大学物理课件第07章波动

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1、1第 7 章 波 动(Wave)7.1 行波7.2 简谐波7.3 物体的弹性形变7.4 弹性介质中的波速7.5 波的能量7.6 惠更斯原理与波的反射和折射7.8 声波7.9 地震波7.10 水波7.11 多普勒效应7.12 行波的叠加和群速度7.13 孤子7. 7 波的叠加 驻波一定的扰动的传播称为波动，简称波。 机械波：机械扰动在介质中的传播。电磁波：变化电场和变化磁场在空间的传播。具有一定的传播速度、都具有能量，伴随着能量的传播产生反射、折射、干涉和衍射等现象。两类波共有的特征和规律47.1 行 波(Traveling Wave )扰动的传播叫行波。抖动一次的扰动叫脉 冲，脉冲的传播叫脉冲

2、波图7.2脉冲纵横波的传播图7.1 脉冲波横波的传播57.2 简 谐 波(Simple Harmonic Wave )所传播的扰动形式是简谐运动的波，叫简谐波图7.3 横 波图7.3 纵 波1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617181 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617186各质元的位移y随其平衡位置x和时间t变化 的数学表达式叫做简谐波的波函数。如图7.3和图7.4，沿棒各质元的位移y随其平 衡位置x和时间t变化的数学表达式叫做简谐波的 波函数。 原点质元的振动表达式： xxp波沿x轴正向传播 (7.1) u图7.4 简谐波的波形曲线7

3、t 时刻位于x 处的质元的位移为简谐波的振幅简谐波的角频率上式就是简谐波的波函数:为在x 处的质点在t 时刻的相(或位相)。对于某一个给定的相有(7.2)8它的移动速度为波速u就是振动的相的传播速度，这一速度 又叫相速度。简谐波具有时间上的周期性。简谐运动的周期为简谐波的频率为(7.3)(7.4)9简谐波还具有空间上的周期性。两个相邻的 同相质元之间的距离为简谐波的波长波长等于一个周期内任一给定的相所传播 的距离。简谐波的相速度等于其波长与频率的乘 积。(7.5)(7.6)10当t=t0时，式(7.2)给出(7.7)(7.7)式表明各质元的位移随它们平衡位置的 坐标做正弦变化，它给出t0时刻波

4、形的“照相” 。与之对应的y-x曲线叫做波形曲线。横波的波形直接反映了横波中各质元的位 移。纵波的波形曲线是把位移转到y轴方向标出 ，就连成了与横波波形相似的曲线。11用来表示简谐波特征的又一物理量波数k 。它等于在2的长度内含有的“完整波”的数目。(7.8)(7.9)沿x轴正向传播的简谐波还写成以下两种形式 (7.10)沿x轴负向传播的简谐波要将7.2 、7.9 、7.10 式中的负号改为正号。便是相应的波函数。12右图为平面波与 球面波的示意图图7.6 球面波图7.5平面波波 线 波面波线：波的传播方向的直线。同相面（波面）：同相振动的点组成的面。同相面是平面的波叫平面简谐波。13例7.1

5、一列平面简谐波以波速u沿x轴正向传播， 波长为。已知在x0 = /4处的质元的振动表达式为 y0 =Acost。试写出波函数，并在同一张坐标图中 画出t=T和t=5T/4时的波形图解 P点的振动表达式为（就是所求的波函数）或14t=0时的波形图为下式t=T时的波形图向右平移一个波长，t=5T/4时的 波形曲线向x正向平移/4。yx0u15例7.2一条长线用水平力张紧，其上产生一列简谐 横波向左传播，波速为 20m/s。在t=0时的波形曲 线如图所示（1）求波的振幅、 波长和波的周期y/10-2mx/m0.10.3024u（2）按图设x轴方向 写出波函数（3）写出质点振动速度表达式解 （1）由图

