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1、实验三实验三 用双线性变换法设计用双线性变换法设计 IIR 滤波器滤波器1、实验目的实验目的1、了解两种工程上最常用的变换方法:脉冲响应不变法和双线性变换法。 2、掌握双线性不变法设计 IIR 滤波器的原理及具体设计方法,熟悉双线性设计法设计低通、 带通和高通 IIR 滤波器的计算机程序。 3、观察用双线性变换法设计的滤波器的频域特性,并与脉冲响应不变法相比较,了解双线 性变换法的特点。 4、熟悉用双线性变换法设计数字 Butterworth 和 Chebyshev 滤波器的全过程。 5、了解多项式乘积和多项式乘方运算的计算机编程方法。2、实验原理与方法实验原理与方法从模拟滤波器设计 IIR
2、数字滤波器具有四种方法:微分差分变换法、脉冲响应不变 法、双线性变换法、匹配 Z 变换法;在工程上常用的是其中两种:脉冲响应不变法、双线 性变换法。脉冲响应不变法需要经历如下步骤:由已知系统传输函数 H(s)计算系统冲击 响应 h(t);对 h(t)进行等间隔取样得到 h(n)=h(nT);由 h(n)活的数字滤波器的系统响应 H(z) 。这种方法非常直观,其算法宗旨是保证所设计的 IIR 滤波器的脉冲响应和响应模拟 滤波器的冲击响应在采样点上完全一致。而双线性变换法的设计准则是使数字滤波器的频 率响应与参考模拟滤波器的频率响应相似。 脉冲响应不变法的优点是频率坐标的变换是线性的,缺点是有频谱
3、的周期延拓效应,存在 频谱混淆的现象。为了克服频谱混淆提出了双线性变换法,它依靠双线性变换公式:,z= 其中,s=,z=1111zzsss 11 jjre建立起 S 平面和 Z 平面的单值映射关系,数字频域和模拟频域之间的关系: , (3-1))2/(tg arctg2由上面的关系式可知,当时,中止在折叠频率处,整个 轴单值j的对应于单位圆的一周。因此双线性变换法不同于脉冲响应不变法,不存在频谱混淆的问题。从式(3-1) 还可以看出,两者的频率不是线性关系。这种非线性关系使得通带截止 频率、过渡带的边缘频率的相对位置都发生了非线性畸变。用双线性变换法设计数字滤波器时,一般总是先将数字滤波器的各
4、临界频率经过(3-1)的频率预畸,求得相应参考模 拟滤波器的各临界频率,然后设计参考模拟滤波器的传递参数,最后通过双线性变换式求 得数字滤波器的传递函数。参考模拟滤波器的设计,可以,按照一般模拟滤波器的设计方 法,利用已经成熟的一整套计算公式和大量的归一化设计表格和曲线,通过原型变换完成 实际的滤波器设计。 在本实验中,我们只涉及 Butterworth 和 Chebyshev 两种滤波器的设计,相应的这两种 参考模拟原型滤波器的设计公式如下:Butterworth:阶数:)lg(/110110lg1 . 01 . 0spsp N传递函数: 10)( )(NkkN c sa ssH5 . 0)
5、5 . 0(1kNjckes有关参数: Ns sc21 1 . 0) 110/( Np pc21) 110/(1 . 0Chebyshev:阶数:)(/1101101 1 . 01 . 01spps chchN 传递函数: NkkkpNN psayshxsH11 )(sin2/)coskkyjchx,=111shNxkky212 Nk 有关参数:波纹系数:1101 . 0p综上所述,以 Butterworth 低通滤波器设计为例,可以将双线性变换法设计数字滤波器 的步骤归纳如下:1、确定数字滤波器的性能指标。这些指标包括:通带、阻带临界频率fpfs;通带内的最大衰减;阻带内的最小衰减;采样周期
6、 T。ps2、确定相应的数字频率,Tfpp2Tfss23、计算经过频率预畸的相应参考低通原型的频率 ,。)2(p ptg)2(s stg4、计算低通原型阶数 N:计算 3db 归一化频率 ,从而求得低通原型的传递函数c。)(sHa5、用变换公式s= ,代入 ,求得数字滤波器传递函数:1111 zz)(sHaH(z)= )(sHa1111| zzs6、分析滤波器频域特性,检查其指标是否满足要求。三三 实验内容及步骤实验内容及步骤( (一一) )编制实验用主程序及相应子程序编制实验用主程序及相应子程序f=1;T=1/f;fp=?;fs=?; wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T; Q
