《高等数学课件 3.4-3.5 二维随机变量的函数的分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件 3.4-3.5 二维随机变量的函数的分布（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.4 二维随机变量的函数 的分布Z Z= =X X+ +Y Y 的分布的分布三、最大值、最小值的分布一、一、 离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布二、二、 连续型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布例1 设(X,Y)的分布律为XY0 1 2 -1 20.2 0.3 0.10.1 0.1 0.2 解(-1,0) (-1,1) (-1,2) (2,0) (2,1) (2,2)-1 0 1 2 3 4(X,Y) Z=X+Y Z=XY0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.20 -1 -2 0 2 4Z=XY0.1 0.3 0.3 0.1 0.2-2 -1 0 2 4一
2、、一、 离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布求 (1) Z=X+Y (2) Z=XY (3) Z=max(X,Y) (4)Z=min(X,Y) 的分布律.Z= max(X,Y) 0 1 2 2 2 2X与Y独立，X,Y取0,1,2，则Z=X+YZ=max(X,Y) 的分布律*4*5二、二、 连续型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布设(X,Y)的概率密度为f (x, y), 求Z=g(X,Y)的分布.一般方法：分布函数法 例2 设随机变量X和Y相互独立，且X和Y都是（0，a ）上的均匀分布，求Z=X+Y的概率密度。设(X,Y)的概率密度为f (x, y), Z=X+Y
3、的分布函数为 1. 1. Z Z= =X X+ +Y Y 的分布的分布x+y =zyxoZ=X+Y 的概率密度: 卷积公式卷积公式当X,Y 相互独立时,例1 设设 XN(0, 1), YN(0, 1)且X与Y相互独立，求 Z=X+Y的概率密度。Z=X+YN(0,2).解(2) 若 一般结论：一般结论：(1) 若 且相互独立， 则 X+Y 仍服从正态分布，且且相互独立，则 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合 仍然服从正态分布.例2 在一简单电路中，两电阻R1和R2串联联接，设R1, R2相互独立，它们的概率密度均为求总电阻R=R1+R2的概率密度.解xzz=xz=x+10例3 设X1, X2
4、相互独立分别服从参数为1, ; 2, 的 分布, 即X1, X2的概率密度分别为试证：X1 + X2服从参数为 1+2, 的分布.注 函数:u 分布：若随机变量X的概率密度为分布的性质：若X1 (1, )， X2 (2, )，且相互 独立，则 X1 + X2 (1+2, ). 注 函数:则称X服从参数为, 的分布.记为 X(, ).若X1,X2,Xn相互独立，且Xi 服从参数为 i , (i=1,2,n)的的分布，则X1+X2+Xn服从参 数为1+2+.+n, 的分布.一般结论：一般结论：当 z 0 时,证证：A亦即Z=X1+X2服从参数为1+2, 的分布A的计算：注 函数:若X1,X2,Xn
5、相互独立，且Xi服从参数为 i, (i=1,2,n)的的分布，则X1+X2+Xn服从参 数为1+2+.+n, 的分布.一般结论：一般结论：2. 2. Z Z= =Y/X Y/X 的分布的分布、 Z Z= =XYXY的分布的分布设X,Y是二维连续型随机变量,其概率密度为f(x,y), 则Z=Y/X 、Z=XY仍为连续型随机变量，其概率密度 分别为当X,Y 相互独立时,证: y=xzyxoG1G2y=xzyxo(z0)G1G2(z0,0,. 试求联接方式为： (1) 串联，(2) 并联（3 ）备用时 系统L的寿命Z的概率密度解解(1)串联系统：此时有 Z=minX,YL2XY L1(2)并联系统：
6、L2XYL1此时有 Z=maxX, Y*2611*27*28*29例 设某种商品一周的需求量是一个随机变量，其 概率密度为若各周的需求量相互独立, 求两周需求量的概率密度.若X是离散型随机变量，Y是连续型随机变量，且X和 Y相互独立，如何求Z=X+Y的概率密度？*32*33*34(1)设E是一随机试验， 是其样本空间，X1,X2,.Xn是定义 在上的n个随机变量，则称n维向量(X1,X2,.Xn )为定义在 上的n维随机向量或n维随机变量(2)对n个任意实数，令称为n维随机变量(X1,X2,.Xn )的分布函数(3)类似可以定义离散型及连续型n维随机变量的分布律及概率密度，它们都具有类似于二维
7、时的性质 3.5 3.5 n n维随机变量维随机变量n若对任意实数 ，均有则称 X1, X2 , , Xn相互独立.设(X1, X2 , , Xn)的分布函数为F(X1, X2 , , Xn).n n定理定理 设(X1, X2, , Xm)与(Y1, Y2, , Yn) 相互独立, 则 Xi(i=1,2, m)与Yj (j=1,2, n)相互独立.又若 h, g为 连续函数, 则h(X1,X2 ,Xm)与g(Y1,Y2 ,Yn)相互独立.n 若对任意实数 x1, x2 , , xm ; y1, y2 , , yn 均有则称 X1, X2 , ,Xn与Y1, Y2 , , Yn相互独立.F(x1,xm , y1,yn)=F1 (x1,xm )F2(y1,yn)(4) n个随机变量相互独立的概念