6、得 A=4.010-2m，=0.4m16y/10-2mx/m0.10.3024u（2）原点O处质元的振动为表达式波函数为17代入A，T和的值代入，可得（3）位于x处的介质质元的振动速度为注意：区别振动速度和波速187.3 物体的弹性形变(Elestic deformation of matter)固体、液体和气体，在受到外力作用时，形 状和体积会发生或大或小的变化。这种变化称为 形变。当外力不太大因而引起的形变也不太大时 ，去掉外力，形状或体积仍能复原。这个外力的 限度叫弹性限度。在弹性限度内地形变叫弹性形 变，它和外力具有简单的关系。1.线变一段固体棒，当在其两端沿轴的方向相反大小 相等的外

7、力时，其长度会发生改变，称为线变。F/S叫应力l/l叫线应变应力和线应变成正比胡克定律(7.11)E叫杨氏模量FFllS图7.7 线变20(7.12)将(7.11)式改写成k称为劲度系数，简称劲度。类比弹簧的弹性势能公式，可得弹性势能为21则单位体积内的弹性势能为(7.13)2.剪切形变一块矩形材料，当它的两 个侧面受到与侧面平行的大小 相等方向相反的力作用时，形 状将发生改变，如图所示，这 种形变称为剪切形变，也简称 剪切。图7.8 剪切形变F/S叫剪应力=d/D叫剪应变(7.14)在弹性限度内剪应力和剪应变成正比，即G：剪切模量。是由材料性质决定的常量。式(7.14)即用于剪切形变的胡克定

8、律公式。(7.15)233.体变一块物质周围受到压强改 变时，其体积也会发生改变， 如图所示。 p表示压强度改 变， V/V表示相应的体积的 相对变化即体应变，则胡克定 律表示为(7.16)K：弹性模量。其大小随物质种类的不同而不同。 式中负号表示压强的增大总导致体积的缩小。图7.9 体变24体弹性模量的倒数叫压缩率。以表示压缩 率，则有(7.17)体弹性势能有257.4 弹性介质中的波速(Wave velocity of Elastic medium)弹性介质中的波是靠介质各质元间弹性力作 用而形成的。因此弹性越强大介质，在其中形成 的波动传播速度就会越大；或者说，弹性模量越 大的介质中，波

9、动传播速度就越大。m= Sx，其中为 棒材的质量密度。d=dy，D=dx图7.10 推导波的速度用图27这一质元受到合力为(7.18)28(7.19)等式两边消去S x，得(7.20)将式(7.2)代入式(7.20)中的y，即可得29于是弹性棒中横波的波速为(7.21)用类似的方法可以导出棒中纵波的波速为(7.22)同种材料的G总小于其E，因此在同一种介 质中，横波的波速比纵波的波速要小一些。30同种固体中，既可以传播横波，也可以传播 纵波。在液体和气体中只能传播纵波，其波速公 式为(7.23)K:介质的体弹模量； ：密度绳子中的横波波速公式为(7.24)F:绳中的张力；l：质量线密度31气体

10、中的纵波波速公式为(7.25)327.5 波动能量(Energy of wave)在弹性介质中有波传播时，介质的各质元由 于运动而具有动能。同时又由于产生了形变，所 以还具有弹性势能。平面简谐波设一质元密度为 ，体积为V，其中心的平 衡位置坐标为x。33质元的振动速度为它在此时刻振动动能为(7.26)34此质元的应变为根据式（7.15），它的弹性势能为35由式（7.21）可知u2=G/ ，它的弹性势能又可以 写为(7.27)和式(7.26)比较，在平面简谐波中，每一质元的动能和弹性势能相同。36质元的总机械能为(7.28)波在传播时，介质单位体内的能量叫波的能 量密度，为(7.29)37在一个

