高数线性代数 chapter3线性方程组

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1、第3章 线性方程组线性方程组是线性代数研究的 主要对象之一. 在这一章里，我们首 先介绍线性方程组的高斯消元法， 由浅入深地讨论一般线性方程组解 的存在性，最后讨论解的结构和求 解方法 .1第3章 线性方程组n第3.1 节 线性方程组的概念 n第3.2 节 高斯消元法 n第3.3 节 线性方程组解的结构 2第3.1 节 线性方程组的概念教学目的：掌握n元线性方程组概念及三角形方程组和梯形方 程组 教学重点：三角形方程组和梯形方程组 教学难点：梯形方程组有解的充要条件 教学方法：讲授 教学步骤：如下：3定义3.1.1称其中 xi为变量，ai为常量（i=1，2，n）.定理3.1.1 设非零线性方程

2、的非零首项变量xp，则有为n元线性方程，这里,当cj 为一个定值时,为特解; 当cj R时为方程的通解或一般解. （1）对j p的任一组值xj ,可以得到方程的一个特解； 这里称变量xj为自由变量，自由变量即可以任意取值 的变量； （2）由（1）可以求得方程的任一个解和解集合，这 个解集合称为方程的通解或一般解. 4例3（1）求这个线性方程的三个特解. （2）求这个线性方程的一般解（通解）解（1）这里x1为非零首项未知元， x2, x3为自由变量，给 x2, x3取任意值，可以解得x1. 对自由变量常用如下取值方法:5续(2)为求得线性方程的一般解，需要给自由变量x2, x3取任 意值，这里不

3、妨设 x2= c1; x3 = c2, c1, c2R,得故6为原线性方程的通解，其中c1, c2为参数.参数形式通解向量形式通解72.n个变量m个方程的线性方程组 设二元线性方程组(*)下面用图示和例子说明方程组(*) 有解（包括有惟一解和有 无穷组解）以及无解的情形.已知当系数行列式不为零时，二元线性方程组 有惟一解,即8图示例如 方程组有惟一解情形方程组有无穷解情形方程组无解情形 9例4. a,b为何值时,下面线性方程组无解,有惟一解,有无穷解?解a=6, b-15时无解. 这时两个方程表示的直线相互平行，没有交点. a6时,由克莱姆法则,该方程组有惟一解,此时两个方程表示的平面直线有一

4、个交点;a=6, b=-15时,显然一个方程的任意一组解均为该方程 组的解，即该方程组有无穷多组解;这时方程表示的两条直线重合.10注 二元线性方程组解的讨论，可以类似地推广到n 元的情形. 为求该方程组的一般解，只须求x-2y=5的全部解即可. 不妨取y=c，c 为任意常数，解得 x=5+2c，故对应该方程组 的一般解为或表示为向量形式：11定义3.1.3 n个变量m个方程的线性方程组称作n元线 性方程组,形如当常数项bi不全为0时, 称该方程组为非齐次线性方程组 ;当常数项bi全为零时, 称之为齐次线性方程组, 也称作非 齐次线性方程组的导出组. 其中 xj为变量，aij为第i个方程变量x

5、j的系数，bi为第i个方程 的常数项,这里i=1，2，m; j=1，2，n）.称满足以上方程组的一个有序数组为方程组的一个解,一般记作列向量(列矩阵)形式为 12说明当线性方程组有无穷多解时,其全部解的集合称为 方程组的通解或一般解. 当线性方程组有解时,称方程组是相容的,否则便是 不相容的. “解方程组”,就是判断线性方程组是否有解,在有 解时求得满足方程组的惟一解或全部的解(通解) 的过程. “解线性方程组”常用方法为高斯消元法. 消元过程中需要反复应用线性方程组的初等变换.13定义3.1.4 以下三种变换统称为线性方程组的初等变换(以Lj , Lj 表示第 i或第j个方程)：(1) 交换

