数字信号处理-正交变换

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1、第 8 章 正交变换 8.1 正交变换； 8.2 KL 变换8.3 离散余弦（正弦）变换（DCT, DST）8.4 离散 Hartley 变换（DHT）8.5 离散 W 变换8.6 DCT、DST、DWT快速算法（略）8.7 关于像压缩及国际标准（讲座1）8.8 重叠正交变换（LOT） （讲座2）一、信号的分解 设空间 是由 N 维空间一组向量概念概念 ：8.1 正交变换对任一 ，都可作如下分解：所张成，即信号的离散表示,或 信号的分解是分解系数 或信号的变换由正变换由反变换如何求出分解系数设想另有一组向量设想另有一组向量 Step1 :满足：满足：双正交关系( biorthogonality

2、)例如：显然：两组向量，互 为“对偶基”， 或“倒数基”。Step2:Step2:做内积做内积 对则称为一组正交基。一组正交基满足：注意：满足双正交关系的两组基向量各自并不 满足正交关系，只是相互之间满足正交关系。如果：几点说明：用向量 表示信号 ，会出现几种不同的情况，取决于 的性质：1. 如果空间 中的任一元素 都可由来分解，则称该向量是“完备（ complete）”的 ； 2. 如果 完备且线性相关，则对 的表示必然存在信息冗余，且对偶向量不唯一。可能构成一个“标架（Frame)”;3. 如果 是完备的，且是线性无关的，则它构成 中的一组基向量，这时其对偶向量存在且唯一，即存在前述的双正

3、交关系；这时的基称为 Riesz 基。4. 如果则 是 中的一组正交基。二、信号的正交变换给定数据向量：及算子作变换若：则上述变换即为正交变换，或保范（数）变换矩阵 的 行（列）向 量即是前面 的向量实际上是正交矩阵，以上正交变换是从线性代数的角度来定义。正交变换的性质：性质1：正交变换的基向量即是其对偶基向量。由性质1可知正交变换具有如下的优点：2. 正交变换在计算上最为简单。如果是离 散 信号，且 N 是有限值，那么变换只是简单 的矩阵与向量运算：3. 反变换：不需要求逆，特别有利于硬件实现1. 若正变换存在，那么反变换一定存在， 且变换是唯一的；性质性质2 2：展开系数是信号在基向量上的

4、准确投影展开系数是信号在基向量上的准确投影非正交基的情况下，“基向量”称为“标架（ Frame)”, 这时，展开系数不是准确投影。性质性质3 3：正交变换保证变换前后信号的能量不变，正交变换保证变换前后信号的能量不变，此性质又称为此性质又称为“ “保范保范( (数数) )变换变换” ”。此性质实际上是 Parsevals 定理，即信号变 换前后能量保持不变。注意，只有正交变换才有此性质。性质4：信号正交分解具有最小平方近似性质。 最小的条件最小的条件：傅立叶级数的截短、第7章的FIR滤波器设计 等，均要用到该性质。性质5：正交变换的系数具有去除相关和集中能量的性质。数据压缩的理论基础。后面即将

5、讨论。给定一个实对称矩阵 ，一定可以找到 一个正交阵 ，使得：正交基的选择 原则： 具有所希望的物理意义或实用意义；具有所希望的物理意义或实用意义； 正交基函数应尽量简单，计算量小；正交基函数应尽量简单，计算量小； 最大限度浓缩信号能量，去除相关性；最大限度浓缩信号能量，去除相关性； 基函数应能同时具有频域和时域的定位功能基函数应能同时具有频域和时域的定位功能正交变换的实例： FS，FT, DTFT, DFS, DFT DCT，DST, DHT Walsh-Hadamard, Haar 变换， SLT(斜变换）正弦类正 交变换非正弦类 正交变换8.2 KL 变换 数据向量：协方差阵：体现了信号

6、 各元素之间 的相互关系KL 变换的思路：寻找正交矩阵 ，做变换 ， 使 的协方差阵 为对角阵。这样之间彻底去除了相关性。如何实现1. 由求 的特征值2. 求 的 个特征向量3. 将 归一化，即令步骤：4. 由归一化的构成正交阵5. 由 实现对 的 KL 变换:这样，信号 中的各个元素 之间彻底去除了相关性！要求：会 证明此式KL 变换的应用数据压缩：的 KL 展开 截短欲使均方误差：为最小应是 的特征向量。最小这时由于用表示注意：对正交变换不是时域序列，而是 的变换系数（即 ） ，如 DFT 的 。正交变换后，信号的能量一般集中在少数的变换系数上，所以可以舍去绝大部分系数，这并不明显损失信号

7、的能量。由剩下的少量系数，如 ，通过反变换 可以很好的恢复出原信号。从而达到数据压缩的目的。KL 变换： 去相关性最彻底，在此意义上是最佳正交变换； 方向依赖待变换的信号。信号发生变化时，要重新 求变换矩阵。特征值和特征向量的计算是相当 费时的，因此，KL变换没有快速算法。这就 限制了KL变换的实际应用。 变换的正交矩阵 8.3 离散余弦变换（DCT）给定：定义：DCT的 定义构成一矩阵，是 变换的核函数变换域DCT的核 函数，DCT矩阵DCT 的特点 DCT 是实变换； DCT 是正交变换； 在一定条件下，DCT近似 K-L 变换； DCT有快速算法。正因为DCT有上述特点，因此，DCT在语

