平均数、标准差与变异系数 最新教学课件

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1、兽医统计学第三章 平均数、标准差与变异系数第三章平均数、标准差与变异系数第一节 平均数 算术平均数（arithmetic mean） 中位数（median） 众数（mode） 几何平均数（geometric mean） 百分位数（percentiles） 调和平均数（harmonic mean） 第二节 标准差 标准差的意义 标准差的计算方法 第三节 变异系数第一节 平均数平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置 ，并且可作为资料的代表而与另一组资料相比 较，借以明确二者之间相差(或者差异)的情况。 平均数主要包括有：算术平均数（arithmetic mea

2、n）中位数（median） 众数（mode）几何平均数（geometric mean）调和平均数（harmonic mean）1算术平均数算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数。定义样本均值记为:总体均值记为:第一节 平均数1算术平均数 若样本较小，即资料包含的观察值个数不多，可直接计算平均数。设一个含有n个观察值的样本，其各个观察值为x1、x2、x3、xn，则算术平均数由下式算得。第一节 平均数例1 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg），求其平均数。第一节 平均数若样

3、本较大，且已进行了分组(资料经过整理后得到的次数分布表，可采用加权法计算算术平均数，即用组中点值代表该组出现的观测值以计算平均数，其公式为：第一节 平均数例2 200头奶牛血镁含量次数分布表第一节 平均数1算术平均数第一节 平均数计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时，如果样本含量不等，也应采用加权法计算。p 加权法例3 某牛群有黑白花奶牛1500头，其平均体重为750 kg，而另一牛群有黑白花奶牛1200头，平均体重为725 kg，如果将这两个牛群混合在一起，其混合后平均体重为多少？第一节 平均数样样本各观观察值值与其平均数的差数(简简称离均差)的总总和等于0。p算术平均数的重要特性第

4、一节 平均数样样本各观观察值值与其平均数的差数平方的总总和，较较各个观观察值值与任意其他数值值的差数平方的总总和为为最小，即对对任意实实数 a,均有下式成立，当且仅仅当a取样样本均值时值时 ，等号成立。p算术平均数的重要特性第一节 平均数总体平均数用 来代表，它同样具有算术平均数所具有的特性总体平均数第一节 平均数2中位数 将资料内所有观测值从小到大依次排列，位于中间的那个观测值，称为中位数，记为Md。 当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。 注意：中位数主要用于有序资料第一节 平均数中位数的计算方法因资料是

5、否分组而有所不同。未分组资料中位数的计算方法 例4 观察得9只西农莎能奶山羊的妊娠天数为 144 、145、 147、 149、150、151、153、156、157，求其中位数。此例 n=9，为奇数，150为其中位数 第一节 平均数例5 某犬场发生犬瘟热，观察得10只仔犬发现症状到死亡分别为7、8、8、9、11、12、12、13、14、14天，求其中位数。此例 n=10，为偶数，则：第一节 平均数已分组资料中位数的计算方法若资料已分组，编制成次数分布表，则可利用次数分布表来计算中位数，其计算公式为：式中： L 中位数所在组的下限；i 组距；f 中位数所在组的次数；n 总次数；c 小于中数所在

6、组的累加次数。第一节 平均数f f( (x x) )x xx x0 0第一节 平均数例6 某奶牛场68头健康母牛从分娩到第一次发情间隔时间 整理成次数分布表如表 2 所示，求中位数。 68头母牛从分娩到第一次发情间隔时间次数分布表第一节 平均数68头母牛从分娩到第一次发情间隔时间次数分布表第一节 平均数众数主要用于描述名义变量中出现频率最高的数3众数资料中出现次数最多的那个观测值或次数最多一组的组中值，称为众数 例：50枚受精种蛋孵化出雏鸡的天数50枚受精种蛋出雏天数的次数分布表 第一节 平均数在连续连续 性资资料的次数分布表中，分布次数最 多一组组的组组中值值即为该样为该样 本的概约约众数。

7、但在实实 际统计际统计 分析过过程中，由于分组组不同，概约约众数亦 不同。可用补补差法计计算众数，其准确性高于众数 。第一节 平均数例 68头母牛从分娩到第一次发情间隔时间次数分布表第一节 平均数4几何平均数n 个观测值相乘之积开 n 次方所得的方根，称 为几何平均数，记为G。它主要应用于畜牧业、水 产业的生产动态分析，畜禽疾病及药物效价的统计 分析 。 如畜禽 、水产养殖的 增长率，抗体的滴度 ，药物的效价，畜禽疾病的潜伏期等，用几何平均 数比用算术平均数更能代表其平均水平。第一节 平均数为了计算方便，可将各观测值取对数后相加除以 n，得lgG，再求lgG的倒数，即得G值，即第一节 平均数例

8、 某波尔山羊群19972000年各年度的存栏数见下表，试求其年平均增长率表 某波尔山羊群各年度存栏数与增长率 年度存栏数（只）增长率（x）Lgx 1997140 19982000.429-0.368 19992800.400-0.398 20003500.250-0.602 lgx=-1.368G =lg-1（-0.368-0.3980.602）=lg-1（-0.456）=0.3501第一节 平均数5调和平均数资料中各观测值倒数的算术平均数 的倒数，称为调和平均数，记为H调和平均数主要用于反映畜群不同阶段的平均增长率或畜群不同规模的平均规模第一节 平均数例：某保种牛群不同世代牛群保种的规模分别