11、周期内的能量密度的平均值叫平均能量密 度(7.30)-对于各种弹性波均使用图7.11 波的强度的计算38通过垂直于波的传播方向的单位面积的能流 的时间平均值，称为波的强度，用I表示(7.32)对于波来说，更重要的是它的传播本领。 单位时间内通过垂直于波的传播方向的面积S的 能量叫能流用P表示(7.31)对于平面波有(7.33)S1 = S2因而有A1 = A2图7.12 平面波中能量的计算40对于球面波有或(7.34)所以球面波函数为(7.35)其中A1为离波源单位长度处的振幅图7.13 球面波中能 量的传播4141液体中声振动的振幅其实极小，但比水分子 间距（ 10-10m ）大得多。解 所

12、以例7.2 用聚焦超声波的方法，可以在水中产生强 达 I=120kW/cm2 的超声波，设波源作简谐振动， 频率为 =500kHz ，液体的密度为=103 kg/m3 声 速为 u=1500m/s，求这时液体质元振动的振幅。 427.6 惠更斯原理与波的反射与折射(Huygens Principle)42球 面 波平 面 波介质中任一波阵面上的各点，都可以看作是 发射子波的波源，其后任一时刻，这些子波的包 迹就是新的波阵面-惠更斯原理。O图7.14 用惠更斯作图法球新波振面 （左）平面波；(右)球面波43平面波传播时遇到有缝的障碍物，波能绕过 缝的边界向障碍物的几何阴影内传播，这就是波 的衍射

13、现象。图7.15 波的衍射图7.16 波的反射平面波入射到两种介质 的分界面上，入射角等于反 射角即波的反射定律。44图7.17 波的折射波的折射定律：平面波入射到两种介质的分 界面上，如果波能进入第二种介质，且波在两种 介质中的传播速度不同。在分界面上要发生折射 现象。 入射角的正弦与折射角的 正弦之比等于常数。(7.36)457.7 波的叠加 驻波(Superposition Principle of Wave Standing Waves)在几列波相遇或叠加区域内，任一点点位移， 为各个波单独在该点产生的唯一的合成波的独 立性或叠加原理。在同一介质中两列频率、振动方向相同，而且 振幅也相

14、同的简谐波，在同一直线上沿相反方向传 播时所形成的叠加即为驻波。设有两列简谐波，分别沿x轴正方向和负方向 传播，它们的表达式为其合成波为(7.38)各质点仍作简谐振动，但各质点的振幅 是x的函数。47： 表示简谐运动，:是简谐运动的振幅。48481)当 x 满足 的各点，振幅最大 ; 波腹 (k=0, 1, 2, )2)当 x 满足 的各点，振幅为零.波节 (k=0,1, 2, )3)相邻波节或相邻波腹之间的距离均为 。49驻波的特点1). 各处振幅不同，出现了波腹和波节2). 波节之间质点振动相位相同；波节两边质点 振动相位始终相反；3). 无振动状态的逐点传播，也无能量的单向传 播。50图

15、7.18 驻波的形成5151反射点处的半波损失反射点为一固定点时，驻波在此形成波节，说明反射波与入射波在该处是反相的( 的相位突变)，又称半波损失。图7.19 入射波在反射时的相跃变5252在弹性波垂直入射到两种介质的分界面而反射时：若 1u1 2u2 (波疏介质 波密介质)反射波有半波损失。若1u1 2u2 (波密介质 波疏介质)反射波无半波损失。图7.20 绳上的驻波5353驻波的应用弦(管)乐器的振动都遵从驻波规律。两端固定的弦线上(7.39)相应的频率为(7.40)54为基频， 称为二次、三次谐频( 声驻波则称基音、泛音 )，每一允许频率(简正频率）所对应的驻波称为一种简正模式。图7.21 两端固定弦的几种简正模式图7.22 二维驻波 （a）鼓皮以某一模式振动时，才能在其上的碎屑聚集在不振 动的地方，显示出二维驻波的“节线”的形状（R.Resnick） （b）钟以某一模式振动时“节线”的分布（左图）和该模式的全息照相（右图），其中白线对应于“节线”（T.D.Rossing ）56例7.4 一只二胡的“千斤”