《离散数学--12.3-4离散型随机变量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散数学--12.3-4离散型随机变量（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12.3 离散型随机变量 12.3.1 离散型随机变量及其分布律 12.3.2 常用分布 0-1分布, 二项分布, 泊松分布, 超几何分布 几何分布, 巴斯卡分布, 负二项分布 12.3.3 数学期望 12.3.4 方差 切比雪夫不等式 1随机变量 随机试验结果的数字化. 例如, 掷硬币试验, 令 定义12.5 设随机试验的样本空间为, 称定义在上的实值 函数X:R为随机变量. 通常把X()简记作X. 只可能取到有穷个或可数无穷个值(即为离散样本空间) 的随机变量称作离散型随机变量 2离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X可能取到的值为a1, a2, (有穷个或可 数无穷个), 称PX=ak
2、=pk, k=1,2, 为X的概率分布律, 简称为分布律. 性质: (1) k, 0pk1, (2) (2) 例如, 掷硬币试验 PX=1=0.5, PX=0=0.53实例例1 套圈游戏. 某人反复套同一个目标, 直到套中为止, 把套中目标所用的次数记作X. 设他每次套中目标的概率为p(00, 证 设X的分布律为PX=ak=pk, k=1,2,., 于是17k阶原点矩DX反映随机变量分布的离散程度定义12.9 设k是正整数, 若E(Xk)存在, 则称作X的k阶原点矩 设X的分布律为PX=ai=pi, i=1,2, 则1812.4 概率母函数 概率母函数 概率母函数的性质 概率母函数的应用19概
3、率母函数定义12.10 设随机变量X的分布律为PX=k=pk, k=0,1, 称X(s)=E(sX)= , 1s1为X的概率母函数, 简称母函数. 可简记作(s). X(s)在1,1上绝对且一致收敛,例1 0-1分布的母函数 解 (s)=q+ps例2 泊松分布的母函数解20母函数的性质性质12.4.1 (线性性质) aX+b(s)= sbX(sa), 其中a,b是非负整数.性质12.4.2 有限个独立随机变量和的母函数等于各个随机 变量母函数的乘积. 即, 设X1,X2,Xn相互独立, 母函数依 次为 1(s),2(s), n(s). 又Y=X1+X2+Xn, 则Y(s)=1(s)2(s)n(
4、s)性质12.4.3 设E(X2)存在, 则E(X)= (1), E(X2)= (1)+ (1),D(X)= (1)+ (1) (1)2.21性质12.4.3的证明已知E(X2)=k2pk存在, 当1 s 1时,|(pksk)|=|kpksk1| kpk k2pk |(pksk)|=|k(k1)pksk2| k2pkkpksk1和 k(k1)pksk2在1,1上一致收敛, 故 (s)=kpksk1, (s)=k(k1)pksk2. (1)= kpk=E(X), (1)=k(k1)pk= E(X2)E(X),E(X)= (1), E(X2)= (1)+ (1),D(X)= (1)+ (1) (1
5、)222实例例3 二项分布的母函数 解 设XB(n,p), 则X=X1+ Xn, 诸Xi独立且服从0-1分布 Y(s)= (q+ps)n例4 利用母函数计算几何分布的期望和方差解 PX=k=qk1p, k=1,2, 其中q=1p, 23实例例5 设X,Y分别服从参数,的泊松分布且相互独立, 求Z=X+Y的分布律.例4(续)解 X(s)= e(s1), Y(s)= e(s1)Z(s)= e(s1)e(s1) = e(+)(s1)24实例例6 掷5枚骰子. 假设骰子都是均匀的, 求5枚骰子的点数 之和等于15的概率.解 记Xi为第i枚骰子的点数, i=1,2,5, X=X1+ X2+ X5. PXi=k=1/6, k=1,2,625实例例6(续) X(s)中s15的系数为 26
