《高中数学 第二章 2.2函数的单调性与最值》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 第二章 2.2函数的单调性与最值(78页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 函数概念与基本初等函数 I2.2 函数的单调性与最值内容 索引基础知识 自主学习题型分类 深度剖析答题模板系列思想方法 感悟提高练出高分基础知识 自主学习1.函数的单调性 (1)单调函数的定义f(x1)f(x2)f(x1)0f(x)在a,b上是增函数;(x1x2)f(x1)f(x2)0,则函数f(x)在D上是增函数.( )(3)函数yf(x)在1,)上是增函数,则函数的单调递增区间是1,).( )思考辨析答案(4)函数y 的单调递减区间是(,0)(0,).( )(5)所有的单调函数都有最值.( )(6)对于函数yf(x),若f(1)0,x110时,f(x1)f(x2)0,即f(x1)f
2、(x2),函数f(x)在(1,1)上递减;当a0时,f(x)在(1,1)上单调递减;当a0,f(x1)f(x2)0,函数在(1,1)上为减函数.思维升华 确定函数单调性的方法:(1)定义法和导数法,证明函数单调性只能用定义法和导数法;(2)复合函数法,复合函数单调性的规律是“同增异减”;(3)图象法,图象不连续的单调区间不能用“”连接.跟踪训练1解析答案解析答案有f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),解析答案题型二 函数的最值解析答案(2)若对任意x1,),f(x)0恒成立,试求实数a的取值范围.当a0时,f(x)在1,)内为增函数.最小值为f(1)a3.要使f(x)0在x1,)上恒
3、成立,只需a30,即a3,所以30,a3,所以0f(2)0,即f(x1)0.B题型三 函数单调性的应用解析答案命题点2 解不等式CA.(1,1) B.(0,1)C.(1,0)(0,1) D.(,1)(1,)解析答案命题点3 求参数范围解析答案因为f(x)在(,4)上单调递增,答案 D 解析 当a0时,f(x)2x3,在定义域R上是单调递增的,故在(,4)上单调递增;解析答案思维升华 思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“
4、f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;需注意若函数在区间a,b上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.(1)f(x)是定义在(0,)上的单调增函数,满足f(xy)f(x)f(y),f(3)1,当f(x)f(x8)2时,x的取值范围是( )A.(8,) B.(8,9C.8,9 D.(0,8)解析 211f(3)f(3)f(9),由f(x)f(x8)2,可得fx(x8)f(9),因
5、为f(x)是定义在(0,)上的增函数,B跟踪训练3解析答案A.(1,0)(0,1) B.(1,0)(0,1C.(0,1) D.(0,1D解析 由f(x)x22ax在1,2上是减函数可得1,2a,),a1.解析答案返回答题模板系列典例 (14分)函数f(x)对任意的m、nR,都有f(mn)f(m)f(n)1,并且x0时,恒有f(x)1.(1)求证:f(x)在R上是增函数;思维点拨 对于抽象函数的单调性的证明,只能用定义.应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小.答题模板系列1.确定抽象函数单调性函数不等式解析答案思维点拨证明 设x1,x2R,且x10,当x0时,f(x)1,f(x2x1)1.
6、 2分f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1, 4分f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)0时,f(x)1,构造不出f(x2)f(x1)f(x2x1)1的形式,便找不到问题的突破口.第二个关键应该是将不等式化为f(M)0得21,所以a的取值范围为10,x1x20且f(x)在(1,)上单调递减,求a的取值范围.解 任设10,x2x10,要使f(x1)f(x2)0,只需(x1a)(x2a)0在(1,)上恒成立,a1.综上所述,a的取值范围是(0,1.解析答案123456789101112131410.设函数yf(x)是定义在(0,)上的函数,并且满足下面三个条件:对任意正
7、数x,y,都有f(xy)f(x)f(y);当x1时,f(x)f(a3),则实数a的取值范围为_.解得33.所以实数a的取值范围为(3,1)(3,).(3,1)(3,)解析答案1234567891011121314当a1时,x22xa0恒成立,定义域为(0,),当a1时,定义域为x|x0且x1,解析答案1234567891011121314(2)当a(1,4)时,求函数f(x)在2,)上的最小值;解析答案1234567891011121314(3)若对任意x2,)恒有f(x)0,试确定a的取值范围.解 对任意x2,)恒有f(x)0,所以a3xx2,令h(x)3xx2,所以h(x)maxh(2)2,所以a2.解析答案返回1234567891011121314