高中数学课程与高考新趋势

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1、高中数学课程的进展与挑战王林全 华南师范大学 数学科学学院报告主要内容n高中数学主要内容分析；n大纲，课标，考纲的异同点分析；n数学课改的当前进展与困惑；n年高考趋势的分析与估计；n相关的教学对策建议高中数学主干内容分析n变量与函数n空间与图形n程序与算法n概率与统计n能力与素质数学函数与基本初等函数n幂函数n用二分法求方程近似解n函数模型及其应用n对于分段函数要求学生能 掌握和应用n要求对分段函数的理解和 运用 n对于反函数降低了教 学要求，只是把指数 函数和对数函数作为 反函数的具体例子，n不要求学生掌握反函 数的一般定义，也不 要求求某个函数的反 函数。 平面解几初步，立体几何初步 n增

2、加了空间直角坐标系，简单几何体的 三视图，要求掌握柱、锥、台、球及其 简单组合体的特征性质；n降低要求的内容有三垂线定理，不把它 作为定理提出，而只作为例题出现。n对于正棱锥和球的性质，从要求掌握， 降低为不作要求。 算法是新增的必修内容n是数学及其应用的重要部分，又是计算机科学 的重要基础；n了解算法的意义，利用逻辑框图表示解决问题 的过程，理解逻辑框图的三种基本逻辑结构 顺序、条件分支、循环；n掌握五种基本的算法语句：赋值语句、输入语 句、输出语句、条件语句、循环语句；n统 计增加了茎叶图，并要求了解最小二乘法的 思想 。三角函数，平面向量，三角变换n三角函数中，删减了知三角函数值求角 。

3、n在平面向量内容中删减了线段的定比分 点公式，以及坐标平移公式等。n在三角恒等变换内容中，要求能推导和 、差、二倍角的正弦余弦正切公式，并 能推导和差化积、积化和差以及半角公 式等，但不要求记忆。 解三角形，数列，不等式n解三角形由初中移到高中，要求能用来 解决实际问题；n不等式部分，减少了分式不等式；n数列部分，加强了函数观点的渗透，要 求学生体会等差数列与一次函数，等比 数列与指数函数的关系。推理与证明要求的变化 专题专题内容的增加与要求的提高常用逻辑逻辑 用 语语增加全称量词词与存在量词词框图图本专题专题 （包括流程图图与结结构图图 ）是新增内容推理与证证明增加合情推理与演绎绎推理，直

4、接证证明与间间接证证明，体会公理 化思想选修，教学要求的变化圆锥圆锥 曲线线与方 程抛物线线和椭圆椭圆 与椭圆椭圆 是选选修1 和选选修2的共同内容；选选 修2多学双曲线线 导导数及其应应用通过过有关优优化的使用问题问题 ，体 会导导数的在解决实际问题实际问题 的应应 用；选选修2新增定积积分与微 积积分基本定理计计数原理2，相当于原有高中的排列 组组合内容，从必修降为为只在选选 修2出现现。 几何证明选讲，矩阵与变换统计统计 案例是高中新增内容几何证证明选讲选讲是初中数学的扩扩展性内容矩阵阵与变换变换是高中新增内容，包括二阶阶矩阵阵， 二阶阶矩阵阵与平面向量的乘法，逆矩 阵阵与二阶阶行列式，

5、二阶阶矩阵阵与二元 一次方程组组等不等式，坐标系与参数方程不等式选讲选讲 是原高中不等式的扩扩展性内容， 增加绝对值绝对值 不等式、柯西不等式 以及不等式的证证明坐标标系与参 数方程是高中极坐标标与参数方程的扩扩展 性内容；增加柱坐标标系和球坐标标 系，要求写出直线线、椭圆椭圆 、抛物 线线、双曲线线的参数方程高中数学学习的新要求n新课程倡导自主探索、动手实践、合作交 流、阅读自学的学习方式。n设置了数学探究、数学建模、实习作业等 学习项目。高中阶段至少安排较为完整的 一次数学探究、一次数学建模活动。n根据课程内容与实际情境的联系，在统计 、线性规划、视图等专题，安排适当的实 习作业。主干知识

