无功潮流最优化

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1、哈尔滨工业大学学报立0e6年。月JOUR NALO FHARBININST ITUTEOFTEC HNO LOGY期8期无功潮流最优化电力工业自动化 研究室朗家琦于松海摘要本文利用非线 性规划一一乘子罚函数结合BFG S方法解 决电力系统无功最优潮流间 魔。对修正近似海森阵的B矩阵,在程 序上、算法上采用了 一 些技巧,根据阵B的对称性,每次 迭 代后只修正阵B 的 上三角部分。另外利用潮流方程 的雅克比矩阵具有结构对称形 式 的特点使 得求解 拉格朗日象子和潮流迭代 可以共用一 个三 角分解 稀琉程序。以上 的 处 理 方法,不仅节省内存,同时也明显地提高了计算速度。对于一维搜索,本程序采用

2、了de c一powo ll方法,并做了某些简化,减少了目标函数的计算 次数.本程序对IE E ES节点、1 1节 点试脸 系统进行了计算,另外还对安徽省电力网89节点、4 0 节点、35节点的实际系统进行了计算,效果很好。关镇词:拉格朗日乖子,无功最优化 潮流,非线性规划,乘子 罚 函扎近似海森矩阵。言目前国内外关于无功最 优潮流问题有许多文章,论述了一些 基本的算法,有的已应经用到生产实际。我们知道潮流方程是非线性的,其中节点的无功率Q和节点电压v之间的线性关系较好,这样无功最优潮流问题便于线性化了。基于 这种线性化思想,利用敏感度法结合对偶线性规划解决无功潮流的最优分布,此 方法适于在线控

3、制。线性规划 的优点方法成熟,计算速度快。这种算法的缺点是由于不等式约束而引入 了很多的松驰变量,增加了所占机器内存,对于节点数多的系统此方法就不太适合了。另外线性化对工作点要求较高,否则计算结果误差会很大。非线性规划一般用子解决最优无功潮流 的离线计算,这是由于非线性规划的计算速度慢而计算精度高。采用外点罚函数方法结合简化梯度,并针对梯度法在最优解附近时收敛速度减慢的缺点,采取一些必要措施,有一定效果,但不灵活,收敛速度还是比较慢。梯度法的最突 出的优点是程序处理很简单。1采用二次规 划并结合BF GS方法解.本文于19 8 4年1 2月收到。.中国科学院科 学 基 金课题。决无功最优潮流

4、问题,此方法被认为是当前最有效的非线性规划的方法之一。这种算法的优点是能够结合电力系统的一些特点,计算精度较线性规划方法高,而计算速度也较一般非线规划 方法要快。不足 之处就是由于对所有的约束都要线性化,故对初始可行解要求很严。另外 乘子罚函数结合海森阵或BFG S方法解决最优潮流效果也很好3。总之,可使用的方法很多,但从实际结果看,方法的好坏不是绝对的,对不 问 的系统效果 也不一样,究竟哪种方法好,有待于实际考验。本文是根据实际生产所提出的问题,选取 了适用于解决无功优化问题 的方法乘子罚函数结合BFGS方法。二、数学模型1.问题的提出在电力系统中,无功调度对于保证有功的正常输送,保证系统

5、的安全运行起着至关重要的作用,无 功 调度的好坏改接影响各节点的电 压水平,系统的有功 拟 失。为了充分利)I J发 电能力,绝大部分发 电机的有功已经 发足,可以调度的余地很小。对一J:区域性供电网来讲,有功调节手段极少,而无功调节手段较多。因此无功潮流就 显得 尤 为突出了。本文就是 根据实际需要,在系统除平衡机外,其他发动机有功均已确定的前提下,使系统有功 功率损失最小,电压水平最好,无功潮流达到最优分布。2.数学模型无功放优潮流的目标函数,根据 系统的运行要求而 异。从安全运行的角度,其口标函数可 以要求无 功热备用容量 均匀贮存于各电源之中。从电压质量及经济的角度,共日标可以是系统的

