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1、第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率1事件的关系与运算事件的关系与运算必然事件：必然事件：随机试验全部结果构成的集合。不可能事件：不可能事件： 一般事件一般事件 A：A 若 A、B 为两事件 若，则其蕴含：“A 发生导致 B 发生” 。BA 若，这表示 A 发生时，B 必不发生，反之亦然。BAAB若 A-B=A，则 AB=；若 AB=A，则；BA 若 ABA，则 BA。若为 n 个事件，由它们的运算可产生诸多新事件，如nAAA,21等等。1111,nnniiii iiiiAAAA例例 1 事件发生等于“至少有 1 个发生” 。niiA1nAAA,212常用概率公式常用概率公式（1），
2、1)(APO1)(P0)(P（2）若，则BA )()(BPAP（3）；当，则)()()()(ABPBPAPBAPAB)()()(BPAPBAP)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP（4）)(1)(APAP（5）)()()(ABPAPBAP（6）若两两互不相容，则nAAA,21 niiniiAPAP11)()(（7）若相互独立，则nAAA,21)()()()(21 1nniiAPAPAPAP)()()()(211nniiAPAPAPAP例例 2 设1 . 0)(, 4 . 0)(, 2 . 0)(ABPBPAP则5 . 0)()()(1)(1)(ABPBP
3、APBAPBAP1 . 0)()()()(ABPAPBAPBAP3古典概型古典概型古典概型：古典概型：当随机试验的结果为有限个且诸结果等可能发生时，任一事件 A 的概率为的样本点个数的样本点个数 A nrAP)(例例 3 从五个球（其中两个白球、三个红球）中任取两球，设 A：取到两个白球；B：一白一红球，求)(),(BPAP（1）无放回抽样：101)(2 52 2CCAP53)(2 51 31 2CCCBP（2）有放回抽样：每次有放回的取一球，连取两次2)52()(AP1 223( )( )( )55P BC注：注：若设 X 为两次有放回取球中取到白球数，则，从而X)52, 2(B1212 2
4、)521 ()52()2()(CXPAP4 4条件概率条件概率（1）若，则，其中 A 为任一事件。0)(BP)()()(BPABPBAP（2）乘法公式：)()()(ABPAPABP)()(BAPBP（其中）)()()()(ABCPABPAPABCP0)(ABP例例 4 4 箱中有两白球、三红球，表第 次取到白球，则iAiP（“前两次取到白球” ）101 41 52)()()(12121AAPAPAAPP（“第一次取到白球，第二次取到红球” ）103 43 52)()()(12121AAPAPAAP（3）全概率公式：设是一完备事件组（或的一个划分） ，即：nBBB,21，（即诸互不相容）且，则对
5、任一事件 A 有jiBBnjiji, 2 , 1,iBniiB1)()()(1iniiBPBAPAP （4）Bayes 公式 niiiKK K BAPBPBAPBPABP1)()()()()(例例 5 某工厂生产的产品以 100 个为一批，在进行抽样检查时，只从每批中抽取 10 个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的，设每批产品中的次品最多不超过 4 个，并且恰有个次品的概率如下)4 , 3 , 2 , 1( ii（1）求各批产品通过的概率；（2）求通过检查的各批产品中恰有 i 个次品的概率。)4 , 3 , 2 , 1( i解：解：（1）设事件是恰有 个次品的一批产品，则由题
6、设iBi)4 , 3 , 2 , 1( i1 . 0)(, 2 . 0)(, 4 . 0)(, 2 . 0)(, 1 . 0)(43210BPBPBPBPBP设事件 A 是这批产品通过检查，即抽样检查的 10 个产品都是合格品，则我们有1)(0BAP900. 0)(10 10010 99 1CCBAP809. 0/)(10 10010 982CCBAP727. 0/)(10 10010 973CCBAP652. 0/)(10 10010 964CCBAP由全概率公式，即得8142. 0)()()(40iiiBAPBPAP（2）由 Bayes 公式，所求概率分别为123. 08142. 011
7、. 0)(0ABP221. 08142. 09 . 02 . 0)(1ABP397. 08142. 0809. 04 . 0)(2ABP179. 08142. 0727. 02 . 0)(3ABP080. 08142. 0652. 01 . 0)(4ABP5事件的独立性事件的独立性（1）定义：A、B 相互独立等价于)()()(BPAPBAP（2）若相互独立，则有nAAA,21)()()()(2121nnAPAPAPAAAP（3）有放回抽样中的诸事件是相互独立的。例例 6 袋中有 3 白球，2 个红球，今有放回的抽取 3 次，求先后抽到（白、红、白）的概率解：解：设表第 次抽到的白球，则所求为i
8、Ai12527 53 52 53)()()()(321321APAPAPAAAP（4）在 n 重贝努利（Bernoulli）试验中，若每次试验事件 A 发生的概率为，即，则事件) 10()(ppAPA 发生 K 次的概率为nkppCkPknkk nn, 2 , 1 , 0,)1 ()(例例 7 一射手对同一目标独立射击 4 次，每次射击的命中率为 0.8，求：（1）恰好命中两次的概率；（2）至少命中一次的概率。解：解：由于每次射击相互独立，故本题可视为的贝努利试验，其中4n8 . 0p（1）设：“4 次射击恰命中两次” ，则2A1536. 0)2 . 0()8 . 0()2()(222 442CPAP（2）设 B：“4 次射击中至少命中一次” ，表“4 次皆未命中” ，则0A9984. 0)2 . 0()8 . 0(1)0(1)(1)()(400 4400CPAPAPBP
