来自报纸的数学问题

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1、来自报纸的数学问题 一种真实取向的数学教学徐斌艳 (华东师范大学课程与教学研究所 200062)为了在数学教学中密切数学与生活的联系,使抽象的、 形式化的数学建立在学生生动、 丰富的生活背景之上,数学教育工作者尝试着各种教学方法的改革.德国数学教育界有一群教育工作者,收集生活中经常阅读的各种报道作为教学的内容,取得可喜效果.本文将对此进行讨论与介绍.阅读报纸几乎是生活中不可缺少的活动之一,只要你稍加留意报纸上的数据和有关信息,就会发现一则报道其实就是一组数学问题.1 数学教学片段为了深化有关线性函数与二次函数的学习,某初三年级的数学教师从报纸上收集了两则报道:一则摘自1997年6月26日的 布

2、朗施瓦格报,标题为 “官方的数学”:群体饲养要考虑到幼兽的前背部隆起部分 高度x,要根据下列公式为它们提供最基本的活 动空间:基本空间(cm平方)等于0. 40x平方加 70x加2720(摘自保护幼兽条例草案).黑森洲 基督党议会成员威里西用这个计算公式向农场 主解释保护条例,帮助他们理解这个草案.威里 西指出,应该思考一下,如果根据 这类官方计 算 农民是否还有余地清扫那些厩.另一则摘自1997年7月19日的 比乐菲尔德通讯,题为 “精彩的官方语言”:在慕尼黑议会上由内务部长汤德勒宣读保 护幼兽条例草案,并宣布这个条例生效.在条例 中清楚地写到 群体饲养要考虑到幼兽的前背部 隆起部分高度,要

3、根据下列公式为它们提供最基 本的活动空间:基本空间(平方厘米)等于0. 4乘 平方加70乘加2 720.在第一堂课上教师将这两则报道复制后发给学生,请他们阅读,然后比较这两段文字,并讨论函数公式 f(x) = 0. 4x2+ 70x+2720.学生好奇地发现,报纸的编辑们在使 用数学公式时显然有很大困难,如他们把 x 看成 乘号,把 平方厘米 写成 cm平 方.另外学生也赞同幼兽保护条例,但他们不理解 前背部隆起部分 这个概念.这个问 题后来请饲养专家作了解释. 作为家庭作业,教师请学生在一个有意 义的前背部隆起高度区间内计算函数值,并 画出相应的曲线.师生首先讨论 选择哪个区间比较合理,大家

4、一致认为让x介于50与图1130厘米之间. 第二堂课讨论 所作的曲线图,气 氛非常活跃(见图1).考 察 曲 线 图后,一 些 熟 悉“普通” 抛物线的学生显得有些失望.如学生奥拉夫认为 “这根线不够弯曲”,学生玛格特也补充说 “从抛物线角度看,这曲线太直了,不是吗?另外它根本没有顶点”.当然从数学上可以证明它是一条抛物线,并且有顶点.但这里重要的是学生的观察和评论,即在选择的区间内这条函数曲线几乎不弯.通过分析这个特定的函数公式的用途,学生认为针对这个问题 “同样可以” 使用直线.师生继续测量和计算,发现线性函数g(x) = 140x的值与原始函数的值在选定区间内的偏差小于3.有了这个结果学

5、生兴奋地以咨询者的身份给条例制定者提出建32001年第10期 中学数学月刊 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.议,认为可以使用替换函数,他们还热烈地讨 论,为什么在条例中要使用一个带有这样系 数的二次函数,表明对保护幼兽的立场等等. 这两则真实的报道激起了学生解决问题 的兴趣,在这过程中学生巩固了线性函数与二次函数的概念,并真正体验这些概念的应 用性功能. 下面我们系统介绍利用报纸报道进行数 学教学的特点与功能,然后精选几则真实的 报道,分析如何将这些报道与普通数学教学整合起来,使我们的