6、有功损失最小。有的系统在最大运行方式时,无功容量不足,所以电 压水平偏低。而在最小运行方式时,则无功过剩,使局部地区的电压水平过高。因此同 一系统在不同的运行方式时,亦可 以有不同的目标。即在无功容童不足时,其日标可 以是无功总发电量最小,而当无功过剩时,目标 则为系统有功损失最小1、2。设系统的平衡机有功功率待定,其他发电机有功功率及各节点的有功、无功负荷均己确定,最优无功潮流是在满足运行条件下,提高各节点的电压水平,使目标函数最小。( 1)、运行条件设系统有n个节点,其中有m个发电机节点。( a)等式函数约束系统各节点的有功必须平衡,一个。节点系统,平衡机有功待定故有拄一1个有功潮流等式方

7、程。p“一p:一v习V,(G,coss,+B声ins,)二0(2一1)=1,2,3, n一1共有。个发电机的无功作为函数不等式约束,所以无功等式约束就减少m个,共有n一琳个无功等式约束。“一。:一;,i y iv,(e,声in。,一。,Co s。,)二。(2一2)乞=1、2、3、”一,n一m总共有( 2n一胜一1 )个等式约束,式 中P“,O“分别为第乞韦点有功及无功发电量,气.、O乙分别为第玄节点有功及无功负荷。( b)函数不等式约束Qe二Q,十V恩V,G,S”e厂”,“0 50,QG川二(2一3)云= =n一拼+1、,n。共m个函数不等式,式中O。min、O。m“x分别为第韦点容许的无功发

8、电童的下限和上限。e,为相邻两韦电压相角差。( c)简单变量不等式本文只对电压有约束,而对电压相角没有约束,因 为n一1个节点有功已给定。V。,。(V,(V。a二玄=1、2n(2一4)在本算法中节点的电压及电压相角作为变量,平衡机节点电 压相角除外。以发电机调相机的电压为控制量,其他变量均作为依赖变量。( 2)目标函数以系统的有功损失为目标函数。系统的有功损失即网损为:P:二习尸(2一5)式中p为第节点的注入有功功率,而尸表为p=Pe一P:(2一6)由于只有平衡机有功待定,即P。不定,从而P。玄=1,2 .“n一1均已给定,因此求P:最小就等价于求P。最小。爪InP。(8,V)h(8,V)=0

9、V,.。(V.镇V。 二Q。:二,(Q“镇Q。:(2一7)其中P。是平衡机有功,h( e,v)为等式函数约束,即潮流方程,v。为第云节点电压,V。二 、V二.。分别为该节点的电压上、下限;O。为第节点的发 电机无功功率,O“,。 二、O“,。分别为该节点的发电机的无功上、下限。这种数学模型显然是非线性规划的典范型,本文采用拉格朗日乘子法处理等 式约束,用乘子 罚函数方法处理不炸式约束,若等式约束用h.表示,不等式约束用w表示,(w,是单边不等式),处理为w0则增广目标函数表为:功(8,V)=p。(0,V)+刃入耘(6,V)一名拼W,(0,V)+刀RW 2(8,V)(2一8)其中右端第一项为原目

10、标函数;第二项为等式约束的拉格朗日形式;第三、四项为不等式约束的乘子 罚函数形式。入为拉格朗日乘子,拜为不等式约束乘子 罚 函数的乘子,R.是罚因子。一62一厂WW。=i当W拜/ZR,当W)拼/Z R.(2一9) 拜,/ZR不等式约束的乘子迭代公式为:件、1=拼一ZRW(2一1 0)三、方法讨论1.墓本算法将式( 2一8 )改写成为向量形式:功(X,U)=P,(X,U)+入Th(X,U)一拜TW(X,U)+RTWz(X,U)(3一1)式中X为依赖变量,U为控制变量,这里我们取发电机和调相机的电压作为控制变量,负荷节点的电压及所有节点(除平衡节点外)的电压相角作为依赖变量。其中h (X、U)为等

11、式约束,即潮流方程,W(x,U)为不等式约束,包 括 函数及简单变量不等式约束,意义与式( 2一9 )相同。令F(X,U)=p。(XU)一拜Tw(XU)+RTWZ(XU)(3一2)则式( 3一l )可改写成为:价(X,U)=F(X,U)+入丁汽(X,U)(3一3)简化梯度结合B FGS拟牛顿方法,具体算法如下:式( 3一3 )对依赖变量x的偏导数:d功/。 X=dF/dX+(d九/。 X)T入(3一4)式( 3一3 )对控制变量的偏导数:d价/OU=JF/d U+(dh/dU)T入(3一5)式( 3一3 )对乘子入的偏导数:d功/d入=五(X,U)=0(3一6)令( 3一4 )式为零则解得入值

