《是无穷的自然数列》由会员分享,可在线阅读,更多相关《是无穷的自然数列(6页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、B6-052B6-052 假设 a1,a2,a3,是无穷的自然数列,a1=1,而且 当 k1 时有不等式ak1+a1+a2+ak-1证明:所有的自然数都可以表示成这个数列的某些项之和的 形式(可以只有一项构成)【题说】1960 年匈牙利数学奥林匹克题 2【证】我们证明稍广一点的断言:如果自然数 na1+a2+ak,那么 n 可以表示成 a1,a2,ak中某些数的 和k=1 时断言显然成立,假设断言对于 k-1 成立,则自然数 na1+a2+ak-1时 n 可以表示成 a1,a2,ak-1中某些数的和若 1+a1+a2+ak-1na1+a2+ak,则由已知条件 0n- aka1+a2+ak-1于
2、是数 n-ak或者等于 0,或者根据归纳假设可 以表示成 a1,a2,ak-1中某些数的和因此 n 可以表示成 a1,a2,ak中某些数的和 B6-053B6-053 考察数列cn:c1=c1+c2+a8其中 a1,a2,a8是不全为 0 的实数假定该数列中有无 限多项 cn=0求出所有使 cn=0 的自然数 n【题说】第九届(1967 年)国际数学奥林匹克题 5本题由 原苏联提供【解】不妨设 a1的绝对值为最大,则必有某个 ai,满足 ai=- a1(i1)否则,当 n 充分大时,不失一般性可设 a2=-a1所得的和 cn仍然有无穷多个为 0根据上面的推理,有(适 当调整编号):a3=-a4
3、,a5=-a6,a7=-a8因而 n 为奇数时,cn=0 B6-054B6-054 一次竞赛在 n(1)轮中共发了 m 枚奖章第一轮 发了轮正好发了 n 枚而没有余下的奖章这个竞赛共包括几轮? 一共发了多少奖章?【题说】第九届(1967 年)国际数学奥林匹克题 6本题由 匈牙利提供即 (m-36)6n-1=7n(n-6)所以 6n-1|(n- 6)但 6n-1n- 6所以 n=6,m=36 B6-055B6-055 设an为有下列性质的实数列:1=a0a1a2an (1)又bn是由下式定义的数列:证明:(a)对所有 n=1,2,3,有 0bn2;(b)对 0c2 的任一 c,总存在一个具有性质
4、(1)的数 列an,使得由(2)导出的数列bn中有无限多个下标 n 满 足 bnc【题说】第十二届(1970 年)国际数学奥林匹克题 3本题 由瑞士提供所以=2第 k 项是现在要求对无穷多个 n,d(1+d)(1-dn)c,则事实上,这时有 d(1+d)c故(3)右端为一正数因为 0d1 时,dn0,所以存在一个确切的自然数 N(如取 N=ln(1-c/(d(1+d)/lnd),使得当 nN 时(3)成 立于是(b)得证 B6-056B6-056 证明:如果an是两两互异的自然数组成的无穷 序列,并且这些自然数的十进制表达式中不含数字 0,那么【题说】1970 年1971 年波兰数学奥林匹克三
5、试题 1【证】k 位数中,数字不含 0 的共 9k个,其中首位数字为 1,2,9 的各 9k-1个,因此B6-057B6-057 证明:数列2n-3,n=2,3,4,中至少有一个 无穷子列,其中的项两两互素【题说】第十三届(1971 年)国际数学奥林匹克题 3本题 由波兰提供【证】我们用归纳法来构造一个这样的子列取 n1=2若 n1,nk已经取定,且 2ni-3(1ik)两两 互素,将它们分解成素因子的积,设在这些积中出现的素因子为pj(1jn)令 nk+1=(p1-1)(p2-1)(pm- 1)+24-3=1(mod pj)(1jn)故 2nk+1-3 不能被任一 pj整除,因而它与 2ni
6、(1jk)都互 素,这样,子列2nk-3就是满足题目要求的一个子列 B6-058B6-058 设 a1,a2,a3,是正整数无穷数列,且对所有 k1 有 akak+1证明:在上述数列出,有无穷多个 am可以表示 成am=xap+yaq的形式,其中 x,y 是适当的正整数,并且 pq【题说】第十七届(1975 年)国际数学奥林匹克题 2本题 由英国提供【证】考虑模 a1的剩余类因为关于模 a1的剩余类只有有限 个,所以必存在一个剩余类,其中包含所给数列的无穷多项,设 ap是该剩余类中的最小的异于 a1的数,则此类中其余的 amap, 都可表成 am=ap+ya1,y 为正整数 B6-059B6-
7、059 在一个实数的有限数列中,任何七个连续项之和都 是负数,而任何十一个连续项之和都是正数试问:这样一个数 列最多能包含多少个项?【题说】第十九届(1977 年)国际数学奥林匹克题 2本题 由越南提供【解】设所求的有最大项数的数列为 a1,a2,an首先,n16否则,矛盾其次,n=16 是可能的例如数列(5,5,-13,5,5,5,- 13,5,5,-13,5,5,5,-13,5,5),因此所求的最大数为 16 B6-060B6-060 在正整数集上定义一个函数 f(n)如下:当 n 为偶 数时,f(n)=n/2;当 n 为奇数时,f(n)=n+31证明:对任何正整数 m,数列a0=m,a1=f(a0),an=f(an-1),中总有一项为 1 或 32在全部正整数中,哪些 m 使上述数列必然出现 3?哪些 m 使上述数列必然出现 1?【题说】1979 年全国联赛二试题 5【解】1若 ak3,则 ak为偶数时,ak+1=ak/2ak;ak为奇数 时,ak+2=(ak+3)/2ak由于数列取正整数值,任一无限子列不 能严格递减,所以必有一项3如果这项为 2,则下一项为 1, 故数列中必有一项为 1 或 32当 m 是 3 的倍数时,一切项都是 3 的倍数,因此,数列必 然出现 3当 m 不是 3 的倍数时,一切项都不是 3 的倍数,因此, 数列必然出现 1