6、教学更生动活泼.2 基于报纸报道的数学教学方法2. 1 方法的特点 这一教学方法由一系列步骤组成,我们 以上述教学片段为例,概括这一教学过程的特点. 首先教师从所选的文章中提取有关的数 据,借此组织相应的数学活动(如首先选取函 数公式),这种活动不能脱离真实背景,也就 是说问题情境要保持生动、 真实(如讨论为何条例制定时要用二次函数:改变函数公式对 农民或对幼兽分别有何后果);其次对于缺少足够信息的概念要加以补 充说明(如另请饲养员解释什么是前背部隆 起部分,一般可能有多高);另外鼓励学生联系实际情境提出有意识 的问题(如学生几乎是自发地对所给函数公 式提出疑问,建议使用简单的替换函数);在这

7、个过程中特别注意起初情境与数学 运算过程的整合,在适当时候从事数学 “常规活动”(如计算函数值,画曲线图,确定代替直 线的函数公式),这对问题解决非常有利,甚 至是必要的(如果没有画出曲线图很难想到 解决的思路);最后通过这种过程得到的答案不是唯一的,学生可以某个根据特定标准(站在农民立 场上或保护幼兽立场上)选择可能的答案. 这种教学方法的作用在于能够减轻甚至 消除学生被动的心态,激励他们对问题进行 共同的讨论,同时提出批评性建议(也可以对非数学领域问题进行讨论);能够唤醒学生的 好奇心、 兴趣感,激励他们对问题情境或数据 进行排列、 归类;能够提高学生学习勇气,克 服 “来自传统竞争的压力

8、”,使他们有机会设 想各种可能的方法,简化问题,从而解决问题;能够激励学生勇敢地去验证各自的解答, 保护它不受 来自外界 的评论或干扰;也能 够帮助学生认识到:“真实” 问题总是多方面 的,数学只能描述其很小的部分;数学固然有 用,但不是必然有用,也可能会用错甚至被滥用,并且多数情况下不存在最终的结果.这种 教学过程能使学生真正体验数学化过程,而 不局限在从一个文字题中解决某个数字问 题,或者只是灵活地将上节课的内容用于新 的解决方案中.2. 2 应注意的几个方面 利用报纸的报道进行数学教学,教师应 该注意以下几方面:2. 2. 1 收集带有错误信息的报道 在这种教学中特别值得讨论的是报纸上文

9、章的观点是否真实?有勇气去发现错误观 点,讨论怎么会出现这个错误?为什么没有人 意识到?等等.许多学生已经习惯于 “盲目 地” 接受所有刊登在报纸上的消息或观点,因 此在教学中要引导学生对自己的信任感进行挑战,训练他们质疑性的思维. 让我们来阅读德国著名杂志 明镜 上的 几段文字: “几年前每十个司机中有一个开车开得 过快,目前是每五个人中有一个人开车过快.开快车者多了百分之五,因此要不断检查,处 罚那些开快车者,”(1991年第41期) “目前还有20 的市民是自愿服务者, 然而根据德国业余协会的预测,将来五个人 中只有一个愿意进行义务服务”(1997年第36期) “直到70年代, 20 的

10、有心脏病的孩子 死于出生后的第一年.今天80 这种孩子 被救活,堡儿医生自豪地说”(1998年第1 期)4 中学数学月刊 2001年第10期 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.显然在上述三段文字中隐藏着不同的错 误,通过基于报纸报道的数学教学希望学生 学会表述自己的质疑性看法,同时提出自己 的观点并加以数学论证,因此在教学中经常 设计这样的任务 “你的观点如何,请写封读者来信”. 这类带有数学错误的文章还能够激起学 生对那些与自己没有直接关系的问题的兴 趣.有些学生曾经解释说:“我很愿意

