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1、第 1 讲 数列的概念与简单表示法【2013 年高考会这样考】 1以数列的前几项为背景，考查“归纳推理”思想 2考查已知数列的通项公式或递推关系，求数列的某项 3考查由数列的递推关系式求数列的通项公式，已知 Sn与 an的关系求 an等 【复习指导】 1本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主 2对于归纳通项公式的题目，归纳出通项后要进行验证 3熟练掌握求解数列通项公式的基本方法，尤其是已知递推关系求通项这种基本的方 法，另外注意累加法、累积法的灵活应用基础梳理 1数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项 2数列的分类 分类原则类型满足条件 按项数分类
2、 有穷数列项数有限 无穷数列项数无限 按项与项间 的大小关系 分类 递增数列an1an 递减数列an1an 常数列an1an其中 nN 按其他 标准分类 有界数列存在正数 M，使|an|M 摆动数列an的符号正负相间，如 1，1,1，1， 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法 4数列的通项公式 如果数列an的第 n 项 an与 n 之间的函数关系可以用一个式子 anf(n)来表示，那么 这个公式叫做这个数列的通项公式 5Sn与 an的关系 已知 Sn，则 anError!在数列an中，若 an最大，则Error!若 an最小，则Error!一个联系数列是一种特殊
3、的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变 量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列因此，在研究函数问题时既要注意 函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性两个区别 (1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列，这有别于 集合中元素的无序性 (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现 三种方法 由递推式求通项 an的方法： (1)an1anf(n)型，采用叠加法；(2)f(n)型，采用叠乘法；an1an (3)an1panq(p0,1，q0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决 双基自测 1(人教 B 版教材习题改编)已知数
4、列an的前 4 项分别为 2,0,2,0，则下列各式不可以 作为数列an的通项公式的一项是( )Aan1(1)n1 Ban2sinn2 Can1cos n DanError! 解析 根据数列的前 4 项验证 答案 B 2在数列an中，a11，an2an11，则 a5的值为( ) A30 B31 C32 D33 解析 a52a412(2a31) 122a32123a2222124a123222131. 答案 B 3已知 an1an30，则数列an是( ) A递增数列 B递减数列 C常数列 D不确定 解析 an1an30，an1an30，an1an. 故数列an为递增数列 答案 A 4设数列an的
5、前 n 项和 Snn2，则 a8的值为( ) A15 B16 C49 D64 解析 由于 Snn2，a1S11. 当 n2 时，anSnSn1n2(n1)22n1，又 a11 适合上式 an2n1，a828115. 答案 A 5(2012泰州月考)数列 1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，中 x 的值为_ 解析 观察数列中项的规律，易看出数列从第三项开始每一项都是其前两项的和 答案 21 考向一 由数列的前几项求数列的通项【例 1】写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，；(2) ， ， ，；12347815163132(3)1， ， ，；3213341536 (4)3,
6、33,333,3 333，. 审题视点 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项之间的关系，项 与前后项之间的关系 解 (1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an2n1.(2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21,22,23，24，所以 an.2n12n (3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(1)n；各项绝对值的分母组成数 列 1,2,3,4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为21，偶数项为 21，所以 an(1)n.21nn 也可写为 anError!(4)将数列各项改写为： ， ，9399399939 9993分母都是
7、 3，而分子分别是 101,1021,1031，1041，所以 an (10n1)13根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： (1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化 的部分和不变的部分；(4)各项符号特征若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一 成相同的形式，让规律凸现出来 【训练 1】 已知数列an的前四项分别为 1,0,1,0，给出下列各式：an；an；ansin2；an；anError!；11n211n2n21cos n2an(n1)(n2)其中可以作为数列an的通项公式的有_(填序11n12 号)
8、答案 考向二 由 an与 Sn的关系求通项 an 【例 2】已知数列an的前 n 项和为 Sn3n1，则它的通项公式为 an_. 审题视点 利用 anSnSn1(n2)求解 解析 当 n2 时，anSnSn13n1(3n11)23n1；当 n1 时，a1S12 也 满足 an23n1. 故数列an的通项公式为 an23n1. 答案 23n1数列的通项 an与前 n 项和 Sn的关系是 anError!当 n1 时，a1若适合 SnSn1，则 n1 的情况可并入 n2 时的通项 an；当 n1 时，a1若不适合 SnSn1，则用 分段函数的形式表示 【训练 2】 已知数列an的前 n 项和 Sn
9、3n22n1，则其通项公式为_ 解析 当 n1 时，a1S13122112； 当 n2 时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当 n1 时，不满足上式 故数列的通项公式为 anError! 答案 anError! 考向三 已知数列的递推公式求前几项或通项公式【例 3】根据下列条件，确定数列an的通项公式 (1)a11，an13an2；(2)a11，anan1(n2)；n1n (3)已知数列an满足 an1an3n2，且 a12，求 an. 审题视点 (1)可用构造等比数列法求解(2)可转化后利用累乘法求解(3)可利用累加 法求解 解 (1)an13an2，an113
10、(an1)，3，数列an1为等比数列，公比 q3，an11an1 又 a112，an123n1，an23n11.(2)anan1(n2)，an1an2，a2 a1.以上(n1)个式子相乘得n1nn2n112ana1 .1223n1na1n1n(3)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)当 n1 时，a1n3n12(311)2 符合公式，an n2 .1232n2已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解当 出现 anan1m 时，构造等差数列；当出现 anxan1y 时，构造等比数列；当出现anan1f(n)
11、时，用累加法求解；当出现f(n)时，用累乘法求解anan1 【训练 3】 根据下列各个数列an的首项和基本关系式，求其通项公式 (1)a11，anan13n1(n2)；(2)a12，an1anln.(11n) 解 (1)anan13n1(n2)，an1an23n2， an2an33n3， a2a131， 以上(n1)个式子相加得ana131323n113323n1.3n12(2)an1anln，(11n)an1anlnln，(11n)n1nanan1ln，an1an2ln，nn1n1n2a2a1ln ，21 以上(n1)个式相加得，ana1lnlnln ln n又 a12，nn1n1n221a
12、nln n2. 考向四 数列性质的应用【例 4】已知数列an的通项 an(n1)n(nN)，试问该数列an有没有最大项？(1011) 若有，求最大项的项数；若没有，说明理由 审题视点 作差：an1an，再分情况讨论解 an1an(n2)n1(n1)nn.(1011)(1011)(1011)9n11 当 n9 时，an1an0，即 an1an； 当 n9 时，an1an0，即 an1an； 当 n9 时，an1an0，即 an1an； 故 a1a2a3a9a10a11a12，所以数列中有最大项为第 9,10 项(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法 来解决 (2)
13、数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可 借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用作差法，作商法，结合函数图象等方 法 【训练 4】 已知数列an的前 n 项和 Snn224n(nN*) (1)求an的通项公式； (2)当 n 为何值时，Sn达到最大？最大值是多少？ 解 (1)n1 时，a1S123. n2 时，anSnSn1n224n(n1)224(n1)2n25.经验证，a123 符 合 an2n25， an2n25(nN*) (2)法一 Snn224n，n12 时，Sn最大且 Sn144. 法二 an2n25，an2n250，有 n.a120，a130，252 故 S12最大，最大值为 144. 难点突破 13数列中最值问题的求解从近几年新课标高考可以看出，对求数列中的最大项是高考的热点，一般难度较 大解决这类问题时，要利用函数的单调性研究数列的最值，但要注意数列的单调性与函 数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最 大(小)项时，应注意数列中的项可以是