7、p=2*f*tan(wp/2);Qs=2*f*tan(ws/2); n,Wn=cheb1ord(Qp,Qs,Rp,Rs,s); b,a=cheby1(n,f,Wn,high,s); close all; freqs(b,a);title(高通模拟滤波器的频率响应); bz,az=bilinear(b,a,f); freqz(bz,az,50,f);title(高通数字滤波器的频率响应);(2)上机实验内容上机实验内容1、采样频率为采样频率为 1Hz,设计一个,设计一个 Chebyshev 高通数字滤波器,其中通带临界频高通数字滤波器,其中通带临界频 率率 fp=0.3HZ,通带内衰减小于,通带
8、内衰减小于 0.8db(ap=0.8db) ,阻带临界频率,阻带临界频率 fs=0.2HZ, 阻带衰减大于阻带衰减大于 20db(as=20db) 。求这个数字滤波器的传递函数。求这个数字滤波器的传递函数 H(Z) ,输出,输出 它的幅频特性曲线,观察其通带衰减和阻带衰减是否满足要求。它的幅频特性曲线,观察其通带衰减和阻带衰减是否满足要求。f=1;T=1/f;fp=0.3;fs=0.2; wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T; Qp=tan(wp/2);Qs=tan(ws/2); n,Wn=cheb1ord(Qp,Qs,0.8,20,s); b,a=cheby1(n,0.8,Wn
9、, high,s); close all; bz,az=bilinear(b,a,f); freqz(bz,az,512,f);title(Chebyshev 高通数字滤波器的频率响应);2、采样频率为、采样频率为 1Hz,设计一个数字低通滤波器,要求其通带临界频率,设计一个数字低通滤波器,要求其通带临界频率 fp=0.2HZ,通带内衰减小于,通带内衰减小于 1db(ap=1db) ,阻带临界频率,阻带临界频率 fs=0.3HZ,阻带衰,阻带衰 减大于减大于 25db(as=25db) 。求这个数字滤波器的传递函数。求这个数字滤波器的传递函数 H(Z) ,输出它的幅,输出它的幅 频特性曲线。频
10、特性曲线。f=1;T=1/f;fp=0.2;fs=0.3; wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T; Qp=2*f*tan(wp/2);Qs=2*f*tan(ws/2); n,Wn=cheb1ord(Qp,Qs,1,25,s); b,a=cheby1(n,1,Wn, low,s); bz,az=bilinear(b,a,f); freqz(bz,az,512,f);title(数字低通滤波器的频率响应);3、设计、设计 Butterworth 带通数字滤波器,其上下边带带通数字滤波器,其上下边带 1db 处的通带临界频率分别处的通带临界频率分别 为为 20kHZ 和和 30kHZ(
11、fp1=20kHZ,fp2=30kHZ,ap=1db),当频率低于当频率低于 15kHZ 时,时, 衰减要大于衰减要大于 40db(fs=15kHZ,as=40db) ,采样周期为,采样周期为 10us,求这个数字滤波器,求这个数字滤波器 的传递函数的传递函数 H(Z),输出它的幅频特性曲线,观察其通带衰减和阻带衰减是否满,输出它的幅频特性曲线,观察其通带衰减和阻带衰减是否满 足要求。足要求。T=10(-5);f=1/T; fp1=20000;fp2=30000;fs1=15000;fs2=35000; wp1=fp1/f*2;wp2=fp2/f*2;ws1=fs1/f*2;ws2=fs2/f
12、*2; Rp=1;Rs=40; n,Wn=buttord(wp1 wp2,ws1 ws2,Rp,Rs); b,a=butter(n,Wn); freqz(b,a,512,f);title(Butterworth 带通数字滤波器的频率响应);四、思考题四、思考题1、双线性变化法和脉冲响应不变法相比较。有哪些优点和缺点?为什么?双线性变化法和脉冲响应不变法相比较。有哪些优点和缺点?为什么?2、双线性变换是一种非线性变换,在实验中你观察到这种非线性变换了吗?应该怎样从哪、双线性变换是一种非线性变换,在实验中你观察到这种非线性变换了吗?应该怎样从哪 种数字滤波器幅频特性曲线中可以观察到这种非线性关系?种数字滤波器幅频特性曲线中可以观察到这种非线性关系?