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1、动力学一般问题与特殊问题一、知识点击1惯性系与牛顿运动定律惯性系：牛顿运动定律成立的参考系称为惯性参考系地球参考系可以很好地近似视为惯性参考系一切相对地面静止或匀速直线运动的参考系均可视为惯性参考系牛顿运动定律牛顿第一定律：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止牛顿第一定律也称为惯性定律牛顿第二定律：物体的加速度与其所受外力的合力成正比，与物体的质量成反比，其方向与合外力的方向相同即Fma常作正交分解成：Fx=maxFy=mayFz=maz牛顿第三定律： 两个物体之间的作用力与反作用力总是大小相等， 方向相反，作用在同一直线上2联结体所谓“联结体”就是一个系
2、统内有若干个物体，它们的运动情况和受力情况都一种关系联系起来若联结体内（即系统内）各物体只有相同的加速度时应先把这联结体当成一个整体（看成一个质点） 分析这类问题的一般方法是：（l）将系统中的每个物体隔离开来分别进行受力分析；（2）对每个物体用牛顿第二、三定律列方程，有的物体可以列互为正交方向上的两个方程；（3）根据具体情况确定各物体的运动特征量般（如速度、加速度）之间的关系在解决联结体问题时确定齐物体加速度之间的关系是分币要的3非惯性系牛顿第一、二定律只适用十某一类参考系、这类参考系叫惯性系比如地面就是一个相当好的惯性系， 太阳是一个非常好的惯性系， 一般我们认为，相对地面没有加速度的参考系
3、，都可视为惯性系，相对地而有加速度的参考系，都可视为非惯性系在非惯性系中，为了使牛顿第一、二定律在形式上仍然成立，我们可以给每个物体加上一个惯性力 F0F0的大小为 ma0（m 为研究的物体，a0为所选参考系相对地而的加速度） ， F0的方向和 a0的方向相反如果取一个转动的参考系，则要加上惯性离心力 F0=m2R。惯性力是一个假想的力，完全是为了使牛顿第一、二定律在非惯性系中也能成立而人为地想象出来的，实际上并不存在惯性力不存在施力物体，也没有反作用力惯性力从其性质上来说，也是一个保守力，所以在有些场合也会讨论惯性力的势能3质心运动问题质心是物体质量中心，由几个质点组成的质点系，若这几个质点
4、所在的位置分别是(x1，y1，z1） 、(x2，y2，z2)则系统的质心位置为ii i im xxm ii i im yym ii i im zzm 二、方法演练类型一、牛顿第二定律是动力学的核心，特别是质点系的牛顿第二定律解题时应用起来特别灵活多变，是解决复杂的动力学问题的主要手段。例 1 如图 31 所示， 车厢 B 底面放一个物体 A， 已知它们的质量 mA=20 kg，mB=30 kg，在水平力 F120 N 作用下，B 由静止开始运动，2s 内移动 5 m，不计地面摩擦，求 A 在 B 内移动的距离分析和解：本题中由于不计地面摩擦，系统的和外力就为 F，而在和外力作用下，系统内 A、
5、B 都要产生加速度，故须应用质点系的牛顿第二定律求解。对整体（质点系）利用牛顿第二定律有F=mAaA+mBaB，即120=20aA+30aB又21 2BSa t，5/2Bam s，9/4Aam s214.52AASa tm即54.50.5ABSmmm例 2一绳跨过装在天花板上的滑轮，绳的一端吊一质量为 M 的物体，另一端挂一载人梯子，人的质量为 m，系统处于平衡状态，不计摩擦及滑轮与绳的质量，如图 32 所示，要使天花板受力为零，试求人应该如何运动分析和解：本题中要天花板受力为零，意味着质点系（整体）质心的加速度为 g，竖直向下，处于完全失重状态因运动前系统处于平衡状态，所以梯子的质量为 M-
6、m。由题意知，M 向下的加速度为 g，而梯子与人的质心向下的加速度也应为 g，才能使天花板受力为零利用质点系的牛顿第二定律有1cii iMama()MgMm gma （取向下为正）(21)Magm（方向向下）类型二、联结体的动力学问题是一类常见的问题，解题时除应考虑用整体法和隔离法外，还要特别注意是杆系、绳系速度、加速度的关联的类别以及物系内各物体之间是否存在相对速度和相对加速度例 3绳 EF 一端系于轻杆 AB 中间，如图 33 所示，一端固定在天花板上，轻杆两端各有一质量为 m 的小球，并通过 AC、BC 两绳系住一质量为 M 的小球 C，不计绳的质量及绳的体积且 AC=BC=AB，求剪断
7、 BC 绳的瞬间，EF 绳的张力T。分析和解：本题首先是一个联结体的问题，物体系通过杆、绳连结，受力比较复杂，但同时还是一个力的瞬时性问题，连结的杆绳一发生状态或连结情况的变化，所受力立即发生变化，物系的加速度也将发生瞬时性变化。设正三角形 ABC 边长为l，剪断 BC 绳瞬间 AC 绳张力为 T。如图 34， A 球的加速度可分解为水平方向xa 及竖直方向ya注意到剪断 BC 瞬间 TEF方向竖直向上。2cosxmaT22( )sin22llmT2yla由以上三式得：cos 2xTam，sin 2yTam对于 C， 设其沿绳方向加速度为0a ， 则有0sinMaMgT，0sinTagM又剪断
