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1、圆锥曲线的一组生成方式 一道课本习题引发的探究性学习黄元华（ 广东省深圳市高级中学 ）在一堂高二圆锥曲线的复习课上， 我讲完一道有关圆的课本习题后， 灵机一动， 设计了一次探究性学习 原题再现 题目长为的线段 的两个端点和分别在轴和轴上滑动， 求线段 的中点的轨迹方程（ 此题即人教社普通高中课程标准实验教科书数学必修版第 页组第题）解 设线段 中点的坐标为（，） ， 则 点的坐标为（，） ， 点的坐标为（，） ， 则由已知有（）（）槡， 化简可得点的轨迹方程为： 课后探究 该题实际上给出了一种圆的定义， 或者说一种圆的生成方式， 即由两条相交直线和动线段中点能生成圆定理 长度为定值的线段的两端
2、点分别在两互相垂直的直线上滑动， 则该线段中点的轨迹为圆， 圆心为两直线交点， 半径为定值之半上课时， 我讲到这里， 突然想到： 若适当改变该题的条件， 能否由两条相交直线和动线段生成其它圆锥曲线呢？若有可能， 我们将可得到圆锥曲线的一组新定义 我感到这是一个有探究价值的好课题， 何不把它交给学生去研究呢？下课前，我把这个探究课题交给学生， 并对全班学生说：“ 同学们六人一组， 课后开展合作探究， 要求写成书面报告 正好明天是两节连堂课， 明天上课时请各组派代表上台汇报研究成果 成果越多越好， 但须给出令人信服的证明或说明” 同学们兴奋异常， 但也有部分学生面有难色， 因为他们从来没有遇见过这
3、样的数学作业 成果展示 第二天上课前， 我查看了学生们交上来的书面报告， 他们改变了原题的部分条件， 生成了圆之外的其它圆锥曲线， 其中不乏创新和精彩之处 上课时各组代表争先恐后登台汇报研究成果 经稍加整理， 分述如下：为了叙述方便， 下面约定：，是两条相交直线， 交点为， 夹角为， 且（ ， 椭圆的生成方式之一 结论 长度为定值的线段的两端点分别在两条相交（ 不垂直） 直线上滑动， 则该线段的中点的轨迹为椭圆设两相交直线的夹角为（ ） ， 则离心率 槡 证明 设，为两相交直线， 夹角为（ ） ， 以它们夹角的平分线为轴， 以它们的交点为原点、 建立直角坐标系（ 如图）设，的方程分别为 ， ，
4、 其中 ，、分别为，上的动点， 且 ，为线段 的中点图设（，） ，（，） ，（，） 则由已知有（）（）槡， ， ，所以（） ， 年 第 卷 第期 数学通报（） ， 即（） ，所以（ ） （ ）槡， 即 ，所以， 点的轨迹方程为 （）当 ， 即时， ， 此时方程（） 表示长轴在轴上的椭圆， 长、 短半轴长分别为， ， 椭圆的离心率槡（ ）槡 槡 槡 注 在本结论中， 若两条相交直线垂直（ ） ， 即时， 方程（） 即， 此时点的轨迹为圆 椭圆的生成方式之二 结论 长度为定值的线段 的两端点分别在两条互相垂直的直线，上滑动， 且 为定值（） ， 则点的轨迹为椭圆证明 分别以，所在直线为轴，轴建 立
5、直角坐标系（ 如图） 设（，） ，（，） ，（，） ， 则由定比分点坐标公式有图 烅烄烆， 则（） 烅烄烆，又 ， 则得，所以（） （），所以点的轨迹方程为 （） （）， （） 当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，槡；（） 当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，槡 双曲线的生成方式之一 结论 直线，交于，是，夹角平 分线上异于的一定点， 线段 过定点， 且其两端点分别在，上滑动， 则该线段中点的轨迹 是双曲线 其实轴为线段 ， 两条渐近线分别与，平行， 若设两相交直线的夹角为（ ） ， 则双曲线的虚轴长为 ， 离心率 槡 证明 以，夹角的平分线为轴， 以线段 的中点为原点建立直角坐标系（ 如图） 设
