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1、B6-052B6-052 假设 a1，a2，a3，是无穷的自然数列，a1=1，而且 当 k1 时有不等式ak1+a1+a2+ak-1证明：所有的自然数都可以表示成这个数列的某些项之和的 形式（可以只有一项构成）【题说】1960 年匈牙利数学奥林匹克题 2【证】我们证明稍广一点的断言：如果自然数 na1+a2+ak，那么 n 可以表示成 a1，a2，ak中某些数的 和k=1 时断言显然成立，假设断言对于 k-1 成立，则自然数 na1+a2+ak-1时 n 可以表示成 a1，a2，ak-1中某些数的和若 1+a1+a2+ak-1na1+a2+ak，则由已知条件 0n- aka1+a2+ak-1于
2、是数 n-ak或者等于 0，或者根据归纳假设可 以表示成 a1，a2，ak-1中某些数的和因此 n 可以表示成 a1，a2，ak中某些数的和 B6-053B6-053 考察数列cn：c1=c1+c2+a8其中 a1，a2，a8是不全为 0 的实数假定该数列中有无 限多项 cn=0求出所有使 cn=0 的自然数 n【题说】第九届（1967 年）国际数学奥林匹克题 5本题由 原苏联提供【解】不妨设 a1的绝对值为最大，则必有某个 ai，满足 ai=- a1（i1）否则，当 n 充分大时，不失一般性可设 a2=-a1所得的和 cn仍然有无穷多个为 0根据上面的推理，有（适 当调整编号）：a3=-a4
3、，a5=-a6，a7=-a8因而 n 为奇数时，cn=0 B6-054B6-054 一次竞赛在 n（1）轮中共发了 m 枚奖章第一轮 发了轮正好发了 n 枚而没有余下的奖章这个竞赛共包括几轮？ 一共发了多少奖章？【题说】第九届（1967 年）国际数学奥林匹克题 6本题由 匈牙利提供即 （m-36）6n-1=7n（n-6）所以 6n-1|（n- 6）但 6n-1n- 6所以 n=6，m=36 B6-055B6-055 设an为有下列性质的实数列：1=a0a1a2an （1）又bn是由下式定义的数列：证明：（a）对所有 n=1，2，3，有 0bn2；（b）对 0c2 的任一 c，总存在一个具有性质
4、（1）的数 列an，使得由（2）导出的数列bn中有无限多个下标 n 满 足 bnc【题说】第十二届（1970 年）国际数学奥林匹克题 3本题 由瑞士提供所以=2第 k 项是现在要求对无穷多个 n，d（1+d）（1-dn）c，则事实上，这时有 d（1+d）c故（3）右端为一正数因为 0d1 时，dn0，所以存在一个确切的自然数 N（如取 N=ln（1-c/（d（1+d）/lnd），使得当 nN 时（3）成 立于是（b）得证 B6-056B6-056 证明：如果an是两两互异的自然数组成的无穷 序列，并且这些自然数的十进制表达式中不含数字 0，那么【题说】1970 年1971 年波兰数学奥林匹克三
5、试题 1【证】k 位数中，数字不含 0 的共 9k个，其中首位数字为 1，2，9 的各 9k-1个，因此B6-057B6-057 证明：数列2n-3，n=2，3，4，中至少有一个 无穷子列，其中的项两两互素【题说】第十三届（1971 年）国际数学奥林匹克题 3本题 由波兰提供【证】我们用归纳法来构造一个这样的子列取 n1=2若 n1，nk已经取定，且 2ni-3（1ik）两两 互素，将它们分解成素因子的积，设在这些积中出现的素因子为pj（1jn）令 nk+1=（p1-1）（p2-1）（pm- 1）+24-3=1（mod pj）（1jn）故 2nk+1-3 不能被任一 pj整除，因而它与 2ni
6、（1jk）都互 素，这样，子列2nk-3就是满足题目要求的一个子列 B6-058B6-058 设 a1，a2，a3，是正整数无穷数列，且对所有 k1 有 akak+1证明：在上述数列出，有无穷多个 am可以表示 成am=xap+yaq的形式，其中 x，y 是适当的正整数，并且 pq【题说】第十七届（1975 年）国际数学奥林匹克题 2本题 由英国提供【证】考虑模 a1的剩余类因为关于模 a1的剩余类只有有限 个，所以必存在一个剩余类，其中包含所给数列的无穷多项，设 ap是该剩余类中的最小的异于 a1的数，则此类中其余的 amap， 都可表成 am=ap+ya1，y 为正整数 B6-059B6-
7、059 在一个实数的有限数列中，任何七个连续项之和都 是负数，而任何十一个连续项之和都是正数试问：这样一个数 列最多能包含多少个项？【题说】第十九届（1977 年）国际数学奥林匹克题 2本题 由越南提供【解】设所求的有最大项数的数列为 a1，a2，an首先，n16否则，矛盾其次，n=16 是可能的例如数列（5，5，-13，5，5，5，- 13，5，5，-13，5，5，5，-13，5，5），因此所求的最大数为 16 B6-060B6-060 在正整数集上定义一个函数 f（n）如下：当 n 为偶 数时，f（n）=n/2；当 n 为奇数时，f（n）=n+31证明：对任何正整数 m，数列a0=m，a1=f（a0），an=f（an-1），中总有一项为 1 或 32在全部正整数中，哪些 m 使上述数列必然出现 3？哪些 m 使上述数列必然出现 1？【题说】1979 年全国联赛二试题 5【解】1若 ak3，则 ak为偶数时，ak+1=ak/2ak；ak为奇数 时，ak+2=（ak+3）/2ak由于数列取正整数值，任一无限子列不 能严格递减，所以必有一项3如果这项为 2，则下一项为 1， 故数列中必有一项为 1 或 32当 m 是 3 的倍数时，一切项都是 3 的倍数，因此，数列必 然出现 3当 m 不是 3 的倍数时，一切项都不是 3 的倍数，因此， 数列必然出现 1
