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1、1 华东理工大学 概率论与数理统计 作业簿（第六册） 学 院 _专 业 _班 级 _ 学 号 _姓 名 _任课教师_ 第十六次作业第十六次作业 一 计算题：一 计算题： 1.1. 一批产品的不合格率为 0.02，现从中任取 40 只进行检查，若发现两只或两 只以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法求拒收的概率： （1）用二 项分别作精确计算； （2）用泊松分布作近似计算。 解: 解: 设不合格得产品数为. (1)40139 40(2)1(0)(1)1 (0.98)(0.02)(0.98)0.1905PPPC= = . (2)利用二项分布的泊松定理近似,得40 0.020.8np=, (2)
2、1(0)(1)PPP= =0.80.810.80.1912ee. 2. 2. 已知一本 300 页的书中每页印刷错误的个数服从普阿松分布(0.2)P， 求这本书印刷错误总数不多于 70 个的概率。 解:解: 设i是第i页印刷错误的个数，已知i)2 . 0(P，1, 2,300i =L，它们相互独立，由普阿松分布的可加性可知，300 页书的错误总数 =3001ii)60(P。 直接用普阿松分布计算，则有 7070 6000600700.909813!kkkPPkek=。 下面用独立同分布中心极限定理近似计算。 因为i)2 . 0(P，300, 2, 1L=i， 独立同分布，=iE2 . 0=，=
3、iD2 . 0=，300, 2, 1L=i，根据独立同分布中心极限定理，可认为 =3001ii近似服从正态2 分布),(2nnN,其中602 . 0300=inEn,602 . 03002=inDn。 所以 700P)60600()606070()6060()6010(= )75. 7()29. 1 (09015. 09015. 0= 。 3.3. 作加法时，对每个加数四舍五入取整，各个加数的取整误差可以认为是相互独立的，都服从)5 . 0,5 . 0(上的均匀分布。现在有 1200 个数相加，问取整误差总和的绝对值超过 12 的概率是多少？ 解:解: 设各个加数的取整误差为i（1200, 2
4、, 1L=i） 。因为 i)5 . 0,5 . 0(U，所以 025 . 05 . 0=+=iE ，121 12)5 . 05 . 0(2 2=+=iD （1200, 2, 1L=i） 。 设取整误差的总和为 =nii 1，因为n1200=数值很大，由定理知，这时近似有 =nii 1),(2nnN ， 其中，001200=n，10012112002=n 。 所以，取整误差总和的绝对值超过 12 的概率为 12P12121=P )12()12(1 22nnnn =)100012()100012(1)2 . 1()2 . 1 (1+= )2 . 1 (1 2=2302. 0)8849. 01 (2
5、= 。 4.4. 设2021,L是相互独立的随机变量序列，具有相同的概率密度 =其他0102)(xxx 。 令2021+=L，用中心极限定理求10 P的近似值。 解: 解: 因为 i（20, 2, 1L=i）的概率密度为 =其他0102)(xxx ，所以 3 32d2d)(102=+xxxxxEi ， 181 94 21)32(d2)()(210322=xxEEDiii。 由中心极限定理可知， 这时近似有 =201ii),(2nnN ， 其中，20=n，340 3220=inEn，910 181202=inDn 。 所以， 10P )91034010 ()10( 2 = nn)16. 3(1)
6、16. 3(=008. 0 。 5. 5. 设有 30 个相互独立的电子器件1230,D DDL，它们的使用情况如下：1D损坏，2D立即使用；2D损坏，3D立即使用，。设器件iD()1,2,30i=L的寿命服从参数为0.1=（1/小时）的指数分布，令T为 30 个器件使用的总计时间。 问T超过 350 小时的概率是多少？ 解: 解: 设i是第i个电子器件的寿命，已知i) 1 . 0(E，30, 2, 1L=i，它们独立同分布，101 . 0 11=iE，1001 . 0 1122=iD，30, 2, 1L=i。 根据独立同分布中心极限定理，可认为 =301iiT近似服从正态分布),(2nnN，
7、其中 3001030=inEn , 3000100302=inDn。 所以 350TP3501=TP)3000300350(1)300050(1= )913. 0(11814. 08186. 01= 。 6. 6. 某种福利彩票的奖金额由摇奖决定，其分布列为 若一年中要开出 300 个奖，问需要准备多少奖金总额，才有 95%的把握，保4 证能够发放奖金？ 解:解: 设需要资金总额为 b,设i表示第 i 个奖金额,其中1,2,300i=L,其期望和方 差 分 别 为29,764iiED=, 利 用 独 立 分 布 中 心 极 限 定 理 近 似 , 得3001()0.95i iPb=, 300