12、:入=一(dh/dX)一TdF/dX(3一7)将式( 3一7 )式代入式( 3一5 )便可以得到广义目标函数的简化梯度:d功/dU=一(dh/dU)丁(dh/dX)一,(dF/dX)+dF/d U令G=中“,采用BFGS方法,则搜索方向为:BP=一GP=一B一G(3一9)式中B为BFGS方法的修正阵。对3一6式的等式约束,进行线性化处理,将( 3一6 )式在运行点XK、UK处台劳展开,并忽略二次项后各项,保留线性部份。则有:一63一(。h/。X)x+(。孔/。X)么U+瓦(X、,U:)=o(3一10)具体步骤如下:( 1)给定初值,及罚因子;R,对乘子罚函数的乘子清零,( 2)计算节点功率及雅

13、克比矩阵;(3)求解格拉朗日乘子入,和广义目标函数及其广义简化梯度。由式(3一7),(3一8),(3一9)完成。( 4)利用式( 3一沁求解搜索方向P。,(5)一维搜索,找出最优步长a,求 出乙U,由式( 3一1 0)解出乙X,调整变量,(6)计算节点功率,用(3一7),(3一8),(3一1)式求解入值,广义 目标函数及其简化梯度,( 7)收敛与否?是,输出停乡否转(8 )(8)修正B阵,调整拼否?是转(9),否转(3),(9)修正件值,调整R值,再求解入值转(3)。2.一维搜索前面讲过BFGS方法的数值稳定性好,对一维搜索精度要求不高。在引用d“t一POw“n方法时这里进行了一点改进,做了一

14、些简化。这些做法都是基于BFG S的优点,这样做可以减少 目标函数的计算次数,加快了一维搜素的速度。如图3一1所示,D“t一POw“1 1法的基础就是三点二次插值,但此方法是逐次三点二次插值。这里采用的方法不 进行逐次插值,但比普通的三点二次插值要多计算一 次 目标函数值,即在a=( a2十a3)/2二点处多计算一次函数值。如图所示,这种情况用以a为中点,a:、a3、a三点进行插值,这样处理的优点在于比普通三点二次插值更逼近实 际值,插值效果比较理想。本程序还采用变试探步长的方法,即第一步试探成功,加倍步再向前走,如图3一1所示,aZ=Za, ,a3“2a2二”。3.因子修正B阵算法我们知道拟

15、牛顿法的缺点就是计算量较大占内存较多。为了弥补BFGS算法的这种缺陷,本程序采用因子修正B阵的算法。BF Gs算法的B阵修正 公式为:B,:=B尺+Y尤YT兀ST兀Y兀B兀S尤S尤TB尤sT 凡Bxs兀(3一11)Y兀二g尤+:一g尤S犬=X,l一X尤其中g为梯度向量,x为简单变量向量。下面给出因子修正算法:给定实对称正定矩阵B。,将B阵进行三角分解:B=U丁DU其中U。 、 ,是单位上三角矩阵,表示为:U二U.:U:二互 U一孟U一lD是对角矩阵,表示为:(3一1 2)(3一13)(3一14)(3一15)一64一D二D。(d:一,dZ :, ,d。)在方程( 3一15)中,矩阵UK是n阶基本上 三角矩阵,表示为:(3一16 )也称第K次矩阵初等变换,满足u军e。=oU二二:I。一e、u奚( 玄二1,2 .一K)(3一17)(3一18)。为第落次矩阵初等变换的单位向量,由方程( 3一1 5)给出的条件说明,u百的前K个元素为零,也就是说U夏有这样的形式U轰二(0,0 .二0,U、。:,UK,2U,)或者以下面的标记划分:U歪=oT,Utr(3一19)其中U兰相当于UK的非零元素。获得确定的修正后B阵的因子形式,即B=B+bMMT(3一20)现在考虑通过将一个秩1的矩阵加到初始正定阵B中去,而其中B对B而言是修正后的,b是数量,M是n维向量,式( 3一20 )也可以写成:莎丁动