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1、20150428 1 第三章第三章 误差分析与处理误差分析与处理 任何试验总是不可避免地存在误差，为提高测量精度，必须尽可能消除或减小误差， 因此有必要对多种误差的性质、出现规律、产生原因，发现与消除或减小它们的主要方法以 及测量结果的评定等方面作研究。 误差的定义：绝对误差实测值真值 相对误差绝对误差/真值绝对误差/实测值 误差的来源：测量装置误差（如标准量具、仪器、附件等） 环境误差（如温度、湿度、气压、振动、照明、重力场、电磁场等） 方法误差 人员误差 误差分类： 系统误差 随机误差 粗大误差 3-1.随机误差随机误差 同一测量值在等精度情况下的多次重复， 有可能会得一系列不同的测量值，
2、 每个值均有 一定的误差，且无规律（但有一定的统计规律） ，这样的误差称为随机误差。 产生原因：测量装置（精度、器件性能不稳定等） 环境方面（湿度、温度、电压、光照、磁场等） 人为因素： （素质、技能） 随机误差一般不能消除，但通过统计平均可以减小，大多情况认为随机误差符合正态分 布情况，即： 221( )exp()(2)2f 标准差（均方根误差） ，越 小，精度就越高 的大小只说明在一定条件下，等精 度测量值的随机误差的概率分布情况。 经 n 次等精度测量后的均方差为: 2222 12()/()/ninn （31） i是第 i 次测量的误差。 0iilL il是第 i 次测量值，0L是真值。
3、 当真值为未知时，应该说上式不能求得标准差。在有限次测量情况下，可用残余误差iv代替真值误差。iivlx, x是测量平均值,()/ixln.iv是il的残余误差。 我们将0iilL作一些变形替换，并令， 20150428 2 展开： 100innlxxLlxxL令0xxL为算术平均值的误差 iivlnx0（当ilxn代入时） 上式又为 11xnnxvv(32) 所有项相加： iixvn 11xiivnn其中： iv0 ， （/0iiiivlnxlnln） 1xin即算术平均值的误差 将（32）式平方后相加 （2222iiixxvv） 222222iixxiixvnvvn （33） 将式 1xi
4、n的 两边平方 222 2 111()(2)xiiij ijnn当 n 足够大时，ij认为趋于零，将22 21xin，代入（33）式 2221iiivn由（31）式可知 22 in 222 inv 2() (1)iv n（34） 式（34）称为 Bessel 公式，由残余误差求得单次测量的标准差的估计值。 （根据我国（根据我国通用计量名词及定义 ，对一列有限次通用计量名词及定义 ，对一列有限次 n n 个测量值，应视为测量总体的个测量值，应视为测量总体的 取样，所求得的标准差估计值用代号取样，所求得的标准差估计值用代号 s s 表示，以区别于总体标准差表示，以区别于总体标准差。这里对标准差估计
5、。这里对标准差估计 值仍用值仍用，对实际测量时计算有限次测量值的标准差，则用代号，对实际测量时计算有限次测量值的标准差，则用代号 s.s.） 20150428 3 不等精度测量时，其随机误差的表达方式是不一样的，一般采用加权处理的方法，应 让可靠程度大的测量结果在最后结果中占的比重大一些， 可靠程度低的比重小一些。 在等精 度测量中各个测得值认为同样可靠，并取所有测得值的算术平均值作为最后测量结果。 权值取法：重复次数多的，一般可靠程度高，则用次数来确定权的大小。 3-2.系统误差系统误差 一原因同上。 二特点：在同一条件下，多次测量同一量值时，按一定规律变化的误差。 如：不变的系统误差：符号
6、和大小固定不变的系统误差，如量块 10mm，实测为 10.001mm,则 0.001 始终存在，用它去作连续测量，误差将是线性变化。 又如周期变化：指针式仪表指针的回转中心与刻度量中心有偏值时，sinle。 三系统误差的发现 1 实验比对法 采用不同条件或不同的测量方法，可发现不变的系统误差。如量块用更高等级 精度量具进行比对测量。 2 残余误差观察法 若测量列：12,nl ll 系统误差：12,nlll 不含系统误差的值：12,nl ll 则有 iiilll（i1，2，n） 其算术平均值： xxx 这里： ,111,iiixl xlxlnnn其残余误差：iivlx iivlx，将两式相减 (
7、)iiivvlx （35） （iiivvlxlx） ， （,iiil l l x x x ） 20150428 4 若系统误差显著大于随机误差，iv（不含系统误差的残差）可予忽略，则得到： iivlx 说明测量值残余误差，近视等于系统误差与测量值系统的平均值之差。 也可将测量列的残余误差列表或作图，直观判断有无系统误差。 若残余误差大体上是正负相间，则无根据怀疑有系统误差 若残余误差值有规律地递增或递减，且在测量开始和结束是符号相反，则存在 系统误差。 若残余误差符号循环交替变化，则存在周期性系统误差。 若存在图所示的变化规律时，则应怀疑同时存在线性系统误差和周期性系统误 差。 残余误差观察法