9、为：0世代200头，1世代220头，2世代210头，3世代190头，4世代210头，试求其平均规模。第一节 平均数 对于同一资料：算术平均数几何平均数调和平均数 上述五种平均数，最常用的是算术平均数。对称分布对称分布均值均值 = = 中位数中位数 = = 众数众数左偏分布左偏分布均值均值 中位数中位数众数众数右偏分布右偏分布众数众数中位数中位数均值均值数据算数平均数几何平均数调和平均数10，10，10，1010.0010.0010.009，10，10，1110.009.979.955，10，10，1510.009.318.571，2，18，1910.005.112.49第一节 平均数六、百分位

10、数当研究资料的观测值不呈正态分布，或不能确定其分布类型，常用百分位数（percentiles）作为统计指标。百分位数就是把观测值按大小顺序排列起来，处在某个百分位上的数值。实际上中位数即为第50百分位数。样本含量太小时计算百分位数的意义不大。第一节 平均数把观测值观测值 按大小次序排列，把要求的百分位数乘以（n+1），即为为所求的百分位数所在的位置。直接法第一节 平均数为百分位数所在组的次数，C为小于百分位数所在组的累加次数。式中： 为为百分位数所在组组的下限，为组为组 距，n 为样为样 本含量，频数分布表法 计算百分位数亦可在频数表上进行，其原理与在频数表上计算中位数相同。 第一节 平均数第

11、二节 标准差一、标准差的意义二、标准差的计算方法三、标准差的特性资料数据的描述方法：l平均数：描述资料集中趋势的统计量l全距（极差）是表示资料中各观测值变异程度 大小最简便的统计量。但是全距只利用了资料 中的最大值和最小值，并不能准确表达资料中 各观测值的变异程度，比较粗略。当资料很多 而又要迅速对资料的变异程度作出判断时，可 以利用全距这个统计量。第二节 标准差第二节 标准差四分位数间距（interquartile range）即上四分位数QU和下四分位数QL之差，其间包括了50%位次居中的个体观测值箱式图：处理50%的数据，受极端值影响小编号成绩指标11952921908913884867

12、84980801075127136956667.5862656远离 群值内篱值外篱值近离群值 须上 四 分 位下 四 分 位中 位 数节l以平均数为标准，求出各个观测值与平均数的离差，（ ） ，称为离均差。l虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的性质和程度，但因为离均差有正、有负 ，离均差之和为零，即： 因而不能用离均差之和来表示资料中所有观测值的总偏离程度。第二节 标准差l采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题。先求各个离均差平方：再求离均差平方和： 为为了解决离均差有正、有负负，离均差之和为为零的 问题问题 ，可先求离均差的绝对值绝对值 并将各离均差绝对绝对 值

13、值之和除以观测值观测值 个数n求得平均绝对绝对 离差，即第二节 标准差细胞计数 （ ）离均差 （ ）绝对离均差 （ ）离均差平方 （ ） 6-224 8 000 5-339 10 224 11 224 9 111变异的观察与计算第二节 标准差为了消除样本大小的影响，用平方和除以样本含量，求出离均差平方和的平均数。第二节 标准差p在统计学中，求离均差平方和的平均数时，分母不用样本含量n，而用自由度的df=n-1，于是，我们采用统计量如下公式表示资料的变异程度。称为均方，又称样本方差，记为第二节 标准差1.一组数据中可以自由取值的数据的个数 2.当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定 后，

14、只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一 个数据则不能自由取值 3.例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9， 则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个 数据可以自由取值，另一个则不能自由取值， 比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取 其他值 4.样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来 解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当 用样本方差去估计总体方差2时，它是2的无偏 估计量自由度的理解p 相应的总体参数叫总体方差 ，记为2。对于有限总体而言，2的计算公式为：第二节 标准差p 由于样本方差带有原观测单位的平方单位， 在仅表示一个资料中各观测值

15、的变异程度而不作 其它分析时， 常需要与平均数配合使用，这时 应将平方单位还原，即应求出样本方差的平方根 。统计学上把样本方差S2 的平方根叫做样本标准 差，记为S，即：第二节 标准差公式变形第二节 标准差相应的总体参数叫总体标准差，记为。对于有限总体而言，的计算公式为：在统计学中，常用样本标准差 S 估计总体标准差。第二节 标准差二、标准差的计算方法（一）直接法对于小样本，按照公式直接计算第二节 标准差测定8头成年母猪血清球蛋白含量，结果如下：2.3，2.4，2.4，2.7，2.9，3.0，2.9，3.2计算血清样品中球蛋白含量的标准差第二节 标准差二、标准差的计算方法（二）加权法 对于已制

16、成次数分布表的大样本资料，可利用 次数分布表，采用加权法计算标准差，计算公 式为：式中，f 为各组次数；x 为各组的组中值；f = n 为总次数。第二节 标准差200头奶牛血镁含量次数分布表第二节 标准差第二节 标准差二、标准差的特性1 、 标准差的大小，受资料中每个观测值的影响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则小。第二节 标准差二、标准差的特性2、 在计算标准差时，在各观测值加上或减去一 个常数，其数值不变。x1、x2、x3、xn样本1 X1-a 、x2-a、x3-a、xn-a样本2 S1=S2第二节 标准差二、标准差的特性3 、当每个观测值乘以或除以一个常数a，则所得的标准差是原来标准差的a倍或1/a倍。 x1、x2、x3、xn样本1 X1a 、x2a、x3a、