《高中数学 第二章 第11节 《变化率与导数、导数的计【新】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 第11节 《变化率与导数、导数的计【新】（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.(理)能根据导数定义，求函数yc(c为常数)，y x，yx2，yx3，y ，y 的导数.(理)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数 的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单 的复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的 导数.1.导数的概念(1)函数f(x)从x1到x2的平均变化率函数f(x)从x1到x2的平均变化率为 ， 若xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示 为 .(2)f(x)在xx0处的导数函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 ，称其为函数yf(x)在xx0处的导数，记作 f(x0)或 ，即f(x0)(3
2、)导函数当x变化时，f(x)称为f(x)的导函数，则f(x) y2.导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数的几何意义，就是曲 线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线的 ，过点P 的切线方程为：斜率yy0f(x0)(xx0)原函数导导函数f(x)cf(x)xn(nQ*)f(x)sinxf(x)cosxf(x)ax(a0且a1)f(x)exf(x)logax(a0且a1)f(x)lnx3.基本初等函数的导数公式f(x)0f(x)exf(x)nxn1f(x)cosxf(x) (a0且a1)f(x)axIna(a且a a1)f(x) f(x)-sinx4.导数运算法则(1)f(x)g(x) ；
3、(2)f(x)g(x)(3) .f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)5.复合函数的导数(理)复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间 的关系为yx ，即y对x的导数等于y对u的导 数与u对x的导数的积.f(u)ux1.若f(x)2x2图象上一点(1,2)及附近一点(1x,2 y)， 则 等于 ( )A.32x B.4xC.42x D.3x解析：yf(1x)f(1)4x2(x)2， 42x.答案：C2.函数yxcosxsinx的导数为 ( )A. xsinx B.xsinxC.xcosx D.xcosx解析：y(xcosxsinx)(xcosx)
4、(sinx)cosxxsinxcosxxsinx.答案：B3.曲线yx32x4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 ( )A.30 B.45C.60 D.120 解析：设倾斜角为.y3x22，y|x131221，45.答案：B4.设f(x) ，则f(x) .解析：f(x)( )( )( ) ( ) 答案：5.已知点P在曲线f(x)x4x上，曲线在点P处的切线平行 于直线3xy0，则点P的坐标为 .解析：由题意知，函数f(x)x4x在点P处的切线的斜率等于3，即f(x0) 13，x01，将其代入f(x)中可得P(1，0).答案：(1,0)根据导数的定义求函数yf(x)在点x0处导数的方法：1.求函数
5、的增量yf(x0x)f(x0)；2.求平均变化率 ；3.得导数f(x0) .上述过程可简化为：一差、二比、三极限.利用导数的定义求函数y 的导数.思路点拨按照一差、二比、三极限.课堂笔记 y ， ， ，即y .若将“y ”改为“y ”呢？解：y ，1.运用可导函数求导法则和导数公式，求函数yf(x)在开区 间(a，b)内的导数的基本步骤：(1)分析函数yf(x)的结构和特征；(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导；(3)整理得结果.2.对较复杂的函数求导时，应先化简再求导，特别是对数函 数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理 式或整式求解更为方便.求下列函数的导数：(1)y(3x3
6、4x)(2x1)；(2)y3xex2xe；(3)Y ；(4)(理)yln(3x2)e2x1.思路点拨化简变形后结合求导法则和求导公式进行求解.课堂笔记 (1)y(3x34x)(2x1)6x43x38x24x，y24x39x216x4或y(3x34x)(2x1)(3x34x)(2x1)(9x24)(2x1)(3x34x)224x39x216x4；(2)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3x(ln3)ex3xex2xln2(ln31)(3e)x2xln2；(3)y ；(4)(理)yln(3x2)e2x1ln(3x2)(e2x1) (3x2)e2x1(2x1) 2e2x1.1.
7、函数yf(x)在点P(x0，y0)处的导数f(x0)表示函数y f(x) 在xx0处的瞬时变化率，导数f(x0)的几何意义就是函数 yf(x)在P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为yy0 f(x0)(xx0).2.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：(1)求出函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程yy0f(x0)(xx0).特别警示 求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.已知曲线y .(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方
8、程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程.思路点拨课堂笔记 (1)yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率ky|x24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线y 与过点P(2,4)的切线相切于点A( )，则切线的斜率ky| .切线方程为y( ) (xx0)，即y .点P(2,4)在切线上，4 ，即 40， 40， (x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为4xy40或xy20.(3)设切点为(x0，y0)，故切线的斜率为k 1，解得x01，故切点为(1， )，(
9、1,1).故所求切线方程为y x1和y1x1，即3x3y20和xy20.高考对本节内容的传统考法是以选择题、填空题或在解答题的某一问中考查导数几何意义的应用，很少直接考查函数求导运算.但09年天津高考则直接考查了导数的概念及运算，是一个新的考查方向.考题印证(2009天津高考)设函数f(x)在R上的导函数为f(x)，且2f(x)xf(x)x2.下面的不等式在R上恒成立的是 ( )A.f(x)0 B.f(x)0C.f(x)x D.f(x)x【解析】 选 用排除法，设x0，则f(0)0，排除B、D；设f(x)x2 ，符合题目条件，但C不恒成立.A自主体验已知f(x) 4x，则f(1) .解析：因为f(x) 4x，所以f(x) 4，因此f(1) 4，解得f(1)2.答案：21.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s t3 t22t，那么速率为零的时刻是 ( )A.0秒 B.1秒末C.2秒末 D.1秒末和2秒末解析：st23t2令s0，则t1或t2.答案：D2.(文)yx2cosx的导数是 ( )A.2xcosxx2sinx B.2xcosxx2sinxC.2xcosx D.x2sinx解析：y2xcosxx2sinx.答案：B(理)已知y sin2xsinx，则y是 ( )A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.非奇非偶函数解
