数列专题复习

《数列专题复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列专题复习（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1数列专题复习数列专题复习 一、专题定位一、专题定位 该部分在高考试卷中，一般是一个解答题和一道选择题或填空题，分值占整个试卷的 10%左右.命题形式主要有两种方式：一是单纯考查等差或等比数列的基本量计算，试题一 般出现在试卷中第 19 或 20 题；二是数列与函数、导数、不等式或其它知识交汇，以压轴 题的形式出现，另外，应当关注从其他角度考查数列的可能和命题方法，如从数列本身派 生的子数列问题、定义一个新数列来研究其性质；从函数角度命制的点列问题；与不等式、 三角函数、解析几何等问题综合考查数列的问题等，这一方面近几年的上海高考题值得借 鉴和研究. 二、要点点拨二、要点点拨 1.数列应掌握等

2、差数列、等比数列以及可以转化为这两种数列之一的数列的基本概念和基 本计算，尤其是关于基本元素的计算问题，求首项、公差或公比、某一项、通项公式及前n 项和公式. 解决这些问题通常有两种方法：一是基本量法，抓住及方程思想；)(,1qda二是利用等差（等比）数列性质. 2掌握倒序相加和错位相减方法，理解其实质并能灵活应用；掌握常见的一些求前 n 项和 的方法，如：裂项法、消项法、放缩法（主要是在证明不等式中应用，通过放缩转化为能 求和的问题）等. 3. 数列与函数、方程、不等式或其它知识的综合应用，解题过程中体现了等价转化，分类 讨论等重要的数学思想方法例如：不等式是深刻认识函数和数列的重要工具，将

3、等差数 列、等比数列、简单的递推公式与不等式结合起来的综合求解题，是对基础和能力的双重 检验，而函数、不等式、数列结合的求证题所显现出的代数推理又是近年来高考命题的新 热点. 三、易错易混点提醒三、易错易混点提醒 应用公式时因忽视使用条件而出错，如应用等比数列的前项和公式，忽略对公比n及两种情况的讨论；利用公式忽略了，且忘记验证1q1q1nnnSSa2n的情形. 计算前项和时数错项数导致计算错误；对等差数列前项和的结构特1nnn 征认识不清，盲目应用公式求解；对非等差或等比数列不能进行正确的转化导致问题不 能求解；实际应用中分不清是求和还是求通项. 四、数列两大热点和重点问题四、数列两大热点和

4、重点问题（一）求数列通项的常用方法：一、公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。1、已知数列试写出其一个通项公式：_（答：,3219 ,1617 ,815 ,413）11212nnan 二、退项作差法：（利用）nnas和的关系已知（即）求，用退项作差法：并常常会用到nS12( )naaaf nna。11,(1) ,(2)nnnSnaSSn2说明：有的地方将利用求数列通项单独列为一种方法。nnas和的关系2、已知的前项和满足，求nan2log (1)1nSnna（答：） ；3,1 2 ,2nnnan3、数列满足，求na12211125222nnaaanna（答：）114,1 2,2nnnan

5、4、数列满足，求na11154,3nnnaSSana（答：）14,1 3 4,2nnnanA注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？1nnnSSa（，当时，） ；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，2n 1n 11Sa nanS常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。1nnnSSananS三、退项作商法：已知求，用退项作商法：。12( )na aaf nA A Ana(1),(1) ( ),(2)(1)nfn f nanf n5、数列中，对所有的都有，则_（答：na, 11a2n2 321naaaan53aa）61 16四、累差（加）法：若

6、求用累加法：1( )nnaaf nna11221()()()nnnnnaaaaaaa。1a(2)n 6、已知数列满足，则=_（答：na11a nnaann111(2)n na）121nan 五、累乘法：3已知求，用累乘法：。1( )nnaf nana12 1 121nn n nnaaaaaaaa(2)n 7、已知数列中，前项和，若，求na21annSnnanS2na（答：）4 (1)nan n六、构造新数列法：已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列） 。na（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法1nnakab1n nnakab, k b转化为公比为的等比数列后，再求。kna8

