《高中数学 第1章 线性空间与线性变换【新】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第1章 线性空间与线性变换【新】（55页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、矩阵论矩阵论课程：课程：矩阵论（矩阵论（Matrix TheoryMatrix Theory） 学时：学时： 48 48学时学时 （48 48 LecturesLectures） 教材教材：矩阵论（：矩阵论（第第2 2版，版， 杨明、刘先忠编著杨明、刘先忠编著） ，华中科技大学出版社，华中科技大学出版社，20052005任课教师任课教师： 杨杨 明明（DrDr. . Yang MingYang Ming）http:/ math.http:/ math.husthust. .eduedu. .cncn/ /gksxgksx/ /前言前言一、课程介绍一、课程介绍 研究内容：研究内容： w w 矩阵
2、与线性空间和线性变换矩阵与线性空间和线性变换 以矩阵为工具研究问题以矩阵为工具研究问题 在其中发展矩阵理论在其中发展矩阵理论 w w 矩阵在各种意义下的化简与分解矩阵在各种意义下的化简与分解 w w 矩阵的分析理论矩阵的分析理论 w w 各类矩阵的性质研究各类矩阵的性质研究 矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应 用问题，又适合现代理论数学的抽象结构。用问题，又适合现代理论数学的抽象结构。二、教学安排二、教学安排 学时配置学时配置 讲授第讲授第1 1章至第章至第6 6章章 (48 (48学时学时) )第第1 1章：章：1010学时学时; ; 第第2 2
3、章：章：8 8学时学时第第3 3章：章：8 8学时；学时； 第第4 4章：章：6 6学时学时 ；第第5 5章：章：8 8学时；学时； 第第6 6章：章：6 6学时学时考核方式：课程结束考试（第考核方式：课程结束考试（第1313周周 ）卷面成绩为最终成绩卷面成绩为最终成绩三、教学指导意见三、教学指导意见 背景要求：线性代数背景要求：线性代数 矩阵与计算工具：矩阵与计算工具：MATLABMATLAB，MAPLE, MAPLE, 矩阵与现代应用：应用选讲矩阵与现代应用：应用选讲 教学参考书教学参考书： w w 余鄂西，矩阵论，高等教育出版社余鄂西，矩阵论，高等教育出版社，19951995。 w w
4、方保熔等，矩阵论，清华大学出版社，方保熔等，矩阵论，清华大学出版社，20042004。 w w Fuzhen Fuzhen ZhangZhang，Matrix TheoryMatrix Theory，SpringerSpringer，19991999。 w w Denis Denis SerreSerre， Matrices Theory and Applications Matrices Theory and Applications， SpringerSpringer，20022002。w w 矩阵论历年试题及其解答矩阵论历年试题及其解答 不交作业，但应该重视练习环节。不交作业，但应该重视
5、练习环节。第第1 1章：线性空间与线性变换章：线性空间与线性变换 内容内容： w w 线性空间的一般概念线性空间的一般概念重点：空间结构和其中的数量关系重点：空间结构和其中的数量关系 w w 线性变换线性变换重点：其中的矩阵处理方法重点：其中的矩阵处理方法 特点特点： w w 研究代数结构研究代数结构具有线性运算的集合。具有线性运算的集合。 w w 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系 。 w w 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 w w 学习特点：具有抽象性和一般性。学习特点：具有抽象
6、性和一般性。1.1 1.1 线性空间线性空间一、线性空间的概念一、线性空间的概念 几何空间和几何空间和 n n 维向量空间的回顾维向量空间的回顾 推广思想：推广思想： w w 抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。合上定义具有线性运算的代数结构。 定义定义1.11.1（P P . .1 1）w w 要点：要点： 集合集合V V 与数域与数域F F 向量的加法和数乘向量运算向量的加法和数乘向量运算 运算的性质刻画运算的性质刻画常见的线性空间常见的线性空间 F F n n=X=X=（x x1 1，x x2 2，x xn n
