《高数线性代数 第四章 解线性方程组的迭代法2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数线性代数 第四章 解线性方程组的迭代法2（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 线性方程组的误差分析 /* Error Analysis for Linear system of Equations */求解 时，A 和 的误差对解 有何影响？ 设 A 精确， 有误差 ，得到的解为 ，即绝对误差放大因子又相对误差放大因子2 Error Analysis for . 设 精确，A有误差 ，得到的解为 ，即Wait a minute Who said that ( I + A1 A ) is invertible?(只要 A充分小，使得是关键 的误差放大因子，称为 A的条件数，记为cond (A) , 越 则 A 越病态， 难得准确解。大2 Error Analysis
2、for . 注: cond (A) 的具体大小与 | | 的取法有关，但相对 大小一致。 cond (A) 取决于A，与解题方法无关。 常用条件数有：cond (A)1cond (A)cond (A)2特别地，若 A 对称，则条件数的性质： A可逆，则 cond (A)p 1； A可逆， R 则 cond ( A) = cond (A) ； A正交，则 cond (A)2=1； A可逆，R正交，则 cond (RA)2 = cond (AR)2 = cond (A)2 。2 Error Analysis for . 精确解为例 ： 计算cond (A)2 。A1 = 解：考察 A 的特征根39
3、206 1 测试病态程度：给 一个扰动，其相对误差为此时精确解为2.0102 200%2 Error Analysis for . 例：Hilbert 阵cond (H2) = 27cond (H3) 748cond (H6) =2.9 106cond (Hn) as n 注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A1，而由经验 得出。 行列式很大或很小（如某些行、列近似相关） ； 元素间相差大数量级，且无规则； 主元消去过程中出现小主元； 特征值相差大数量级。2 Error Analysis for . 近似解的误差估计及改善：设 的近似解为 ，则一般有cond (A)误差上限 改善方法 ：Step
4、 1: 近似解Step 2:Step 3:Step 4:若 可被精确解出，则有就是精确解了。经验表明：若 A 不是非常病态（例如： ）， 则如此迭代可达到机器精度；但若 A 病态，则此算法也 不能改进。HW: p.66 #2, #4, #53 Jacobi 法和 Gauss - Seidel 法/* Jacobi the matrix entries a ; the entries b ; the initial approximation X0 ; tolerance TOL; maximum number of iterations Nmax. Output: approximate so
5、lution X or a message of failure. Step 1 Set k = 1; Step 2 While ( k Nmax) do steps 3-6 Step 3 For i = 1, , nSet ; /* compute xk */Step 4 If then Output (X ); STOP; /* successful */ Step 5 For i = 1, , n Set X 0 = X ; /* update X0 */ Step 6 Set k +; Step 7 Output (Maximum number of iterations exceed
6、ed); STOP. /* unsuccessful */What if aii = 0?迭代过程中，A 的元素 不改变，故可以事先调整好 A 使得 aii 0，否则 A不可逆。必须等X(k)完全计算 好了才能计算X(k+1)，因此 需要两组向量存储。A bit wasteful, isnt it?3 Jacobi If the matrix has a zero column, print the message “Matrixhasazero column. No uniquesolutionexists.n”. If the method fails to give a solution
7、 after N iterations, print the message “Maximumnumberof iterationsexceeded.n”. If there is an entry of that is out of the range , print the message “No convergence.n”.The outputs of two test cases must be seperated by a blank line.Sample Input ( represents a space) 3 10109 11027 04106 0.0000000011000 3 3101 3600 3304 0.0000000011000 1Sample Output ( represents a space) 1.00000000 1.00000000 1.00000000Matrixhasazerocolumn.Nounique solutionexists.