8、只能发现有规律变化的系统误差，若系统误差是一个不变值， 用残余误差法是发现不了的。 3 残余误差校核法 a. 用于发现线性误差 取测量列中 k 个残余误差相加，再取 ()nk个残余误差相加， （当 n 为偶数时，取/2kn；当 n 为奇数时，取(1) 2nk。然后两式相减 1ki iv1nj jkv （36） 将（35）代入 1111()()knknijij iikiiklxlxvv 当 n 足够大时，0knijvv ， （这是因为,iivlx是不含系统误差的测量值与其本身的平均值之差， 只有随机误差， 但随机误差的均值随着测20150428 5 量次数的增加而趋于零。 ） 12 1()()k
9、nij klxlx 若两部分差值显著不为零，则有理由认为存在线性系统误差，这种方法又叫 马利科夫准则。它能有效地发现线性系统误差。 有时系统误差有，但系统误差的平均值等于零，此时也为零，所以对这种 情况要注意。 b. 用于发现周期性误差 1).若有残余误差12,nv vv，其残余误差差值1()iivv符号出现周期性正负号变化，则为周期性系统误差。 2).统计准则判别 这种方法只有当周期性系统误差是整个测量误差的主要成分时，才有实用 效果。否则，差值的符号变化将主要取决于随机误差，而不能判断出周期性系 统误差。此时，可采用下列判断准则 令 122311nniiuv vv vvvv v 若 21u
10、n （221 1ivn） 则认为含有周期性系统误差。这种校核方法又称阿碑赫梅特准则。 还有一些校核方法：如标准差比较法、数据比较法、秩和检验法、t 检验法等。 四系统误差的减小和消除 1 从根源上消除 要分析测量系统的各个环节，最好测量前就将误差从根源上加以消除。如仪器的零 位在测量开始和结束时都要检查。如果误差是有外界条件引起的，则应在外界条件 稳定时再测量。 2 用修正方法消除。 已知误差表或误差曲线，可取与误差数值大小相同而符号相反的值作为修正值。 3-3.粗大误差粗大误差 特征：数值比较大，对测量值产生显著的歪曲，一般应予以剃除。 判定准则： 一3准则 对一测量列，若各测得值只含有随机
11、误差，则按随机误差的正态分布规律，其残余误差落在3之外的概率为0.3%， 即在370次测量中只有一次的残余误差3iv，因此3iv即认为是粗大误差。 20150428 6 例：已知进行了 15 次等精度测量值如表所示，测量值中已消除了系统误差，试判别测 量列中是否含有粗大误差的测量值。 15 次等精度测量值 序 号 l v v(*10-) v v(*10-) 1 20.42 0.016 0.245 0.009 0.081 2 20.43 0.026 0.676 0.019 0.361 3 20.40 -0.004 0.016 -0.011 0.121 4 20.43 0.026 0.676 0.
12、019 0.361 5 20.42 0.016 0.256 0.009 0.081 6 20.43 0.026 0.676 0.019 0.361 7 20.39 0.014 0.196 -0.021 0.441 8 20.30 -0.104 1.0816 - - 9 20.40 -0.004 0.016 -0.011 0.121 10 20.43 0.026 0.676 0.019 0.361 11 20.42 0.016 0.256 0.009 0.081 12 20.41 0.006 0.036 -0.001 0.001 13 20.39 -0.014 0.196 -0.021 0.44
13、1 14 20.39 -0.014 0.196 -0.021 0.441 15 20.40 -0.004 0.016 -0.011 0.121 15120.404i il xn1510i iv15 210.01496i iv15 210.003374iv由计算得到 20150428 7 2120.404/10.01496/140.033ni ixvn 根据3准则，第八列测量值的残余误差 8v0.10430.099 即它含有粗大误差，故可剔除。再根据剩下的 14 个测试值重新计算，得 14 2120.411/(1)0.003374/130.01633 0.0160.048i ixvn 因此说明，
14、剩下的 14 个测得值的残余误差均满足 iv3 二t 分布检验 设已测数据序列12,nx xx， 若可疑jx为可疑数据， 将其剔除后计算平均值 （不含jx） 11 1ni i ijxxn并计算标准差（也不含jjvxx） ，21(2 )ni ivn根据测量次数 n 和选取置信度，查 t 分布的检验系数( , )K n ( , )jxxK n 则认为jx为粗大误差，剔除jx是正确的，否则应予以保留。 上例中，首先怀疑第八测试值含有粗大误差，若将其剔除，将剩下的 14 个测量值计算 平均值和方差，得 20.411 0.016x 选取显著度0.05,已知 n=15,查表得(15,0.05)2.24k，
15、则 2.24 0.0160.036k 820.3020.4110.1110.036xx 20150428 8 故第八个测量值中含有粗大误差，应予以剔除。 3-4.函数误差的合成函数误差的合成 一一 函数误差（间接测量误差）函数误差（间接测量误差） 1 函数系统误差函数系统误差 间接量是由若干直接测量的结果综合而成，函数关系已知： 12( ,)nyf x xx (3-7) 这是一个多元函数，其增量的全微分为： 12 12n nfffdydxdxdxxxx(3-8) 当直接量的系统误差1nxx均较小时，可用以替代微分量12,.ndx dxdx则上式可近似为 12 12n nfffyxxxxxx函数系统误差公式 2 函数的随机误差函数的随机误差