7、）T T：x x F F 运算运算：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量 F F mm n n = A= A=a aij ij mm n n：a a ij ij FF；运算运算：矩阵的加法和数乘矩阵：矩阵的加法和数乘矩阵w wR R mm n n；C C mm n n。 P Pn nx=p(x)= x=p(x)= ：a ai i RR运算运算：多项式的加法和数乘：多项式的加法和数乘 CCa a，b b=f=f（x x）：）：f f（x x）在在 a a，b b 上连续上连续 运算运算：函数的加法和数乘：函数的加法和数乘 eg5eg5： V=R V=R+ +，F=RF=R， a a b b=
8、=abab， a=aa=a F=RF=R或或C C线性空间的一般性的观点：线性空间的一般性的观点： 线性空间的一般形式：线性空间的一般形式： w w V V（F F），），元素被统称为向量：元素被统称为向量： ， ， ， 线性空间的简单性质（共性）：线性空间的简单性质（共性）：定理定理1 1 . . 1 1：V V（F F）具有性质：具有性质： （1 1） V V（F F）中的零元素是惟一的。中的零元素是惟一的。 （2 2） V V（F F）中任何元素的负元素是惟一的中任何元素的负元素是惟一的 。 （3 3）数零和零元素的性质：）数零和零元素的性质：0 0 =0=0，k0=0k0=0，k k
9、=0 =0 =0=0 或或k=k=0 0 （4 4） = = （ 1 1） 数数0 0向量向量0 0二、线性空间的基和维数二、线性空间的基和维数 向量的线性相关与线性无关：向量的线性相关与线性无关： w w 定义形式和向量空间定义形式和向量空间R Rn n中的定义一样。中的定义一样。 w w 有关性质与定理和有关性质与定理和R Rn n中的结果一样。中的结果一样。例题例题1 1 证明证明C0C0，11空间中的向量组空间中的向量组 e ex x，e e2x2x，e e3x3x ，e enxnx ，x x 00，11 线性无关。线性无关。二、线性空间的基和维数二、线性空间的基和维数 基与维数的概念
10、：基与维数的概念：P . 2P . 2，定义定义1 1 . . 2 2 常见线性空间的基与维数：常见线性空间的基与维数：w wF Fn n，自然基自然基 e e1 1，e e2 2，,e,en n ，dimdim F Fn n=n =nw wR Rmm n n ，自然基自然基 E Eij ij ，dimdim R Rmm n n = =mm n n。w wP Pn n x x ，自然基自然基11，x x，x x2 2，x x3 3,x ,x n-1n-1 ，dimdimP Pn n x x =n=n w w CaCa，bb， 11，x x，x x2 2，x x3 3x x n-1n-1 Ca,
11、bCa,b，dim dim CaCa，b= b= 约定：约定： w w V V n n（F F）表示数域表示数域F F上的上的 n n 维线性空间。维线性空间。w w 只研究有限维线性空间。只研究有限维线性空间。三、坐标三、坐标 1 1 定义定义 1 1 .3 .3 （P . 3)P . 3)设设 1 1， 2 2， n n 是空间是空间的一组基，的一组基， ， = = ，则，则x x1 1 ，x x2 2， ， x xn n是是 在基在基 i i 下的坐标。下的坐标。例例1 1：求求 R R2 2 2 2中向量中向量 在基在基 E Eij ij 下的坐标。下的坐标。要点：要点： 坐标与基有关
12、坐标与基有关坐标的表达形式坐标的表达形式 例例2 2 设空间设空间P P4 4xx的两组基为：的两组基为： 11，x x，x x2 2，x x3 3 和和 11，（，（ x x - 1- 1）1 1，（，（ x - 1 x - 1）2 2，（，（ x - 1 x - 1）3 3 求求f f（x x）=2+3x+4x=2+3x+4x2 2+x +x 3 3在这两组基下的坐在这两组基下的坐 标标。 归纳归纳：任何线性空间任何线性空间V V n nFF在任意一组基下的坐标属于在任意一组基下的坐标属于F Fn n 。 每一个常用的线性空间都有一组每一个常用的线性空间都有一组“ “自然基自然基” ”，在
13、这组，在这组 基下，向量的坐标容易求得。基下，向量的坐标容易求得。 求坐标方法的各异性。求坐标方法的各异性。2 2、 线性空间线性空间V V n n（F F）与与F Fn n的同构的同构坐标关系坐标关系 V V n n（F F） F Fn n基基 1 1， 2 2，。，。 n n 由此建立一个一一对应关系由此建立一个一一对应关系 V V n n（F F），）， X X F Fn n， （ ）=X=X w w （ 1 1+ + 2 2）= = （ 1 1）+ + （ 2 2） w w （k k ）=k=k （ ） 在关系在关系 下，线性空间下，线性空间V V n n（F F）和和F Fn n同构同构 。同构的性质同构的性质 定理定理1.31.3:V V n n（F F）中向量中向量 1 1， 2 2， n n 线性相关线性相关它们的坐标它们的坐标 X X1 1 , , X X2 2, , , ,X Xn n 在在F Fn n中线性相关。中线性相关。 同构保持线性关系不变