7、、已知，求（答：） ；111,32nnaaana12 31n naA9、已知，求（答：） ；111,32nnnaaana115 32nn naA（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。11n n naakab10、已知，求（答：） ；1 1 11,31n n naaaana1 32nan（3）一个等式中既出现的和或差形式，又出现它们的乘积形式，常常除以1nnaa与它们的乘积构造新的数列；一个等式中既出现的和或差形式，又出现它们1nnss与的乘积形式，常常除以它们的乘积构造新的数列；11、已知数列满足=1，求（答：）1a11nnnnaaa ana21nan七、归纳猜想证明：12、数列的前 n

8、项和为,且方程有一根为, nans20nnxa xa1ns 1,2,3,n (1) 求.1,2a a(2) 求的通项公式. na答案(1)(2)1211,26aa1n n （二）数列求和的常用方法1公式法公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明特别声明：运用等比数列求和公4式，务必检查其公比与 1 的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：，1123(1)2nn n 222112(1)(21)6nn nn. 33332(1)1232n nn例题例题 1 1 等比数列的前项和 S2，则_（答：nan22 32 22 1naaaa） ；41 3n变式（变式（1 1）计算机是将信息转换成二进

9、制数进行处理的。二进制即“逢 2 进 1” ，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将2)1101(13212021210123二进制转换成十进制数是_（答：） 120052)11111(个2005212分组求和法分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.例题例题 2 2 求：（答：）1 357( 1) (21)n nSn ( 1)nn变式（1）求和（答）11111111 (1)(1).(1.)224242nnS n-11222n（2）求数列 14，25，36，前项和= （答：(3)nnnnS） ；(1)(5) 3n nn3倒序相加

10、法倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导n方法）. 例题例题 3 3 求证：；01235(21)(1) 2nn nnnnCCCnCnA变式（变式（1 1）已知，则22( )1xf xx_（答：）111(1)(2)(3)(4)( )( )( )234fffffff7 24错位相减法错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.n5例题例题 4 4 设为等比数列，已知，求na121(1)2nnn

11、Tnanaaa11T 24T 数列的首项和公比；求数列的通项公式.（答：，；na nT11a 2q ） ；122n nTn变式：变式：设函数，数列满足：) 1(4)() 1()(2xxgxxf，na12,()naf a(na，求证：数列是等比数列；令)()1 Nnagann1na，求函数在点处的导数，2 12( )(1)(1)h xaxax(1)n nax)(xh38x)38(h并比较与的大小。 （答：略；，当时，)38(hnn 228( )(1) 213nhnA1n ；当时，）)38(hnn 222n )38(hnn 223n )38(hnn 225裂项相消法裂项相消法：如果数列的通项可“分

12、裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：； ；111 (1)1n nnn11 11()()n nkk nnk，；2211111()1211kkkk21111111 1(1)(1)1kkkkkkkkk ；1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn11 (1)!(1)!n nnn.2122(1)2(1)11nnnnnnnnn 例题 5 已知等差数列满足：，的前n项和为 （）求 na37a 5726aa nanS及；nanS（）令bn=(nN*)，求数列的前n项和(答：21 1na nbnT，)221,2nnanSnn4(1)nnTn变式变

13、式 1 1、求和： （答：） ；111 1 447(32)(31)nn31n n2 2、在数列中，且 S，则 n_（答：99） ；na11nnan63、已知数列中，当时，其前 n 项和满足。 （1）求 na11,2annS2(1)nnnSa S的表达式；（2）设，求的前 n 项和.(答：，nS21n nsbn nbnT1 21nsn)21nnTn4、求和： （答：）111112123123n2 1n n五、近五年山东高考试题回顾与分析：08 年山东(19)(本小题满分 12 分) 将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a

14、9 a10 记表中的第一列数 a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn,b1=a1=1. Sn为数列bn的前 n项和，且满足1=（n2）. nNnn SSbb22 ()证明数列成等差数列，并求数列bn的通项公式；nS1（）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且 公比为同一个 正数.当时，91481a求上表中第k(k3)行所有 项和的和.()证明： 由已知，).1(22 122.12,2112111.2111. 1,2111, 12, 1)(2, 1211111112 11212nnhnSbnnSnnSSabSSSSSSSSSSSSSbbbSSSbbnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn时，所以 当即 ）（由上可知 的等差数列，公差为是首项为所以数列又所以 ）（即 ）（所以 又 71, n=1nb- n2.,) 1(2 nn（）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为 q,且 q