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1、直线和平面垂直直线和平面垂直 与平面和平面垂直与平面和平面垂直 (2)(2)例例3 3 如图，四边形ABCD中，ADBC，AD AB，BCD45，BAD90，将ABD 沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为P，且 使平面PBD平面BCD，如图.考点三 折叠问题(1)求证：平面PBC平面PDC； (2)在折叠前的四边形ABCD中，作AEBD 于E，过E作EFBC于F，求折起后的图形中 PFE的正切值练习：如图，平面ABC平面BDC，BAC BDC90，且ABACa，则AD _.答案：a 例例4 4 已知BCD中，BCD90，BC CD1，AB平面BCD，ADB60， E、F分别是AC、AD上的动
2、点，且 AE/ACAF/AD(01)考点四与垂直有关的探究性问题(1)求证：不论为何值， 总有平面BEF平面ABC； (2)当为何值时，平面 BEF平面ACD.分析 (1)只需证证明面BEF中恒有一直线线 与平面ABC垂直即可； (2)探究过过点B且与面ACD垂直的直线线，并 求此时时的值值题组自测1(2011长沙模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1C与对角面DD1B1B所成角的大小是( )A15 B30C45 D60考点五线面角与二面角答案：B2(2011西安模拟)在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角
3、的大小是 ( )A30 B45C60 D90答案：C3.如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD1，AB2，E、F分别是AB、PD的中点(1)求证：AF平面PEC；(2)求PC与平面ABCD所成的角的正切值；(3)求二面角PECD的正切值四边形AEOF是平行四边形，AFOE.又OE平面PEC，AF平面PEC，AF平面PEC.(2)如图，连结AC，PA平面ABCD，PCA是直线PC与平面ABCD所成的角归纳领悟1线面角的问题(1)线面角涉及斜线的射影，故找出平面的垂线是基本思路，要注意与线线垂直，线面垂直的相互关系(2)求直线与平面所成角的一般过程为：通过射
4、影转化法，作出直线与平面所成的角；在三角形中求角的大小二面角及其平面角一 概念1 二面角 ： 平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每 一部分叫做半平面 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 二面角叫做二面角的棱半平面 叫二面角的面2二面角的平面角 （1）过二面角的棱上的一点 分别在两个半平面内作棱的 两条垂线 ，则 叫做二面角 的平面角（2）一个平面垂直于二面角 的棱 ，且与两半平面 交线分别为 为垂足，则 也是 的平面角 （3）在 内取一点A，过A作AB于B，过B作BO 于O连AO，由三垂线定理知， 也是二面角 的平面角二面角的平面角范围是：定义法 垂面法三垂线法例1 在正
5、四面体 中，求相邻两个平面所成的二面角的 平面角的大小二 示例解：取 的中点 ，连接 正四面体 ， 于 为二面角 的平面角 设正四面体的棱长为 1 则 由余弦定理得即相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小为 也可令 ， ，棱长为 1，用向量求角 本题是用定义法找到了二面角的平面角A、B为垂足例2 过二面角 内一点P 作 若求（1）二面角 的平面角大小 （2）P到棱L的距离解（1）过P、A、B作一平面，交L于O连AO，BO因为所以 得 是二面角 的平面角 由知在三角形APB中，由余弦定理得由于四边形PAOB存在外接圆所以知PO即为P到L的距离本题是用垂面法找到二面角的平面角因为(2)例3在棱长为
6、1的正方体 中， 求平面 与底面 所成二面角 的平面角大小 解：连AC交BD于O，则连因为所以OC是 在平面ABCD上的射影由三垂线定理得故 即为所求二面角的平面角因为所以得平面 与底面 所成二面角的平面角为本题是用三垂线定理找到了二面角的平面角【例4】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC 是直角三角形，ABC=900，2AB=BC=BB1=a，且 A1CAC1=D，BC1B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交 于DE. （1）A1B1平面BB1C1C；（2）求证：A1CBC1；（ 3）求证：DE平面BB1C1C.【例题讲解】练习1：如图平面，四边形是 矩 形，、分别是、 的
7、中点. )求平面与平面所成二面角的大小； )求证：平面平面 PA【练习2】如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PA 平面ABCD,E,F分别是AB,PD的中点,又二面角P-CD -B为45。 1)求证:AF/平面PEC 2)求证:平面PEC 平面PCD 3) 设AD=2,CD= ,求点A到平面PEC的距离【例题讲解】【练习3】 已知正三棱柱ABCA1B1C1，若过面对角 线AB1与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1 的一边A1C1于点D. （1）确定D的位置，并证明你的结论； （2）证明：平面AB1D平面AA1D； （3）若ABAA1= ，求平面AB1D与平面AB1A1所成 角的大小.【例题讲解】【知识识方法总结总结 】 1.线面垂直关系的判定和证明, 要注意线线垂直关系,面面垂直关系与它之间的相互转化.2.运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、 斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足” ，如果“垂足”，定了，那么“垂足”和“斜足”的连线就 是斜线在平面上的射影.4.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化 条件和转化应用. 3. 证面面垂直一般先从现有的直线中找平面的垂线； 否则用作辅助线解决之，要过平面外一点P作平面的 垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和垂直的平面 ，设=l，在内作直线al，则a
