数学课件 第4章 常用概率分布

《数学课件 第4章 常用概率分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学课件 第4章 常用概率分布（117页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第四章 常用概率分 布为了 便于读者理解统计分析的基本原理，正确掌握和应用以后各章所介绍的统计分析方法，本章在介绍概率论中最基本的两个概念事件、概率的基础上，重点介绍生物科学研究中常用的几种随机变量的概率分布正态分布、二项分布、波松分布以及样本平均数的抽样分布和t分布。 下一张 主 页 退 出 上一张 第一节 事件与概率一、事 件（一）必然现象与随机现象 在自然界与生产实践和科学试验中，人们会观察到各种各样的现象，把它们归纳起来，大体上分为两大类： 下一张 主 页 退 出 上一张 一类是可预言其结果的，即在保持条件不 变的情况下，重复进行试验，其结果总是确定 的，必然发生（或必然不发生）。这类

2、现象称 为必然现象（inevitable phenomena）或 确定性现象（definite phenomena）。另一类是事前不可预言其结果的，即在保 持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果 未必相同。这类在个别试验中其结果呈现偶然 性、不确定性现象，称为随机现象（random phenomena ） 或 不 确 定 性 现 象 （indefinite phenomena）。 下一张 主 页 退 出 上一张 随机现象或不确定性现象，有如下特点：在一定的条件实现时，有多种可能的结果 发生，事前人们不能预言将出现哪种结果；对 一次或少数几次观察或试验而言，其结果呈现 偶然性、不确定性；但在相

3、同条件下进行大量重复试验时，其 试验结果却呈现出某种固有的特定的规律性 频率的稳定性，通常称之为随机现象的统计 规律性。下一张 主 页 退 出 上一张 （二）随机试验与随机事件1、随机试验 通常我们把根据某一研究目的 ， 在一定条件下对自然现象所进行的观察或试验统称为试验（trial）。 而一个试验如果满足下述三个特性 ， 则 称 其 为 一个 随机试验（random trial），简称试验：下一张 主 页 退 出 上一张 （1）试验可以在相同条件下多次重复进行；（2）每次试验的可能结果不止一个 ，并且事先知 道会有哪些可能的结果； （3）每次 试验总是恰好出现这些可能结果中的一 个 ，但在一

4、次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪 一个结果。例如在一定孵化条件下，孵化6枚种蛋，观察其出 雏情况 ； 又如观察两头临产妊娠母牛所产犊牛的性别 情况 ， 它们都具有随机试验的三个特征，因此都是随 机试验。 下一张 主 页 退 出 上一张 2、随机事件 随机试验的每一种可能结果，在一定条件下可 能 发 生 ，也 可 能 不 发生，称为随机事件（random event），简称 事 件(event），通常用A、B、C等来表示。（1）基本事件 我 们 把 不 能 再 分的事件称为基本事件（elementary event） ， 也 称 为 样本点（sample point）。 下一张 主 页 退

5、出 上一张 例如，在编号为1、2、3、10 的十头猪中 随机抽取1头，有10种不同的可能结果：“ 取 得 一 个 编 号 是 1” 、 “ 取得一个编号 是2”、“取得一个编号是10”，这10个事件都是 不可能再分的事件，它们都是基本事件。由若干个基本事件组合而成的事件称为 复合事件 （compound event）。如 “取得一个编号是 2的 倍数”是一个复合事件，它由 “ 取得一个编号是2 ” 、 “ 是4”、“是6、“是8”、“是10”5个基本事件组 合而成。 下一张 主 页 退 出 上一张 （2）必然事件 我们把在一定条件下必然会发生的事件称为必然事件（certain event），用

6、表示。例如，在严格按妊娠期母猪饲养管理的要求饲养的条件下，妊娠正常的母猪经114天左右产仔，就是一个必然事件。下一张 主 页 退 出 上一张 （3）不可能事件 我们把在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件（impossible event），用表示。例如，在满足一定孵化条件下，从石头孵化出雏鸡，就是一个不可能事件。必然事件与不可能事件实际上是确定性现象，即它们不是随机事件， 但 是 为了方便起见，我们把它们看作为两个特殊的随机事件。下一张 主 页 退 出 上一张 二 、 概 率（一）概率的统计定义 研究随机试验，仅知道可能发生哪些随机 事件是不够的，还需了解各种随机事件发生的 可能性大小，

7、以揭示这些事件的内在的统计规 律性，从而指导实践。这就要求有一个能够刻 划事件发生可能性大小的数量指标，这指标应 该是事件本身所固有的，且不随人的主观意志 而改变，人们称之为概率（probability）。 事件A的概率记为P（A）。下一张 主 页 退 出 上一张 概率的统计定义 在相同条件下进行n次重复试验，如果随机事件A发生的次数为m，那么m/n称为随机事件A的频率（frequency）；当试验重复数n逐渐增大时，随机事件A的频率越来越稳定地接近某一数值 p ， 那么 就 把 p称为随机事件A的概率。下一张 主 页 退 出 上一张 这 样 定 义 的 概 率 称 为 统 计 概 率（sta

8、tistics probability），或者称后验概率（posterior probability）。例如 为了确定抛掷一枚硬币发生正面朝上这个事件的概率 ，历史上有人作过成千上万次抛掷硬币的试验。在表41中列出了他们的试验记录。 下一张 主 页 退 出 上一张 表41 抛掷一枚硬币发生正面朝上的试验记录 下一张 主 页 退 出 上一张 从表4-1可看出，随着实验次数的增多，正面朝上这个事件发生的频率越来越稳定地接近0.5，我们就把0.5作为这个事件的概率。在一般情况下，随机事件的概率p是不可能准确得到的。通常以试验次数n充分大时随机事件A的频率作为该随机事件概率的近似值。即 P（A）=pm