6、和新增内容受到关注n高考数学试题注意涵盖高中代数，立体几何， 平面解析几何,概率统计,平面向量与空间向量 ,导数及其应用等，它们是高中数学课程的主 干知识。n函数的定义域,值域,单调性,奇偶性,函数符号 的运用等有关知识，都是高中代数的主干知识 之，历来受到重点考查。n空间向量,概率统计,导数及其应用等,是高中 新课程的新增内容,将在高考中受到进一步关 注.对单调性认识的两个阶段n第一阶段，要求理解单调性的图形直观 ，理解单调性的定义，通过大量的具体 函数，理解单调性在研究函数中的作用 。n第二阶段，导数是描述函数变化率的概 念，导数概念可以帮助我们对“函数的 变化”有进一步了解。 周期性是函

7、数的最基本的性质 之一 n学会用周期的观点来看待周围事物的变化是非 常重要的。正余弦函数、正余切函数都是刻画 周期变化的函数模型。n用周期的观点来研究函数，可以使我们集中研 究函数在一个周期里的变化，在此基础上，就 可以了解函数在整个定义域内的变化情况。n周期性反映了函数图形往复循环的性质。高中 数学课程中，不讨论一般函数的周期性，只对 基本的具体三角函数讨论其周期性，例如，正 弦、余弦、正切函数的周期性。奇偶性也是函数的重要性质 n奇偶性反应了函数图形的对称性质，偶函数图 形是关于y轴对称的，奇函数图形是关于原点 对称的。n奇偶性可以帮助我们更加准确和集中地研究函 数的变化规律。n高中数学课

8、程中，对于一般函数的奇偶性，不 做深入讨论，只对基本的具体函数讨论其奇偶 性，例如，简单幂函数的奇偶性。 掌握几个重要的函数模型 n幂函数、指数函数、对数函数、三角函 数是基本初等函数，这些函数是最基本 的，也是最重要的。n还有简单的分段函数，一些有实际背景 的函数，等等。这些都是基本的、重要 的函数模型。线性函数n线性函数y=ax+b可以经过变换化为最简单的 幂函数，它把x轴变成了一条直线；它是函数 关系中最常见的，也是最简单的；n在很多情况下，在研究比较复杂的函数时，我 们常常用它在一点附近来近似表示复杂的函数 ，“以直代曲”是微分的基本思想；在统计相关 分析中，线性函数即线性关系是最基本

9、的。常见的幂函数n正整数指数幂函数y=xn也是简单的函数 ，也是好的函数。所谓好，是指它具有 任意阶导数，非常的光滑。它们还有一 个极为重要的性质，对于任意一个“好 的函数”，都可以用整数指数幂函数的 代数和来近似地表示，称为泰勒公式n高中要求掌握的幂函数是：， x， x，y=x， y=x指数函数、对数函数是重要的 函数模型 n对数函数（底数大于1）、正整数指数幂函数 （ x大于零）、指数函数（底数大于1），这 三类函数都是随着自变量的增加而增加，但是 ，它们增长的速度是不同的；n对数函数最慢，正整数幂函数快一些，指数函 数最快，在实际中，我们常常分别称为：对数 增长，多项式增长，指数增长。这

10、些是刻画增 长的最基本的模式。三角函数是研究周期现象的重 要模型 n三角函数是刻画周期现象最基本的模型，三角 函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等等 。现实生活中很多的周期现象都可以直接用这 些三角函数表示。n三角函数也是最基本的周期函数，通过三角函 数可以帮助我们更好地理解周期函数；三角函 数也都是好的函数，具有任意阶导数；三角函 数的代数和可以用来表示更多的函数。 平面向量及其正交分解n在向量的学习中，我们引入了“基”的概 念，向量=（1，0）和=（0，1）就是 标准正交基，平面上任意一个向量都可 以唯一地用标准正交基表示。n如前面所说，对某些函数类，整数指数 幂函数和三角函数就能起到“

11、基”的作用 。基本函数模型的教学要求n学生应该从三方面掌握：n图像，即从几何直观的角度把握函数的变化情 况；n基本变化，即从代数的角度把握函数的变化情 况，如，指数变化之所以快是因为指数运算将 和变为积，对数变化之所以慢是因为对数运算 将积变为和；n背景，即从函数模型的原型的角度把握函数的 变化情况。 函数是高中数学的一条主线 n函数作为主线，贯穿于整个高中数学课 程中。n特别是在方程、不等式、线性规划、算 法、随机变量等内容中都突出的体现了 函数思想。用函数的观点看待方程 n把方程看成函数的零点，因此，解方程f(x)=0 就是求函数y=f(x)的零点，从而，方程可看作 函数的局部性质，求方程