6、 （，） ，（，） ，（，） ， （） ，则（，） ，的方程可分别设为（） ，（） ， （ 其 ） ，则由条件有图（） ，（） ，（） ，所以 ，（）（）（） ，数学通报 年 第 卷 第期因为、四点共线，所以 ， 即 ， 即 （） ， 即 ， 化简变形可得 ，故点的轨迹是双曲线 ， 其实半轴长为， 虚半轴长为 ， 渐近线方程为 ， 双曲线的离心率槡槡 槡 双曲线的生成方式之二 结论 一线段的两端点分别在两相交直线上滑动， 且该线段与两相交直线围成三角形的面积为定值， 则该线段中点的轨迹是一对共轭双曲线证明 以，的交点为原点， 以，夹角 的平分线为轴建立直角坐标系 （ 如图） ， 设（，） ，（
7、，） ，（，） ， 则，的方程分别为 ， （ 其中 ） ， 面积 （） ， 即，又图（） ， 即 得， 变形得，故点的轨迹方程为 抛物线的生成方式 结论 动线段 的两端点分别在两条互相垂直的直线上滑动， 且 ， 其中为定值（） ， 则线段 中点的轨迹为两条抛物线证明 分别以，所在直线为轴、轴建 立直角坐标系（ 如图） 设（，） ，（，） ，则由 有（， ） ，图又 烅烄烆， 消去得 ，故线段 中点的轨迹方程为 得出此结论后， 马上有学生主动要求发言生： 此结论不美！生： 此结论价值不大！生（ 此结论的发现者） 很平静地回答： “ 此结论得出后， 并没有想象中的兴奋， 因为表达式失去了某种对称的
8、美 不过由于抛物线本身不是中心对称图形， 这种结果也是可以预见的了”（ 掌声四起， 其中既有理解， 更有赞赏）师： 结论美不美或者价值大不大并不重要， 重要的是同学们所体现出来的主动探索精神， 最大的价值在于探究本身！ 年 第 卷 第期 数学通报两端点在两相交直线上滑动的动线段还满足什么条件， 它的中点轨迹是抛物线？笔者和学生还在研究这个问题， 但目前尚未得出令人赏心悦目的结论， 有兴趣的读者不妨一试 生成其他平面曲线图结论 动 线 段 的两端点分别在两条互相垂直的直线上滑动， 且垂足到动线段所在直线的距离为定值（） ， 则动线段中点的轨迹方程为证明 分别以这两条互相垂直的直线为轴、轴建 立直
9、角坐标系（ 如图）设（，）则由条件有（，） ，（，） ， 则 故直线 的方程为 （） ， 即，由点到直线的距离公式 槡 ， 变形得 ，即点的轨迹方程师： 该轨迹是什么曲线？生： 我们首先发现， 它关于轴、轴、 直线、 直线及原点对称， 然后用描点法画 出了它的大致图象（ 如图）图师： 给它取个名吧？生： 既然它有四支， 类比“ 双曲线” 的名字，就叫它“ 四曲线” 吧（ 满堂爆笑） 结论汇总 下课前分钟， 我与学生一道整理并总结本次探究课得出的所有结论两相交直线的夹角动线段 所满足的条件在线段 上的位置轨迹轨迹方程 为定长中点圆（ ， ） 为定长中点椭圆 为定长 （）椭圆 （） （）（ ， 直
10、线 过定点， 定点位于夹角平分线上（ 异于）中点双曲线 （ ， 的面积为定值中点一对共轭双曲线 中点一对抛物线 点到直线 的距离为定值中点“ 四曲线” 延伸思考 本次临时设计的探究课取得了意想不到的收获， 学生的探究热情、 能力和成果均超乎我当初的（ 下转第 页）数学通报 年 第 卷 第期这位教师说： “ 那可不行， 那样就出现了圆内角和圆外角的概念， 超出了 课标 要求， 增加概念就增加了学生的负担”我问其他老师： “ 同意这位老师的意见吗？ ”有几个教师点头同意面对这种现状， 我确实感到遗憾 学生甲的出现给数学教育赋予了多么好的良机！如果让学生的“ 鼠标探索” 进一步， 将明显地拽回到圆内
11、，一个事实出来了： 一条弧所对的圆内角大于圆周角； 再将拉到圆外， 另一个事实有了： 一条弧所对的圆外角小于圆周角虽然在探索和归纳上述结论时出现了圆内角、 圆外角的概念， 但是它绝不会给学生带来负担， 相反， 会给理解和掌握圆周角的性质带来帮助， 有比较才有鉴别， 一件事物的特征往往在与另外事物的比较中才显得更加清晰！另外， 我们把三个结论（ 同弧所对的的圆周角相等， 同弧所对的圆内角大于圆周角， 同弧所对的圆外角小于圆周角） 综合到一起， 便得到结论： 同弧所对的圆周角相等， 且同弧所对的相等的角的顶点是共圆的这个结论蕴含了四点共圆的判定定理 这个定理的得到如此自然， 在不知不觉中浮现出来！也许有的教师又说， 判定四点共圆不是 课标 内