9、/n （n充分大）（4-1） 下一张 主 页 退 出 上一张 （二）概率的古典定义 对于某些随机事件，用不着进行多次重复试 验来确定其概率 ， 而是根据随机事件本身的特 性直接计算其概率。有很多随机试验具有以下特征：1、试验的所有可能结果只有有限个，即样 本空间中的基本事件只有有限个；2、各 个 试验的可能结果出现的可能性相 等，即所有基本事件的发生是等可能的；3、试验的所有可能结果两两互不相容。下一张 主 页 退 出 上一张 具有上述特征的随机试验，称为古典概型（classical model）。对于古典概型，概率的定义如下：设样本空间由 n 个等可能的基本事件所构成，其中事件A包含有m个基

10、本事件，则事件A的概率为m/n，即P（A）=m/n (4-2) 下一张 主 页 退 出 上一张 这样定义的概率称为古典概率(classical probability)或先验概率(prior probability)。【例4.1】在编号为1、2、3、10的十 头猪中随机抽取1头，求下列随机事件的概率。（1）A=“抽得一个编号4”；（2）B=“抽得一个编号是2的倍数”。因为该试验样本空间由10个等可能的基本 事件构成，即n=10,而事件A所包含的基本事 件有4个，即抽得编号为1，2，3，4中的任何 一个，事件A便发生，于是mA=4，所以 下一张 主 页 退 出 上一张 P(A)=mA/n=4/1

11、0=0.4 同理，事件B所包含的基本事件数mB=5， 即抽得编号为2，4，6，8，10中的任何一个， 事件B便发生，故 P(B)=mB/n=5/10=0.5。【例4.2】 在N头奶牛中，有M头曾有流产 史，从这群奶牛中任意抽出n头奶牛，试求:(1)其中恰有m头有流产史奶牛的概率是多少？(2)若N=30，M =8，n =10，m =2，其概 率是多少？ 下一张 主 页 退 出 上一张 我们把从有M头奶牛曾有流产史的N头奶牛中任意抽出n头奶牛 ，其中恰有m头有流产史这一事件 记为A ， 因为从 N 头 奶 牛 中 任 意 抽 出 n 头 奶牛的基本事件总数为 ；事件A所包含的基本事件数为 ；因此所

12、求事件A的概率为： 下一张 主 页 退 出 上一张 将N=30，M =8，n =10，m =2代入 上式，得= 0.0695即在30头奶牛中有8头曾有流产史，从这 群奶牛随机抽出 10 头奶牛其中有2头曾有流 产史的概率为6.95%。 下一张 主 页 退 出 上一张 （三）概率的性质 1、对于任何事件A，有0P（A）1；2、必然事件的概率为1，即P（）=1；3、不可能事件的概率为0，即P（）=0。三、小概率事件实际不可能性原理随机事件的概率表示了随机事件在一次试验中出现的可能性大小。若随机事件的概率很小，例如小于0.05、0.01、0.001，称之为小概率事件。 下一张 主 页 退 出 上一张

13、 小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次试验中出现的可能性很小，不出现的可能性很 大 ，以 至于实际上可以看成是不可能发生的。在统计学上，把小概率事件在一次试验中看成是实际不可能发生的事件称为小概率事件实际不可能性原理，亦称为小概率原理。小概率事件实际不可能性原理是统计学上进行假设检验（显著性检验）的基本依据。 下一张 主 页 退 出 上一张 第二节 概率分布事件的概率表示了一次试验某一个结果发生的可能性大小。若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即必须知道随机试验的概率分布(probability distribution)。为了深入研究随机试验 ，我 们

14、先引入随机变量(random variable)的概念。下一张 主 页 退 出 上一张 一、随机变量作一次试验，其结果有多种可能。每一种可能结果都可用一个数来表示，把这些数作为变量x的取值范围，则试验结果可用变量x来表示。【例4.3】 对100头病畜用某种药物进行治疗，其可能结果是“0头治愈”、 “1头治愈”、“2头治愈”、“”、“100头治愈”。若用x表示治愈头数，则x的取值为0、1、2、100。下一张 主 页 退 出 上一张 【例4.4】 孵化一枚种蛋可能结果只有两种，即“孵出小鸡”与“未孵出小鸡”。 若用变量x表示试验的两种结果，则可令x=0表示“未孵出小鸡”，x=1表示“孵出小鸡”。【

15、例4.5】 测定某品种猪初生重 ，表示测定 结 果 的 变 量 x 所 取的值为一个特定范围(a,b)，如0.51.5kg，x值可以是这个范围内的任何实数。 下一张 主 页 退 出 上一张 如果表示试验结果的变量x，其可能取值 至多为可列个 ，且 以各种确定的概率取这些 不同的值 ， 则 称 x 为 离 散 型 随 机 变 量 ( discrete random variable)；如果表示试验结果的变量x ，其可能取值 为某范围内的任何数值 ，且x在其取值范围内 的任一区间中取值时，其概率是确定的，则称 x为 连续 型 随 机 变 量 ( continuous random variable)。下一张 主 页 退 出 上一张 二、离散型随机变量的概率分布要了解离散型随机变量x的统计规律，就必 须 知 道它的一切可能值xi及取每种可能值的概 率pi。如果我们将离散型随机变量x的一切可能取 值xi ( i=1, 2 , )，及其对应的概率pi，记作P(x=xi)=pi i=1,2, (43)则称 （43）式为离散型随机变量x的概 率分布或分布。常用 分 布 列 (distribution series)来表示离散型随机变量： 下一张 主 页 退 出 上一张 x1 x2 xn .p1 p2 pn 显然离散型随机变量的概率分布具