《高中数学 第二章 第11节 《变化率与导数、导数的计【新】》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 第二章 第11节 《变化率与导数、导数的计【新】(47页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、 1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.(理)能根据导数定义,求函数yc(c为常数),y x,yx2,yx3,y ,y 的导数.(理)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数 的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单 的复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的 导数.1.导数的概念(1)函数f(x)从x1到x2的平均变化率函数f(x)从x1到x2的平均变化率为 , 若xx2x1,yf(x2)f(x1),则平均变化率可表示 为 .(2)f(x)在xx0处的导数函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 ,称其为函数yf(x)在xx0处的导数,记作 f(x0)或 ,即f(x0)(3
2、)导函数当x变化时,f(x)称为f(x)的导函数,则f(x) y2.导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数的几何意义,就是曲 线yf(x)在点P(x0,y0)处的切线的 ,过点P 的切线方程为:斜率yy0f(x0)(xx0)原函数导导函数f(x)cf(x)xn(nQ*)f(x)sinxf(x)cosxf(x)ax(a0且a1)f(x)exf(x)logax(a0且a1)f(x)lnx3.基本初等函数的导数公式f(x)0f(x)exf(x)nxn1f(x)cosxf(x) (a0且a1)f(x)axIna(a且a a1)f(x) f(x)-sinx4.导数运算法则(1)f(x)g(x) ;
3、(2)f(x)g(x)(3) .f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)5.复合函数的导数(理)复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u),ug(x)的导数间 的关系为yx ,即y对x的导数等于y对u的导 数与u对x的导数的积.f(u)ux1.若f(x)2x2图象上一点(1,2)及附近一点(1x,2 y), 则 等于 ( )A.32x B.4xC.42x D.3x解析:yf(1x)f(1)4x2(x)2, 42x.答案:C2.函数yxcosxsinx的导数为 ( )A. xsinx B.xsinxC.xcosx D.xcosx解析:y(xcosxsinx)(xcosx)
4、(sinx)cosxxsinxcosxxsinx.答案:B3.曲线yx32x4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 ( )A.30 B.45C.60 D.120 解析:设倾斜角为.y3x22,y|x131221,45.答案:B4.设f(x) ,则f(x) .解析:f(x)( )( )( ) ( ) 答案:5.已知点P在曲线f(x)x4x上,曲线在点P处的切线平行 于直线3xy0,则点P的坐标为 .解析:由题意知,函数f(x)x4x在点P处的切线的斜率等于3,即f(x0) 13,x01,将其代入f(x)中可得P(1,0).答案:(1,0)根据导数的定义求函数yf(x)在点x0处导数的方法:1.求函数
5、的增量yf(x0x)f(x0);2.求平均变化率 ;3.得导数f(x0) .上述过程可简化为:一差、二比、三极限.利用导数的定义求函数y 的导数.思路点拨按照一差、二比、三极限.课堂笔记 y , , ,即y .若将“y ”改为“y ”呢?解:y ,1.运用可导函数求导法则和导数公式,求函数yf(x)在开区 间(a,b)内的导数的基本步骤:(1)分析函数yf(x)的结构和特征;(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导;(3)整理得结果.2.对较复杂的函数求导时,应先化简再求导,特别是对数函 数真数是根式或分式时,可用对数的性质转化真数为有理 式或整式求解更为方便.求下列函数的导数:(1)y(3x3
6、4x)(2x1);(2)y3xex2xe;(3)Y ;(4)(理)yln(3x2)e2x1.思路点拨化简变形后结合求导法则和求导公式进行求解.课堂笔记 (1)y(3x34x)(2x1)6x43x38x24x,y24x39x216x4或y(3x34x)(2x1)(3x34x)(2x1)(9x24)(2x1)(3x34x)224x39x216x4;(2)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3x(ln3)ex3xex2xln2(ln31)(3e)x2xln2;(3)y ;(4)(理)yln(3x2)e2x1ln(3x2)(e2x1) (3x2)e2x1(2x1) 2e2x1.1.
7、函数yf(x)在点P(x0,y0)处的导数f(x0)表示函数y f(x) 在xx0处的瞬时变化率,导数f(x0)的几何意义就是函数 yf(x)在P(x0,y0)处的切线的斜率,其切线方程为yy0 f(x0)(xx0).2.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤:(1)求出函数yf(x)在点x0处的导数f(x0);(2)根据直线的点斜式方程,得切线方程yy0f(x0)(xx0).特别警示 求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点.已知曲线y .(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方
8、程;(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程;(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程.思路点拨课堂笔记 (1)yx2,在点P(2,4)处的切线的斜率ky|x24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2),即4xy40.(2)设曲线y 与过点P(2,4)的切线相切于点A( ),则切线的斜率ky| .切线方程为y( ) (xx0),即y .点P(2,4)在切线上,4 ,即 40, 40, (x01)4(x01)(x01)0,(x01)(x02)20,解得x01或x02,故所求的切线方程为4xy40或xy20.(3)设切点为(x0,y0),故切线的斜率为k 1,解得x01,故切点为(1, ),(
9、1,1).故所求切线方程为y x1和y1x1,即3x3y20和xy20.高考对本节内容的传统考法是以选择题、填空题或在解答题的某一问中考查导数几何意义的应用,很少直接考查函数求导运算.但09年天津高考则直接考查了导数的概念及运算,是一个新的考查方向.考题印证(2009天津高考)设函数f(x)在R上的导函数为f(x),且2f(x)xf(x)x2.下面的不等式在R上恒成立的是 ( )A.f(x)0 B.f(x)0C.f(x)x D.f(x)x【解析】 选 用排除法,设x0,则f(0)0,排除B、D;设f(x)x2 ,符合题目条件,但C不恒成立.A自主体验已知f(x) 4x,则f(1) .解析:因为f(x) 4x,所以f(x) 4,因此f(1) 4,解得f(1)2.答案:21.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为s t3 t22t,那么速率为零的时刻是 ( )A.0秒 B.1秒末C.2秒末 D.1秒末和2秒末解析:st23t2令s0,则t1或t2.答案:D2.(文)yx2cosx的导数是 ( )A.2xcosxx2sinx B.2xcosxx2sinxC.2xcosx D.x2sinx解析:y2xcosxx2sinx.答案:B(理)已知y sin2xsinx,则y是 ( )A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.非奇非偶函数解