《立体几何总复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何总复习（187页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 请将 移到相应 项目上 单击预备知识角的知识正弦定理ABCbcSABC=bc sinA余弦定理ABCbc acosA=直线与平面所成角直线与平面所成角平面与平面所成角平面与平面所成角异面直线所成的角异面直线所成的角异面直线所成的角异面直线所成的角ABDCA1B1D1C1在正方体AC1中，求异面直线A1B 和B1C所成的角？A1B和B1C所 成的角为60在正方体AC1中，求异面直线D1B 和B1C所成的角？ABDCA1B1D1C1E在正方体AC1中，M,N分别是A1A和 B1B的中点，求异面直线CM和D1N 所成的角？ABDCA1B1D1C1MNPABCMN空间四边形P-ABC 中，M，N分别
2、是 PB，AC的中点， PA=BC=4，MN=3 ，求PA与BC所成的 角？E已知：两异面直线a,b所成的角是50 ，P为 空间中一定点，则过点P且与a,b都成30角的 直线有 条。abPO2斜线与平面所成的角平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影 所成的锐角AOB当直线与平面垂直时，直 线与平面所成的角是90当直线在平面内或 与平面平行时， 直线与平面所成的角 是0斜线与平面所成的角（ 0, 90）直线与平面所成的角 0, 90异面直线所成的角（ 0, 90若斜线段AB的长度是它在平面内的射影长的2倍，则AB与所成的角为 。60AOB最小角原理AOBC斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平
3、面内的直线所成的一切角中最小的角。若直线 l1与平面所成的角为60 ，则这条直线与 平面内的直线所成的一切角中最小的角为 ，最大的角为 。 9060Ol1若直线 l1与平面所成的角为30 ，直线 l2 与 l1 所 成的角为60 ,求直线 l2与平面所成的角 的范围?l10, 90l2l2AOBC如图,直线OA与平面所成的角为, 平面内一条直线OC与OA的射影OB 所成的角为,设AOC为2求证:cos2= cos 1 cos 求直线与平面所成的角时,应注意的问题:(1)先判断直线与平面的位置关系(2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：作出或找出斜线上的点到平面的垂线作出或找出斜线在平面上的射
4、影求出斜线段，射影，垂线段的长度解此直角三角形，求出所成角的相应函数值SACBOFE如图，ACB=90，S为平面 ABC外一点， SCA= SCB= 60，求SC与平面ACB所成的角ABCDFEADFD ACGBE正方形ABCD边长为3，AE=2BE，CF=2DF，沿EF 将直角梯形AEFD折起，使点A的射影点G落在边BC 上，求AE与平面ABCD所成的角？正四面体PABC中，求侧棱PA与 底面ABC所成的角PABC HD例、四棱锥P-ABCD的底面是边长 为a的正方形，PB面ABCD.(1)若面PAD与面ABCD的二面角为 600，求四棱锥的体积； APDCB PB面ABCD，BAAD， P
5、AAD PAB就是面PAD与面ABCD的二面角的平面角解：即PAB600在RtPAB中，ABa， PAB600 PB aV= a3例 、四棱锥P-ABCD的底面是边长为a 的正方形，PB面ABCD.(2)证明不论高PB怎样变化，面PAD 与面PCD所成的二面角恒大于900.APDCBM证：由题设侧面PAD与PCD为全等， 作CMPD于M，连结MA，则CDMADM， AMCM，AMD900 故AMC就是所证二面角的平面角. 连结AC 在AMC中，由余弦定理cosAMC =故AMC900，即证. 例 、四棱锥P-ABCD的底面是边长为a 的正方形，PB面ABCD.(3)求面PBC与面PAD所成二面
6、角度数 。APDCB变化一四棱锥P-ABCD的底面是边长为a 的菱形，BCD600，PB面 ABCD.若面PAD与面ABCD的二面角为 600，求四棱锥的体积；APDCBE四棱锥P-ABCD的底面是边长为a 的菱形，BCD600，面PBC面 ABCD，且PBC是等边. 求侧面 PAD与底面ABCD所成的二面角；APDCB变化二E从一条直线出发的两个半平面所形成 的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱从一条直线出发的两个半平面所形成 的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射
7、线，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角O二面角的求法二面角的求法(1)垂线法利用三垂线定理作出平 面角，通过解直角三角形求角的大小(2)垂面法通过做二面角的棱的垂 面，两条交线所成的角即为平面角(3)射影法若多边形的面积是S， 它在一个平面上的射影图形面积是S ，则二面角的大小为COS = S S垂线法垂面法ABCDO射影法ABCAM已知：如图ABC的顶点A在平面M上的射 影为点A， ABC的面积是S， ABC的 面积是S，设二面角A-BC-A为求证：COS = S SDABDCA1B1D1C1在正方体AC1中，求二面