8、音和像压缩中已获得广泛应用。所以DCT是正交变换例：8 点 DCT：DCT 反变换在DCT中，正变换矩阵和反变换矩阵是一 样的，都是实矩阵。特别有利于实时实现 及硬件实现。一阶马尔可夫过程（Markov-1):语音和象处理 中常用的数学模型。一个随机信号 ，若其pdf满 足如下关系：则称 为一阶马尔可夫过程。该式的含意 是: 已知过程在现在时刻的状态，那么，下一 个时刻的状态只和现在的状态有关，而和过 去的状态无关。令 是Markov-1 随机序列相邻两元素之间的相关系数，则该序列的协方差矩阵有如下关系：按 KL 变换的思路，现需要求 的特征 值及特征向量，以形成变换的正交矩阵 。 但对Mar

9、kov-1 过程，协方差阵 的特征向量 可以解析的给出，因此正交变换的矩阵也可解 析的得到： 是 的特征值是方程的根有：由：必有：再由：将正是DCT变 换矩阵！代入经化简结论：当 时，对Markov-1过程做K L变换的正交矩阵正是DCT变换的变换矩阵 ，也即：此时的DCT近似KL变换。因为 DCT有快速算法，另外， Markov-1过程可作 为一大类信号（语音、象）的数学模型，因 此 DCT在象、语音压缩中起到了关键性的 作用，成为国际上许多标准（如 JPEG, MPEG ）的重要工具。下是 时 KL变换矩阵、DCT 变换矩阵、DST 变换矩阵的行向量。给定：定义：DST反变换：离散正弦变换

10、（DST）变换矩阵DST也是 正交变换可以证明，DST在一定条件下也是对KL变换的近似。如何评判近似的好坏DFT:DCT:DST:KL :正交矩阵的行 （或列）向量 具有上述形式正弦类变换：变换前相关矩阵非对角 线上元素的和；变换后相关矩阵非对角线 上元素的和；越小越好去除相关的“效率”，越 大越好DCT:DFT:DST:：反映了变换后能量集中的程度。若 越小、 越大，则能量越集中。 8.4 Hartley 变换FT:HT :定义偶部奇部FT和HT 的关系DHT离散Hartley 变换矩阵也是正交阵，且是周期的，周期为 。DHT可用来实现DFT的几乎所有功能，而这些实现都是在实数域进行的。有关

11、DHT的性质及用于卷积运算的讨论见书8.4节，此处不再详细讨论。8.5 离散 W 变换无 穷 多 种DFT的定义有一种，DWT有四种。四种DWT 都是正交变换,它们分别对应两种形式的抽样 ，即 的整数抽样和 的半 整数抽样。若用它作谐波分析，可以得到分 数倍谐波（基波的奇数倍/2)。 即是Hartley 变换矩阵。四种 DWT 矩阵 有着密切的关系，由它们可引导出四种类型 的 DCT 和四种类型的 DST。DCT-已定义过四种形式的DCTDCT-DCT-DCT-DST-DST-DST-DST-已定义过四种形式的DST四种形式的 DCT、DST是由不同的学者在不 同的文献上提出的，它们在不同的条

12、件下对 KL变换有着不同的近似。如：DCT- 对KL 变换的近似最好； DST- 对KL 变换的近似最好；DCT-优于DCT-；DCT- 对KL 变换的近似极坏；使用DCT-要比DCT-安全。实际上，用的最多的还是DCT- !8.6 DCT、DST、DWT快速算法DCT、DST、DWT基本上都可以通过FFT来实 现，当然也可发展其他适合它们特点的算 法。对DCT-:补N个零其他有 关内容 见教材8.6 象压缩及其国际标准- DCT应用讲座(1)一、像的基本概念像的灰度彩像：红 绿 蓝R,G,B 方式R：700nm G：546.1nm B: 435.8nm Y, U, V 方 式视频（video

13、）二、像压缩的基本概念必需进行有效的像压缩！ 像是信息传递的重要媒介； 像数据非常巨大； CCIR601 格式（720576),16bit，Y:U:V=4:2:2, 25fps， 165.9Mbit/s，信道的带宽太大！650M光盘：仅能存储3.9 s！ 像存储和传输方面的瓶颈。2. 重建象质量，包括客观度量和主观度量。客观度量：即象的逼真度，可考虑为原象与重 建象的差值。令波形编码器的输入波形为X，解 码器的输出波形为Y，则较为常用的两个参数为：三、像压缩的指标三、像压缩的指标1. 编码效率：包括象压缩比（CR）、每象素用的比特数（bpp）、每秒所需的传输比特数（bps）；均方误差： 峰值信

14、噪比：主观度量：即通过人们的主观测试来评价系统的质 量，包括二元判决（即“接受”和“不可接受” ）、主观PSNR、平均判分、等偏爱度曲线、 多维计分（MDS）等。3. 算法的运算量和硬件实现的复杂程度；4. 算法的适用范围；5. 算法的抗信道噪声干扰能力等。四、像压缩的途径四、像压缩的途径l对于单幅像消除帧内冗余度l对于序列像消除帧间差别帧内压缩，或静态象压缩帧间压缩，或动态象压缩静态像的冗余度静态像的冗余度 空间冗余：规则物体和规则背景的表面物理 特性具有相关性， 结构冗余： 像中存在强的纹理结构，考虑其纹理特性，可有效压缩像； 知识冗余：像的理解和某些基础知识有相当大的相关性 视觉冗余：运动的前后像间存在着相关性，人眼对部分像信息不敏感 。 序列像的帧间差别序列像的帧间差别 物体运动； 运动物