8、290.95300 764b=, 查 表 得300 291.6449300 764b=, 即9487.5b . 7. 7. 某单位设置一台电话总机，共有 200 个分机。设每个分机在任一时刻要使用 外线通话的概率为 5%，各个分机使用外线与否是相互独立的，该单位需要多少 外线，才能以 90%的概率保证各个分机通话时有足够的外线可供使用？ 解: 解: 设是要使用外线的分机数，),(pnb，200=n，05. 0=p，95. 01=pq。 近 似 有 ),(npqnpN， 其 中 1005. 0200=np，5 . 995. 010=npq 。设k是需要设置的外线数。根据题意，各个分机通话时有足够
9、的外线可供使用，即 k 的概率要大于 90，即要有 kP9 . 0)5 . 910(k。 查表可得 2816. 15 . 910k， 解得 5 . 92816. 110+k95.13， 大于它的最小整数是14，所以，需要设置14条外线。 第十七次作业第十七次作业 一计算题：一计算题： 1.1. 一复杂系统，由多个相互独立作用的部件组成，在运行期间，每个部件损坏 的概率都是0.1，为了使整个系统可靠地工作，必须至少有 88%的部件起作 用。 （1）已知系统中共有 900 个部件，求整个系统的可靠性（即整个系统能可靠地 工作的概率） 。 （2） 为了使整个系统的可靠性达到0.99， 整个系统至少需
10、要由多少个部件组成？ 解: 解: 设是起作用的部件数 ，),(pnb， 当n比较大时， 近似有),(npqnpN。 （1）900=n，9 . 0=p，1 . 01=pq,810=np，81=npq。 5 整个系统要能可靠地工作，至少要有 792%88900%88=n 个部件起作用， 所以，这时系统能可靠地工作的概率等于 900792P )81810792()81810900()2()10(= 9772. 0 . （2）设至少需要n个部件，nnp9 . 0=，nnpq09. 0=。 这时系统能可靠地工作的概率等于 88. 0nnP)09. 09 . 088. 0()09. 09 . 0(nnnn
11、nn=)15()3(nn )15(1n)15(n= （ 因为本题中n很大，3n的值远远超过了4，所以可以认为 )3(n1 ） 。 要99. 0)15(n，查表可得3263. 215n，即2)153263. 2(n1218 ， 即如果整个系统可靠性要达到99. 0，它至少需要由1218个部件组成。 2. 2. 保险公司接受多种项目的保险，其中有一项是老年人寿保险，若一年中有 100000 人参加这项保险，每人每年需付保险费 20 元，在此类保险者里，每个人 死亡的概率是0.002， 死亡后家属立即向保险公司领得 8000 元。 若不计保险公司 支出的管理费，试求： （1）保险公司在此项保险中亏本
12、的概率； （2）保险公司在此项保险中获益 80000 元以上的概率。 解： 解： 设是死亡的人数，),(pnb，100000=n，002. 0=p ，998. 01=pq。近似有 ),(npqnpN，200002. 0100000=np，6 .199998. 0200=npq。 保险公司的净获益为 800010000020。 （1）当 8000100000200时，保险公司在此项保险中亏本，其概率为 250P)6 .199200250(1)539. 3(10002. 0 . （2）若要 80001000002080000，必须有 240+ =+= =nnn nknnk， 这时，显然不可能有 0
13、)(1lim12= =nkknDn 。 所以，当且仅当21； （4）1515maxi iPX 。 解：解： （1）由2(12,2 )XN知： 10 |12|1111(|12| 1)= ()=-=- =22222XPXP= ） 50.84130.4215=； （4）551515151215=1- 15=1- 151()2maxmaxiii iiPXPXP X = 51-0.93320.2923=。 2设总体)6,50(2N，总体)4,46(2N，且 ，相互独立，从总体中抽取容量为10的样本，从总体中抽取容量为8的样本，且X, Y分别为，的样本均值，2 xS，2 yS分别为，的样本方差。求下列概率： (1) 2(5051.897467.676)xPXs ； (3)22(8.28)xySPS= = 10.9750.025=； (3) 根据定理5.4.3,可知22226(9,7)4xySFS, 所以 22222268.283.680.954xxyySSPPSS=.