8、角D1ACD 的大小？O过正方形ABCD的顶点A引SA底面ABCD ，并使平面SBC，SCD都与底面ABCD成45 度角，求二面角BSCD的大小？ABCDSOE在正方体AC1中，E，F分别是AB，AD 的中点，求二面角C1EFC的大小？EFABDCA1B1D1C1ABC中,ABBC,SA 平面ABC,DE垂 直平分SC,又SA=AB,SB=BC,求二面角E- BD-C的大小?SABCEDABCD求正四面体的侧 面与底面所成的 二面角的大小？求正四面体的侧 面与底面所成的 二面角的大小？在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面 A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小EFGABDCA1B1
9、D1C1HFGBCDAH四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形 ，PD面ABCD，PD=6，M,N是PB,AB的 中点，求二面角M-DN-C的平面角的正切值 ？PDABCNMO H直线和平面的位置关系直线和平面的平行关系平面和平面的平行关系位置关系 图图 示表示方法公共点个数 直线线在平 面内a无数个直 线线 在 平 面 外直 线线 与 平 面 相 交斜 交a 一个垂直 相交a 一个直线线与平 面平行a 无aaAAaa平行于同一平面的二直线的 位置关系是 （ ） （A） 一定平行（B） 平行或相交（C） 相交（D） 平行，相交，异面D（1）点A是平面外的一点，过A 和平面平行的直线有 条
10、。A无数（2）点A是直线l 外的一点，过A和 直线l 平行的平面有 个。A无数（3）过两条平行线中的一条和另 一条平行的平面有 个。无数（4）过两条异面直线中的一条和另 一条平行的平面有 个。且仅有一（5）如果l1 / l2 , l1 平行于平面 ， 则l2 平面l1l2l2 或 /（6）如果两直线a ,b 相交，a平行 于平面，则b与平面的位置关系 是 。abb相交或平行过直线 l 外两点 ，作与直线 l平行 的 平面，这样的平面 （ ）（A） 有无数个（C） 只能作出一个（B） 不能作出（D） 以上都有可能ABl过直线 l 外两点 ，作与平面平行， 的平面，这样的平面 （ ）（A） 有无数
11、个（C） 只能作出一个（B） 不能作出（D） 以上都有可能ABlD(1) 定义直线与平面没有公共点(2) 定理如果平面外一条直线和 这个平面内的一条直线平行，那么这 条直线和这个平面平行。如图，空间四面体P-ABC, M,N分 别是面PCA和面PBC的重心 求 证：MN/面BCAEFPMN/ EF MN /面BCA线线平行线面平行如图，两个全等的正方形ABCD和 ABEF所在平面交于AB，AM=FN 求证：MN/面BCEABCDEFMNGHMN / GH MN /面BCE线线平行线面平行如图，两个全等的正方形ABCD和 ABEF所在平面交于AB，AM=FN 求证：MN/面BCEABCDEFMN
12、HAFN BNH AN/NH=FN/BN AN/NH=AM/MC MN/CH MN /面BCEABDCA1B1D1C1在正方体AC1中，E 为DD1的中点，求证 ：DB1/面A1C1EEFDB1 / EF DB1 /面A1C1E线线平行线面平行在正方体AC1中，O为 平面ADD1A1的中心， 求证：CO / 面A1C1BABDCA1B1D1C1B1OF线面平行的性质线面平行的性质(1)如果一条直线与一个平面平行 ，则这条直线与这个平面无公共 点(2)如果一条直线与一个平面平行 ，则这条直线与这个平面内的直 线成异面直线或平行直线(3)如果一条直线与一个平面平行 ，经过这条直线的平面和这个平 面
13、相交，则这条直线与交线平行 。abABOMNP D如图，a,b是异面直线，O为AB的中点 ，过点O作平面与两异面直线a,b都平 行MN交平面于点P，求证：MP=PN一、两个平面平行的判定方法1、两个平面没有公共点2、一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面3、都垂直于同一条直线的两个平面两个平面平行二、两个平面平行的性质4、一直线垂直于两个平行平面中的一 个，则它也垂直于另一个平面2、其中一个平面内的直线平行于 另一个平面 3、两个平行平面同时和第三个平面 相交，它们的交线平行两个平面平行5、夹在两个平行平面间的平行线段 相等1、两个平面没有公共点判断下列命题是否正确？1、平行于同一直线的两
14、平面平行2、垂直于同一直线的两平面平行3、与同一直线成等角的两平面平行 4、垂直于同一平面的两平面平行5、若,则平面内任一直线a 6、若n ,m ,n,m 则nm例题、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，求证：面AB1D1面BDC1ABCDA1B1C1D1证明 ： BDB1D1BD 面BDC1B1D1 面BDC1B1D1面BDC1同理 ：AB1面BDC1 B1D1AB1=B1面AB1D1面BDC1线线线面面面ABCDA1B1C1D1 证法2 ：ACBD A1A面AC A1C在面AC上 的射影为ACA1CBDBDBC1=BA1CBC1同理:A1C面BDC1同理:A1C面AB1D1面AB1D1面BDC1变形1:如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E,F,G分别为A1D1, A1B1, A1A的中点求证：面EFG面BDC1变形2:若O为BD上的点求证：OC1 面EFGO面面由上知面EFG面BDC1OC1 面BDC1ABCDA1B1C1D1 EFG线面OC1 面EFG变形3:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中 ，E,F,M,N分别为A1B1, A1D1, B1C1, C1D1 的中点ABCDA1B1C1D1