8、 BC 后，AC 绳仍绷紧，且 A、C 无相对转动，所以 A、C 在沿绳方向加速度相等，即0cossinxyaaa将0a 、xa 、ya，值代人上式，解得2sin2mMTgmM对于 TEF，考虑 AB 杆，注意到其在 EF 绳限制下质心无竖直方向加速度(87)2sin2(2)EFmmMTmgTgmM例 4如图 35 所示，装有滑轮的桌子，质量 m1=15kg。桌子可以无摩擦地沿水平面上滑动，桌子上放质量 m2=10 kg 的重物 A，重物 A 与桌面间的摩擦因数=0.6，当绕过滑轮的绳受到 F=78.4 N 的水平拉力时，求： （1）桌的加速度； （2）当拉力沿竖直方向时，桌的加速度分析和解：
9、本题为联结体问题，但本题的关键是重物与桌面间是否发生相对运动，解题时要先通过计算作出判断，才能最后确定列式解题的依据。（1）当拉力为水平方向时，桌子在水平方向受到三个力作用：上滑轮的绳子拉力F，水平向左；下滑轮绳子的拉力 F，水平向右；重物对桌的摩擦力 f ，水平向右由牛顿第二定律，得1 1FfFm a式中1a 为桌子加速度重物 A 水平方向受到的力有：绳的拉力 F，摩擦力 f 。当max2ffm g时，重物开始沿桌面运动，这时，对重物 A，有max21Ffm a；由桌子受力情况，可求出max 1 1fam，于是得max max2 1fFfmm进一步求出2 2 1(1)mFm gm。代人有关数
10、字，得 F98N而实际作用绳上的力仅为 78.4 N。因此，重物并未沿桌面滑动，重物随桌子一起以同一加速度运动21278.43.14/15 10Fam smm(2)当拉力沿竖直向上方向时，只有在重物沿桌面滑动情况下，桌子才可能沿水平地面运动（当重物静止时，在水平方向它所受的上滑轮绳子拉力与静摩擦力大小相等、方向相反这样一来，也使桌子所受绳子拉力与静摩擦力恰好平衡） 为此，作用于绳的拉力不得小于重物与桌面间的最大静摩擦力在所讨论的情况下满足这一条件桌子水平方向受两个力作用：上滑轮绳子拉力，方向向左；重物对桌面的摩擦力，方向向右因为maxFf，所以桌子将向左作加速运动2max2111.31/FfF
11、m gam smm类型三、非惯性系的问题在正常的高中物理学习中是不牵涉到的内容，但在解题时利用了参考系的变换，在选择的参考系为非惯性参考系时注意引如惯性力可以是问题得到最大程度的简化。例 5如图 36 所示，质点 A 沿半圆弧槽 B 由静止开始下滑，已知 B 的质量为 M，质点的质量为 m，槽的半径为 R 且光滑，而槽与地面的接触面也是光滑的，试求质点 A 下滑到任意位置角时 B 对 A 的作用力分析和解：由于槽与地面的接触面是光滑的，质点 A 沿半圆弧槽 B 下滑时槽 B 必然后退， 如果要求的是状态量，可以考虑动量和能量的观点来解题，但如果要求的是瞬时量，则常规的解题方法会有很大的困难，利
12、用了参考系的变换，在以 B 为参考系时注意引入惯性力是解决这类问题的基本方法。设 M 的加速度向左，大小为a，有cosFMa对 m 以 B 为参考系，其相对 B 的速度为 u，且必定与圆弧相切2 cossinuFmamgmR根据动量与能量守恒，并设 M 的速度为，同时注意 m 的速度 u 应转换为对 地 速 度 ( sin)Mm u ( 水 平 方 向 动 量 守 恒 ）22211sin(2sin )22mgRMm uu由以上式可解得222sin (32cos) (cos)MmgMmmFMm 例 6半径为 r=9.81 cm 的空心球形器皿，内部有一个不大的物体，围绕穿过对称中心的竖直轴旋转在
13、角速度1=5 rad/s 时，物体在平衡状态对器壁的压力为 N1=10-2N.在平衡状态，物体在什么角速度2下对器壁的压力 N2410-2N?物体和器壁内表面的摩擦可忽略不计重力加速度为 g=981m/s2分析和解：此处的平衡状态是对旋转参考系（非惯性系）而言的图 37 上示出了钵和位于 A 点的物体0 点表示球面的中心，所研讨的钵就是这个球的一部分转动轴是用过 0 点的竖直断续直线表示的，研究平衡状态，较为方便的是利用半径 OA 和竖直方向的夹角显然，02。在旋转的非惯性系中，这个不大的物体处于平衡状态，作用在该物体上的重力（mg）和惯性离心力（2sinmr）的合力，必须和钵的表面垂直，或者
14、说必须沿半径 OA 的方向作用假若我们用表示钵与物体的共同角速度，则在平衡状态，从图 3 一 7 可知22sinsintanrr rmrr mgg由上式得21sin()0cosr rr g式中r为平衡状态角的值从此式可知有两种情况：1）sin0r，即0r这个解是始终存在的物体那时停止钵底上它对钵壁的压力 N=mg2）2cosrg r，即2arccosrg r这个解只有在21g r ，或者说grg r时才可能存在gr的数值可以算出，为 10 rad/s.题中给出的1gr这意味着物体开始停在钵底因此它的重量（力）为 N1，质量为1Nmg。现在来计算2在2时，对器壁的压力为 N2很明显，2必须大于gr，否则 N2就必须等于 N1了而根据题意，存在不等式 N2N1假若物体在 A点（sinA0）处于平衡状态，则2 22sinsinA Am N式中1Nmg，由此得22 2 1120/grNNgrad sNrN
