高中数学 9.7 抛物线

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1、柯桥中学高三数学组 何利民第九编 解析几何9.7 抛物线复习：椭圆、双曲线的第二定义：MFl0e 1lFMe1FMle=1当e1时，想一想：当e=1时，它又是什么曲线？当0e 1时，与一个定点的距离和一条定直线的距离的比 是常数e的点的轨迹.轨迹是椭圆 轨迹是双曲线。一、基本知一、基本知识识识识概要：概要： 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点。定直线l 叫做抛物线的准线。1、定义即:FMlN2.抛物线的标准方程与几何性质标标准 方程p的几何意义义：焦点F到准线线l的距离图图形顶顶点O（0，0）对对对对称称轴轴轴轴 顶顶顶顶点坐点坐 标标标标

2、焦点坐焦点坐标标标标 准准线线线线方程方程 焦半径焦半径 焦准距焦准距 ； ； 顶顶顶顶准距焦准距焦顶顶顶顶距距 ； 曲； 曲线线线线上的上的点到焦点的最近距点到焦点的最近距 离心率离心率 轴轴轴轴轴轴轴轴原点（，）原点（，）引申一：有关焦点弦的结论结论 ：已知：AB是抛物线线 过过焦点F的弦A ，B ，设设A，B在准线线上的射影分别为别为 ， 为为直线线 AB的倾倾斜角。求证证：以AB为为直径的圆圆与准线线相切为为定值值2/p（7）以 为为直径的圆圆与AB相切引申二. .标标标标点点 抛物抛物线线线线 上的点可上的点可标为标为标为标为 或或 或或 yxo基础自测 1.抛物线y=-2x2的准线

3、方程是 （ ）A.x=B.x=C.y=D.y=D2.若aR,则“a3”是“方程y2=(a2-9)x表示开口向右的抛物线”的 （ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件A3.(09湖南)抛物线y2=-8x的焦点坐标是（ ）A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0) D.(-4,0)B4.设a0,aR,则抛物线y=4ax2的焦点坐标为（ ）A.(a,0) B.(0,a)C. D.随a的符号而定C5.（09宁夏，海南理）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为 .y=x

4、题题型一 抛物线线的定义义【例1】已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2）.（1）求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标；（2）求点P到点B 的距离与点P到直线x=- 的距离之和的最小值.题型分类 深度剖析（2，2）题题型二 抛物线线的标标准方程及几何性质质【例2】已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点A（m,-3）到焦点F的距离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程.探究提高 抛物线的标准方程有四种，在求解过程中,首先要根据题目描述的几何性质判断方程形式,若只能判断对称轴，而不能判断开口方向，可设为 x2=ay (a0)或y

5、2=ax (a0),然后利用待定系数法和已知条件求解.根据下列条件求抛物线的标准方程.（1）抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点；（2）过点P（2，-4）.知能迁移2(1)y2=-12x.(2)所求抛物线方程为y2=8x或x2=-y.题题型三 直线线与抛物线线的位置关系【例3】 (14分) （2008山东理,22改编）如图所示,设抛物线方程为x2=2py (p0),M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;(2)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=4 .求此时抛物线的方程.(1)证证明 由题意设

6、x1x2,M（x0,-2p）.由x2=2py得y= ,则y= ,所以kMA= ,kMB= . 2分因此,直线MA的方程为y+2p= (x-x0),直线MB的方程为y+2p= (x-x0).所以, 4分解题示范由、得 =x1+x2-x0，因此，x0= 即2x0=x1+x2.所以A、M、B三点的横坐标成等差数列. 6分（2）解 由（1）知，当x0=2时，将其代入、，并整理得： x -4x1-4p2=0，x -4x2-4p2=0，所以，x1、x2是方程x2-4x-4p2=0的两根， 8分因此，x1+x2=4，x1x2=-4p2，又kAB=所以kAB= . 10分由弦长公式得|AB|=又|AB|=4

7、，所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y. 14分探究提高 （1）标准形式的抛物线上点一般设高次项变量，如本题设抛物线上点的坐标为 形式，就减少了变量，使运算量减小；（2）处理多个变量问题时，常常应用整体代换技巧，消去变量；（3）利用韦达定理简化两点间距离公式是直线与圆锥曲线弦长问题常用的运算技巧.知能迁移3 已知动圆过定点F（0，2），且与定直线L：y=-2相切.（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）若AB是轨迹C的动弦，且AB过F（0，2），分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQBQ.x2=8y.方法与技巧1.焦半径：x0+ ;通径长为2p.