6、两个方程，记作以上初等变换的逆变换分别为（1）交换两个方程，记作；(2) 第i个方程乘以非零常数k，记作(3) 以非零常数k乘以方程加到方程，记作（2）第i个方程乘以非零常数1/k，记作；（3）以非零常数k乘以方程加到方程，记作 14说明n如果线性方程组（）经过一次初等变换化为线性方程组 （），则称方程组（）、（）是同解方程组，也称 方程组（）与方程组（）等价. n线性方程组等价，满足自反性，对称性和传递性. n线性方程组经过有限次初等变换后所得方程组与原方程组 等价. n经过初等变换后,如果方程组中包括这样的方程： 当b0时，方程L没有解，因此方程组没有解; 如果b=0 ，则任一n维向量均满

7、足L，所以运算中可以将方 程L从方程组中删除，所得方程组仍与原方程组等价.153.三角形方程组和梯形方程组定义3.1.5说明称形如以下的方程组为三角形方程组，(1)三角形方程组的特点是方程组中方程个数与变量个数相 等，且akkxk 为第k个方程的非零首项. (2)三角形方程组的解法:由最后一个方程开始逐步回代求出 方程组各个变量的值，从而得出方程组的解; (3)利用克莱姆法则可以判定，其解惟一. 16定义3.1.6 称以下形式的方程组为梯形线性方程组说明 (1)梯形线性方程组中方程个数m小于等于变量个数n. (2)当r=m=n 时上式即为三角形线性方程组.(3)梯形线性方程组中不是首项非零元的

8、变量都是自由变量. (4)自由变量仅应用于梯形线性方程组. 例5 确定线性方程组的自由变量. 方程组中首项非零元是自由变量是17定理3.1.3 梯形线性方程组(*)当r=n时有惟一解，当rn时 ，对nr个自由变量每赋一组值，便确定方程组的一个解. 依据上述定理，当rn时，我们可以很容易地求出 梯形线性方程组参数形式的通解. 例6 求线性方程组的通解 这个梯形方程组首项非零元是x1, x3 ， 则x2, x4 为自由变量，解得18在这个同解方程组 中，令即为该线性方程组参数形式的通解，这里c1, c2 为参数.得19第3.2 节 高斯消元法 本节介绍线性方程 组和矩阵的高斯消元法 ，进而讨论线性

9、方程组 解的存在性及判别方法.返回20第3.2 节 高斯消元法 教学目的：掌握高斯消元法及利用矩阵的秩讨论线 性方程组解的存在性 教学重点： 矩阵形式的线性方程组及利用矩阵的 秩讨论线性方程组解的存在性 教学难点：利用矩阵的秩讨论线性方程组解的存在 性 教学方法：讲练结合 教学步骤：如下：返回211.高斯消元法高斯消元法是将一般线性方程组化为三角形线性方程 组或梯形线性方程组的形式或是确定线性方程组无解 的一种方法.高斯消元法的具体步骤： （1） 交换方程，使第一个方程第一个变量x1 的系数a11不为零， （2） 以 a11为主元，运用初等变换消去方程组中除第一个以外 各个方程中的x1 ； （

10、3） 检验每个方程是否退化, 即 若有形式为0=0的方程，则从方程组中删除； 若有形式为0=b（b0）的方程，则方程组无解.(4）对第一个方程以外的方程重复（1），（2），（3）步骤； (5）重复上述过程直到将方程组化为梯形或三角形方程组为止.22例1 用高斯消元法解线性方程组解 首先用高斯消元法将方程组化简， 这是一个梯形方程组，最后一个方程 0y+0z=3 是一个退化 方程，该方程无解，所以该方程组无解. 23例2 用高斯消元法解线性方程组解 首先用高斯消元法将方程组化简， 这是一个梯形方程组，z为自由变量，令z = c，回代 解得方程组参数形式通解 24定理3.2.1 任一线性方程组必满

11、足以下三项中之一项： （1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷组解.实际上，用高斯消元法可将方程组化为梯形方 程组,即可判断出无解的情形；当方程有解时，如果化 简后的方程组中没有自由变量（为三角形方程组）， 则方程组有惟一解，若方程组中有自由变量（一般为 梯形方程组），则方程组有无穷解.注对于m个方程n个变量（mn）的方程组，不可 能取得惟一解，这是因为当mn时，化简后不可能 得到三角形方程组，只能化成梯形方程组，因此结果 或是无解，或是具有自由变量而有无穷多组解. 见教材例3.2.5 252. 矩阵形式的线性方程组 (Ax=b )已知线性方程组:称为线性方程组的增广阵x=b=系数阵未知量阵常

