title(高通模拟滤波器的频率响应); bz,az=bilinear(b,a,f); freqz(bz,az,50,f);title(高通数字滤波器的频率响应);（2）上机实验内容上机实验内容1、采样频率为采样频率为 1Hz，设计一个，设计一个 Chebyshev 高通数字滤波器，其中通带临界频高通数字滤波器，其中通带临界频 率率 fp=0.3HZ，通带内衰减小于，通带
8、内衰减小于 0.8db（ap=0.8db） ，阻带临界频率，阻带临界频率 fs=0.2HZ， 阻带衰减大于阻带衰减大于 20db（as=20db） 。求这个数字滤波器的传递函数。求这个数字滤波器的传递函数 H（Z） ，输出，输出 它的幅频特性曲线，观察其通带衰减和阻带衰减是否满足要求。它的幅频特性曲线，观察其通带衰减和阻带衰减是否满足要求。f=1;T=1/f;fp=0.3;fs=0.2; wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T; Qp=tan(wp/2);Qs=tan(ws/2); n,Wn=cheb1ord(Qp,Qs,0.8,20,s); b,a=cheby1(n,0.8,Wn
9、, high,s); close all; bz,az=bilinear(b,a,f); freqz(bz,az,512,f);title(Chebyshev 高通数字滤波器的频率响应);2、采样频率为、采样频率为 1Hz，设计一个数字低通滤波器，要求其通带临界频率，设计一个数字低通滤波器，要求其通带临界频率 fp=0.2HZ，通带内衰减小于，通带内衰减小于 1db（ap=1db） ，阻带临界频率，阻带临界频率 fs=0.3HZ，阻带衰，阻带衰 减大于减大于 25db（as=25db） 。求这个数字滤波器的传递函数。求这个数字滤波器的传递函数 H（Z） ，输出它的幅，输出它的幅 频特性曲线。频
10、特性曲线。f=1;T=1/f;fp=0.2;fs=0.3; wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T; Qp=2*f*tan(wp/2);Qs=2*f*tan(ws/2); n,Wn=cheb1ord(Qp,Qs,1,25,s); b,a=cheby1(n,1,Wn, low,s); bz,az=bilinear(b,a,f); freqz(bz,az,512,f);title(数字低通滤波器的频率响应);3、设计、设计 Butterworth 带通数字滤波器，其上下边带带通数字滤波器，其上下边带 1db 处的通带临界频率分别处的通带临界频率分别 为为 20kHZ 和和 30kHZ（
11、fp1=20kHZ,fp2=30kHZ,ap=1db）,当频率低于当频率低于 15kHZ 时，时， 衰减要大于衰减要大于 40db（fs=15kHZ,as=40db） ，采样周期为，采样周期为 10us，求这个数字滤波器，求这个数字滤波器 的传递函数的传递函数 H(Z)，输出它的幅频特性曲线，观察其通带衰减和阻带衰减是否满，输出它的幅频特性曲线，观察其通带衰减和阻带衰减是否满 足要求。足要求。T=10(-5);f=1/T; fp1=20000;fp2=30000;fs1=15000;fs2=35000; wp1=fp1/f*2;wp2=fp2/f*2;ws1=fs1/f*2;ws2=fs2/f
12、*2; Rp=1;Rs=40; n,Wn=buttord(wp1 wp2,ws1 ws2,Rp,Rs); b,a=butter(n,Wn); freqz(b,a,512,f);title(Butterworth 带通数字滤波器的频率响应);四、思考题四、思考题1、双线性变化法和脉冲响应不变法相比较。有哪些优点和缺点？为什么？双线性变化法和脉冲响应不变法相比较。有哪些优点和缺点？为什么？2、双线性变换是一种非线性变换，在实验中你观察到这种非线性变换了吗？应该怎样从哪、双线性变换是一种非线性变换，在实验中你观察到这种非线性变换了吗？应该怎样从哪 种数字滤波器幅频特性曲线中可以观察到这种非线性关系？种数字滤波器幅频特性曲线中可以观察到这种非线性关系？