12、的解就变成了思考函 数图形与x轴的相交关系，变成了考虑函数的 局部性质。n具体来说，如果函数y=f(x)连续，且y=f(x) 在区间a,b两端点的值异号，即f(a) f(b)0 ，即方程f(x)=0在区间a,b内有解。如果函 数具有这样的性质，我们就可以运用二分法近 似的求出方程的解。 例：判断方程x2x6=0的根 的存在性。 4 0 4 x6yA614BC函数与不等式 n函数y=f(x) 的图象把坐标平面分成三部分（ 这里假设函数的定义域是全体实数）：函数图 象自身，即；函数图象以上的部分，即；函数 图象以下的部分，即。再加上x轴，就把坐标 平面分成若干区域。n解不等式就是确定对应于某个区域

13、的x的范围 。n可以根据函数的图象，函数图象与x轴的交点 （方程f(x)=0的解）等来解不等式。因此，不 等式也是函数的局部性质。函数与线性规划n在讨论线性规划问题时，有两个关键环节，一 个是对可行域（目标函数的定义域）的理解， 另一个认识目标函数的变化趋势。n解线性规划问题，可归结为以下算法：n第一步，确定目标函数；n第二步，确定目标函数的可行域；n第三步，确定目标函数在可行域内的最值。数列是特殊的离散型函数。n它的定义域一般是指非负的正整数，有时也可 以为自然数集，或其无限子集。n数列通常称为离散函数，离散函数是相对定义 域为实数或者实数的区间的函数而言的。n等差数列、等比数列是最基本的数

14、学模型，在 我们日常经济生活中几乎许多经济问题都可以 归结为等差数列、等比数列模型。 高中数学第二主线几何主线 n几何研究的图形可分为两类，一类是直边或直 面图形，例如，直线，由直线围成的三角形， 由平面围成的四面体、长方体等；另一类是曲 边或曲面图形，例如，圆，球等。n在中学几何中，基本几何图形点、线、面之间 的位置关系主要有平行、垂直、包含（如点在 直线上，线在平面内，线与线、面与面重合等 ），由基本图形围成的平面图形之间的关系主 要有全等、相似、位似等。图形的度量主要有 夹角、长度、面积、体积等。几何研究图形的方法 n中学几何研究图形的方法主要有 ：n综合几何的方法，n解析几何的方法，n

15、向量几何的方法，n函数的方法等。几何的方法研究图形的性质 n复杂的图形转化为简单的图形，把空间 的图形转化为平面图形。n空间两直线的垂直问题转化为平面上两 直线的垂直（如，三垂线定理），n利用三视图研究空间几何体等。n在综合几何方法中，平移、旋转、对称 等是研究图形性质的基本方法。向量几何的方法 n就是用向量及其运算来研究几何图形的 位置关系和度量问题。n首先用向量及其运算表示几何图形，例 如，用向量表示点，用两个不共线向量 的线性组合表示平面，用向量数量积表 示由一个点和一个法向量确定的平面等 。n然后，利用向量的运算性质来研究几何 图形的位置关系和度量。 函数方法解决图形的度量关系n函数的

16、方法就是利用函数的性质，比如 ，单调性，来研究函数图形的性质。n也就是说，用函数来表示几何图形，再 利用函数的性质来研究几何图形的性质 。这种方法与解析几何方法是一致的。几何是培养数学能力的载体n数学所特有的逻辑思维和形象思维有机 地结合起来。n几何思想主要体现在几何直观能力，即 把握图形的能力。n包括空间想象力、直观洞察力、用图形 的语言来思考问题的能力。借助几何这 个载体，可以培养学生的逻辑推理能力 。 解析几何重点是帮助学生理解 数形结合的基本思想 n建立起“点”与“数对”之间的一一对 应关系，形成一座代数与几何之间的桥 梁。、另一个主要思想是建立方程与曲 线之间的联系。n帮助学生初步形成如下的观念：可以用 “方程”表示“曲线”，反之，“曲线 ”是“方程”的图像。 选修1、2设立圆锥曲线与方程 n宇宙中，物体的运动轨迹大多可以用圆锥曲线 近似的表示；n几乎所有的光学仪器都是圆锥曲线（面）的应 用。这些都是圆锥曲线不可替代的理由。n研究圆锥曲线有两种方法，综合