8、注：过焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径.2.抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2），则(1)y1y2=-p2，x1x2= ；(2)若直线AB的倾斜角为 ,则|AB|= ；(3)若F为抛物线焦点，则有思想方法 感悟提高失误误与防范1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程.2.注意应用抛物线定义中的距离相等解决问题.一、选择题1.过抛物线y=ax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m、n，则等于 （ ）A

9、.B.C.2aD.解析 取通径AB，则m=n= ,故定时检测B2.已知点M（1，0），直线l:x=-1,点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是 （ ）A.抛物线B.椭圆C.双曲线的一支D.直线解析 P在BM的垂直平分线上，故|PB|=|PM|.又PBl,因而点P到直线l的距离等于P到M的距离，所以点P的轨迹是抛物线.A3.如图，过抛物线y2=2px (p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3,则此抛物线的方程为 （ ）A.y2=B.y2=3xC.y2= D.y2=9x解析 由抛物线定义，|B

10、F|等于B到准线的距离，由|BC|=2|BF|得BCM=30，又|AF|=3，从而 A在抛物线上，代入抛物线方程y2=2px, 解得p= .答案 B4.已知抛物线y2=2px(p0)与双曲线 （a0,b0）有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为 （ ）A.B. +1C. +1D.解析 F 又c= ，即p=2c,A（c，2c）.代入双曲线方程，化简，e2-2e-1=0.e1，e= +1.答案 B5.（2009山东文，10）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为 （ ）A.y2=4xB.

11、y2=8xC.y2=4xD.y2=8x解析 y2=ax的焦点坐标为 ,过焦点且斜率为2的直线方程为y=2 ，令x=0得y=- . a2=64,a=8.B6.（2008辽宁理，10）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 （ ）A.B.3C. D.解析 如图所示，由抛物线的定义知，点P到准线x=- 的距离d等于点P到焦点的距离|PF|.因此点P到点（0，2）的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点（0,2）的距离与点P到点F的距离之和,其最小值为点M（0，2）到点 的距离，则距离之和的最小值为A二、填空题7.已知抛物线型拱的

12、顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升 米后，水面的宽度是米.解析 设抛物线方程为x2=-2py,将（4，-2）代入方程得16=-2p（-2），解得2p=8.故方程为x2=-8y，水面上升 米，则y=- ,代入方程，得x2=-8 =12，x=2 .故水面宽为4 米.4 8.过抛物线y2=2px（p0）的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，交其准线于C点.若 =3 ,则直线l的斜率为 .解析 由抛物线定义,|BF|等于B到准线距离|BB1|,在CBB1中，sinBCB1=故直线l的斜率为k=2 .2 9.抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线段AB中点到y轴的距离是

13、 .解析 由抛物线定义可得，A、B到准线x=- 的距离之和也是5，从而线段AB中点到准线距离是 ，故AB中点到y轴的距离是2三、解答题 10.如图所示，已知F（0，1），直线l:y=-2,圆C：x2+(y-3)2=1.（1）若动点M到点F的距离比它到直线l的距离小1，求动点M的轨迹方程E；（2）过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值.解 （1）设M（x,y），得 =|y+2|-1.当y-2时，化简得x2=4y;当y-2时，有x2=8y+8,则y-1与y-2矛盾，故舍去.点M的轨迹E的方程为x2=4y.（2）设P（x,y),S=2SP

14、AC,|AC|=1,若要S最小，则要SPAC最小.要SPAC= |PA|最小，即|PA|最小.|PC|2=1+|PA|2，又|PC|2=x2+（y-3）2=4y+（y-3）2=（y-1）2+8，当y=1时， Smin= ，此时点P的坐标为（2,1）.11.如图所示，倾斜角为 的直线经过抛物线y2=8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点.（1）求抛物线焦点F的坐标及准线l的方程；（2）若 为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2 为定值，并求此定值.（1）解 由已知得2p=8, =2,抛物线的焦点坐标为F(2，0),准线方程为x=-2.（2）证证明 设A（xA，yA），B（xB，yB），直线AB的斜率为k=tan ,则直线方程为y=k(x-2),将此式代入y2=8x,得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,故xA+xB=记直线m与AB的交点为E（xE,yE)，则故直线m的方程为y-令y=0,得点P的横