11、计算报 纸上和书本上的实际问题,检验那些聪明的大人是否计算错了.我觉得很自豪,能够找出 错误,并且纠正错误”.由此可见,对学生来 说,如果他们能证明接受过高等教育的新闻 记者或知识丰富的成年人的错误,那么学习 动机将不断提高.对教师来说,在选择带错误的文章后,关 键是以适当的形式组织学生使用这些文章, 给学生设计的课堂或家庭作业不在于快速计 算某个问题,而是请学生 “写一封读者来信”, 一起讨论和评价各自的问题解决思路.2. 2. 2 展示完全精确与大约的矛盾 通过阅读和分析报纸报道给人这样一种 印象:学生在 “一般” 数学教学中学到的是完 全精确的概念或计算,所有数字是完全精确 的.数学是精

12、确性和可靠性的代表,但是当数学与 “世界的其余部分” 发生交往时,就会失 去这种精确性和可靠性,所产生的数据只能 达到有限的精确,由这些数据所传授的信息 就含有不精确的成分. 为使学生能够真实体验到数学在科学技术、 经济生活以及其他与生活息息相关的领 域中的效用,在我们的教学中有必要传授有 关数学近似的知识,尽管它比传授 “精确数 学” 要艰难.2. 2. 3 充分利用作业数据传送的报纸内容有时报纸上的内容 “只是” 用于传递数 据,或者 “只是” 用于描述某种事实,我们可以 充分利用这些内容来丰富教学,因为报纸上 的内容建立起数学与外部世界的联系,反映 一种真实数学问题,它提供真实的、 学生

13、在生活中体验到的数据,这些数据往往在报纸上 以生动的形式出现,给学生一种视觉上的轻 松感.我们在设计数学问题时可以借用那些 材料,如报纸上的两则广告:LBS购房贷款最多80000马克利息4. 5实际支付96. 5数学:堡尔从某银行贷款80000马克.1)为此他要支付多少利息?2)实际上他拿到多少马克? (因为有手续费)3 来自报纸的数学问题范例(附答案) 例1 关于指数增长这是一则摘自1987年5月19日 布朗 施瓦格报 的报道:每分钟多150人日内瓦:根据联合国人口问题基金会的统计, 7月份将有50亿人口生活在世界上.另根据星期一公布的报告,世界人口数每分钟多增长150人,每天多增长220

14、000人.针对这个报道我们可以设计四个问题: 问题1 如果世界人口(1)一年内每天 多220 000人?; (2)一年内每分钟多150人, 那么世界人口的年增长率是多少(用百分数 表示)?问题2 如果世界人口的年增长率(利用问题1的结果)在几年内保持不变,那么文 章标题中的数字是否也不变? 问题3 (1)假设问题1计算出的增长 率保持不变,到哪一年世界人口将达到60 亿? (2)针对这一年文章的标题应该怎么写?问题4 如果以文章的标题为条件,几52001年第10期 中学数学月刊 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rig

15、hts reserved.年后世界人口会达到60亿呢?参考答案问题1:如果世界人口每天多220 000名,那么这一年的人口多增长365220 000= 80. 3百万. 1987年的年增长率为5109+ 365220 000 51091. 016 1.也就是说1987年世界人口多增长了1. 61.如果每分钟多增加150人,世界人口的年增长仅仅是3652460150= 78. 874百万,那么1987年的年增长率为5109+ 3652460150 51091. 015 8.也即得到较低的增长率1. 58.从文章的数据得到两种不同的增长率,原因可能是每个给出的数据都被化整了.根据本文只能说明年增长

16、率大约1. 6左右.问题2:如果增长率不变,只是说明年增长百分数不变,但绝对增长值不断上涨,因为基础值连续增大. (那么标题中的150随着时间的推移也在增大. )问题3:1)如果从年增长率为1. 6 出发,就可以用下面等式确定n(年):6109= 51091. 016n.得出 n=ln1. 2 ln1. 01611. 5.大约11. 5年以后,即1999年初(从1987年7月开始)世界人口将达到60亿.2)按照60亿人口以及1. 6 的增长,得出1999年的世界人口多增长61090. 016= 96106,每分钟的增长数提高了96106 3652460183(人).相应地标题应该改为 “每分钟多180人”.问题4:如果世界人口真的每分钟增长150人,那么从50亿增长到60