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1、第 5 章 二次曲线1第 5 章 二次曲线学习辅导（2）典型例题例 1 填空选择题 1 两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体是（） 。 (A)一条二阶曲线 (B) 一条直线(C)一个点 (D) 两个点 2 若点在二次曲线上，那么它的极线一定是的（） 。P (A)切线 (B) 直径 (C) 半径 (D)渐近线 3极线上的点与极点（） 。 (A)共轭 (B)不共轭(C)可能不共轭(D)不可判定 4无穷远点关于二次曲线的极线称为二次曲线的（） 。 (A)半径 (B) 直径 (C) 渐近线(D) 切线 解： 1根据二次曲线的射影定义可知，两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体是一 条
2、二阶曲线，因此正确的选项是(A)。 2 根据定理可知若点在二次曲线上，那么它的极线就是在点的切线，因此正确的PP 选项是(A)。 3根据极线与极点的定义可知，极线上的点与极点共轭，因此正确的选项是(A)。 4根据定义可知无穷远点关于二次曲线的极线是二次曲线的直径，因此正确的选项是 (B)。 例 2 求由两个射影线束，031 xx032xx21 决定的二次曲线的方程。 解：两个线束可以写成02103231xxxx即 0)(20323231 xxxxxx消去，得0)(2323231xxxxxx所以即为所求二次曲线。023231212 3xxxxxxx例 3 求通过点 A（1，1，0） ，B（2，0
3、，1） ，C（0，2，-1） ，D（1，4，-2） ， E（2，3，-2）的二阶曲线方程。 解 设二阶曲线方程为02223223311321122 3332 2222 111xxaxxaxxaxaxaxa第 5 章 二次曲线2将已知五点坐标代入上式得：01281249401648416404404402231312332211231312332211233322133311122 22211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaxaa解方程组得：，1112aa1122aa111349aa112349aa11335aa所求二阶曲线方程为029 29253231212 32 22 1xxxxxxx
4、xx即099410223231212 32 22 1xxxxxxxxx例 4 设有一变动三角形，其三边通过三个不共线的定点，其二顶点分别在二定直线上移动，则第 三个顶点的轨迹是一条二阶曲线且通过三定点的两个定点。证明 设已知的变动三角形的边通过不共线三点，顶点分别在定直线和ABCQRP,BA,a上移动，于是得到三角形，b111CBA222CBA因为 ),(2211CACAACP),(2211BABAABQ),(),(22112211CBCBBCRBABAABQ所以 ),(2211CACAACP),(2211CBCBBCR根据定理 1，可知对应直线的交点也就是第三个顶点的轨迹是通过顶点的二,21
5、CCCRP,阶曲线。RQPB1B1B2A1A2C1C2第 5 章 二次曲线3注意：（1）此题中如果共线，则第三顶点的轨迹是退化的二阶曲线。RQP,C（2）此命题的对偶命题是：一个变动的三线形，其三顶点分别在三条不共线的定直线上移动， 两条边分别通过两个定点（不在定直线上） ，求第三边的轨迹。 例 5 (巴斯卡逆定理)若六角形的三双对边的交点共线，那么这六角形内接于一个二次曲线. 证明 如图，设是一简单六点形的六个顶点，其对边与与与分别, 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 11223,4534,5661交于三点，且共线. 又设 16 与 45 交点为 P，56 与 34 交点为 Q ,如图
6、，则 CBA,CBA, BQPA56)45又 ， 4556241PA BQ5656243所以 5624156243根据定理 1 可知六点在一条二阶曲线上。, 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1例 6 已知二阶曲线上的五个点，利用巴斯卡定理作出第六个点。 解 将五个点编号为 12345，如图。QC5 61432ABP651432LMNp第 5 章 二次曲线4设 12 与 45 交于 L，过 L 任作一直线 p，23 交 p 于 M，34 交 p 于 N，5M 与 1N 交于一点 6，根据巴 斯卡定理的逆定理，得知 6 为二阶曲线上的点，变动直线 p，就得到二阶曲线上其它点。 同样，已知二
7、级曲线上的五条切线，利用布利安香定理的逆定理可以作出第六条切线。例 7 内接于圆的两个四点形与，设与交于点 P， 与ABCDDCBAABBABC 交于点 Q，与交于点 R，若 P，Q，R 在同一直线上，则与的交点 S 也在CBCDDCDAAD 该直线上。证明 设与的交点为 T。CAAC 考虑六点形。根据巴斯卡定理，P，Q 与 T 三点共线。ABCCBA 再考虑六点形，根据巴斯卡定理，S，R 与 T 三点共线。ADCCDA 已知 P，Q，R 三点共线，则 P，Q，R，S 四点共线。例 8 求二次曲线在点处的切线方程.011246322 32 22 1xxxxx1 , 2 , 1解 因为,所以该点
8、在二阶次曲线上，故所求切线方程为0) 1)(2(11) 1 (24)2() 1 (6222，024211021110006121321 xxx即为所求的切线方程。026712321xxx例 9 求点（1，1，0）关于二阶曲线的极线0547533231212 32 22 1xxxxxxxxx方程。解 将点（1，1，0）的坐标及的值代入极线方程：)3 , 2 , 1,(jiaij0)()()(333323213123232221211313212111xyayayaxyayayaxyayaya即0)0252()0527()0273(321xxx整理即得所求极线方程为03331xxx第 5 章 二次
9、曲线5例 10 已知点不在二阶曲线上，求作点关于二阶曲线的极线。PcPc 解 通过点作二阶曲线的两条割线，与分别交于 AB，CD，如图，设 AC 与 BD 交于点Pcc Q，AD 与 BC 交于点 R，则直线 QR 就是点关于二阶曲线的极线。Pc 由此可见，当点在二阶曲线内部时，其极线与二阶曲线无交点；当点在二阶曲线外部时，PpP 其极线与二阶曲线相交于实点。p例 11 设为一已知点，证明它关于二次曲线的极线为),(11yxP12222 by ax。121 21byy axx证明 方程可以写成12222 by ax0222222bayaxb化成齐次方程为02 3222 222 12xbaxax
10、b点的齐次坐标为，它关于二次曲线的共轭点的齐次坐标为，),(11yx) 1 ,(11yx12222 by ax) 1 ,(yx非齐次坐标为，极线方程应满足),(yx022 12 12bayyaxxb整理得，证毕。121 21byy axx例 12（1） 求二阶曲线的中心与过（1，1）点的直径。01242222yxyxyx（2）求双曲线的渐近线。01024322yxyxyx解 （1）中心：因为 012121211 )(ijaQPBCADRPQPDCABPR第 5 章 二次曲线6于是, 1, 1, 3333231AAA中心坐标为（3，1，1） ，或写成（3，1） 过（1，1）的直径：由方程0) 12()2(yxkyx以点（1，1）坐标代入，得 k1，故得直径方程为。01y（2） 方法一：根据渐近线是自共轭直径，因此渐近线斜率应满足01342kk解出 k11，k21/4，所求二渐近线为0542/312/3yxyx04/58/312/3yxyx即，0855 yx018205yx方法二：因为0 05154231231 D7/2，13/2，25/4,31A32A33A中心为 ,25/143331AA25/263332AA由X23XY4Y20，得(X4Y)(XY)0 则有 X4Y0 XY0将 Xx，Yy代入，得2514 2526018205, 0855yxyx这就是所求的两条渐近线方程。