12、数阵26矩阵运算与解线性方程组对线性方程组增广矩阵进行初等变换与对方程组进行初 等变换是相互对应的，因此当用高斯消元法来求解线性 方程组时可以应用矩阵的初等变换进行.例32728得得观察知:线性方程组和矩阵的初等变换一一对应 . 故解线性方程组可以利用其增广阵进行.29例43031注从增广矩阵经初等变换化成的行阶梯形矩阵可以 看出:除了元素全为零的行向量，当阶梯形矩阵的末行 出现形如(0,0,0,b),b0的行向量时，则方程组对应出 现退化方程 0 = b（b0），此时方程组无解；如果阶 梯形矩阵的末行没有形如 (0,0,0,b)，b0的行向量， 则方程组必然有解. 进一步可以看出，如果将系数

13、阵A化成上三角形 矩阵或单位阵，此时系数行列式|A|0时可以利用克莱 姆法则求得惟一解,或直接求得该方程组惟一解；如果系数阵A化作与增广阵非零行数相等的行阶 梯形矩阵，则方程组有无穷组解. 32例5 当a、b为何值时以下线性方程组有解？有解时求 出通解.解对增广阵进行初等行变换，3334得353. 利用矩阵的秩讨论线性方程组解的存在性 说明n利用矩阵的秩定义，容易判断出方程组系数阵和增广阵 化为行阶梯形矩阵的秩恰为其各自非零行向量的行数 ；n矩阵经过一系列初等变换其秩不变 ,系数阵A和增广阵 (A|b)的秩分别等于其对应行阶梯形中非零行的行数. 利用系数阵A和增广阵(A|b)的秩可以直接判定

14、线性方程组解的情况 36证 （反证）若r(A)r(A|b) ，那么方程组的增广阵化简的行阶梯形 矩阵中包含有形如( 0,0,0, b), b0的行向量，显然方程 组是不相容的.故方程组无解，与已知矛盾. 定理3.3.2 任一线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是系 数矩阵与增广矩阵的秩相等，即r(A)= r(A | b ). 线性方程组Ax=b 解的存在性判别方法 ： 若r(A)r(Ab) ，则方程组无解； 若r(A)=r(Ab) = r=n时，则方程组有惟一解； 若r(A)=r(Ab) = rn时，则方程组有无穷多解. 37若干推论38判断下列线性方程组是否有解,若有解,求出全部解.例6解

15、对增广阵作初等行变换，得同解方程组，再进行判断 和求解.394041例74243齐次线性方程组Ax=0解存在性判别方法 齐次线性方程组系数阵A和增广阵(A|O)的秩总是相等的. 定理3.2.3 n元齐次线性方程组Ax=o恒有解，且当r=n时有惟一零解；当rn时有非零解. 推论1 mn齐次线性方程组Ax=o，当mn时有非零解. 推论2 nn齐次线性方程组Ax=o有非零解的充分必要条件 是其系数阵A的行列式|A|=0；有惟一零解的充分必要条件是 其系数阵A的行列式|A|0. 44例84546第3.3 节 线性方程组解的结构 本节讨论齐次和非 齐次线性方程组解的结 构，对线性方程组问题 给出初步理论

16、总结.47第3.3 节 线性方程组解的结构教学目的：掌握齐次线性方程组解的结构及非齐次线 性方程组解的结构 教学重点：齐次线性方程组解的结构及非齐次线性方 程组解的结构 教学难点：基础解系概念及求法 教学方法：讲授 教学步骤：如下：返回481.齐次线性方程组解的结构已知齐次线性方程组 齐次线性方程组Ax=O总是相容的，即它恒有解，x=o就 是它的一个解，称为零解 . 问题是齐次线性方程组除了 零解之外还存在非零解，如果有非零解，其解具有怎样 的结构? (3.3.1)的矩阵形式为Ax=O, 它是Ax=b对应的导出组.（1）49齐次线性方程组解的性质一般地,如果 均为齐次线性方程组Ax=O的解， 则