智轩考研数学红宝书2010版--概率论与数理统计(第八章 假设检验)

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1、智轩考研数学红宝书 2010-概率论与数理统计（第八章 假设检验） bbs.qinjing.cc 182 第八章 假设检验 2009 考试内容 (本大纲为数学 1，数学 3 需要根据大纲作部分增删) 显著性检验 假设检验的两类错误 单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验 考试要求 1 理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误。 2 掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。 本章导读 假设检验 8 大接受域和拒绝域，两类错误的计算方法。 一、假设检验与参数区间估计的关系 1 参数q的置信度为1a-的区间估计，正好是显著性水平为a的假设检验的接受域。

2、 2 区间估计中，假设总体中的参数是未知的，要用样本对它进行估计；而假设检验中，是先对参数做出假设，再用样本值对假设作检验。在某种意义上，假设检验是区间估计的逆问题。 3 具有完全相同的 8 大枢轴量（8 大枢轴量详见第七章） 。 二、假设检验的基本思想及两类错误与显著性检验 比如，一个人说他射击是高手，我们将半信半疑。怎样才能确定他的话真假，最好的办法就是先假设他是高手或低手，然后让他实际打几枪，根据他射击的结果来检验。如果其射击结果命中率在 90% 以上，我们一般可以接受他的说法；如果命中率在 50% 以下，我们就拒绝他的说法，这个判断的标准是根据小概率事件几乎不可能发生的原理。但我们的判

3、断也可能犯错误，因为几乎不可能发生，但还是有可能发生的。一是他的确是高手，但在这次射击中失误了，而我们却只根据他这一次的命中率没把他当高手，也就是说我们犯了以真当假的错误称为第一类错误。二是他本来是个低手，但这次命中率恰好超过了 90% 以上，我们却把他当成了高手，实事上我们犯了以假当真的错误称为第二类错误。这两类错误，我们都尽可能使其概率最小，但实事上做不到，因为它们是此消彼长的关系，因此，我们首先要控制主要错误（又称显著性错误）的概率，那究竟哪种错误严重，即显著呢？ 为了说明两类错误主次关系的直观含义，我们引用一个生活例子：某人因身体不适前往医院求医。医生的职责就是通过各种生理检查，根据化

4、验的数据作出该病员是否犯病的结论。然而再好的医生都不可避免会犯下两类错误。一种是病员确实有病，但由于生理指标未出现明显的异常现象，使医生判断为无病。另一种是病员实际上没有疾病，但生理指标呈现某种异常，使医生判断为有病。这两类错误都会导致病员的损失，然而两类错误的损失是不一样的。如果“有病判无病” ，相当于以真当假第 1 类错误，其结果可能延误了治病的时机造成病情的加重以致死亡；而“无病判有病” ，相当于以假当真第 2 类错误，其结果是病员会有一些经济或其他损失，然而对生命是无碍的。因此医生总是尽可能地避免犯上述第 1 类错误。 如果用假设检验的数学语言表达即为：原假设0H：该人有病，备选假设1

5、H：该人无病。而生理检验指标就是样本观测值， 医生要作的决定即为接受0H或拒绝0H。 而拒绝域 W 即为 “生理指标属于正常范围” ，智轩考研数学红宝书 2010-概率论与数理统计（第八章 假设检验） bbs.qinjing.cc 183 而犯第 I 类错误的概率为 000(|)HPHHa=拒绝为真，正是“有病误判无病”的概率。犯第 II 类错误的概率为 10100(|)(|)HPHHPHHb=接受为真接受不真，正是“无病误判有病”的概率。由于两类错误的影响不同，第一类错误的后果严重，是显著的，故经常要求控制第一类错误概率，即 0()HPWa，其中a是 充 分 小 的 正 数 ， 这 也 就

6、是 显 著 性 检 验 的 由 来 ，a称 为 显 著 性 水 平 。a的 意 思 是 概 率000(|)HPHH拒绝为真很小，相应的事件为小概率事件，几乎不可能发生，但并不等于不发生，只是发生的概率等于a而已。注意显著性检验并不考虑犯第 2 类错误概率b。 当总体的分布函数未知，或只知其形式而不知道它的若干参数的情况时，我们可以根据历史经验或者其他的充分理由对总体分布或者它的参数提出某种假设：例如 0H：总体分布是正态分布 或者 0H：110qq（10q为某一已知常数） ，称为原假设或零假设； 而它的否定命题为： 1H：总体分布不是正态分布 或者 1H：110qq，称为备择假设。 假设检验方

7、案即为寻求一个拒绝区间W，一旦样本的观测值落在W内，就作出拒绝0H的决定，故称为拒绝域，W的余集W成为接受域，接受域就是区间估计的范围。样本的观测值落在W就作出接受0H的决定。假设检验就是根据取到的样本观测值与枢轴量的理论值作比较，作出拒绝还是接受哪个假设的决定。 例如若0/XPnmlas-=，当0.01; 0.05, 0.1a=等很小的值时，叫做小概率事件，小概率事件在一次试验中认为是不会发生的，称为小概率原理，也就是说事件0/X nmls-是不可能发生的，或发生的概率a很小。 在假设00:Hmm=下，由于()00,1/XNnm s-，其中分位数2zza=或 12zza-=可查表得到理论值，

8、0/X nm s-的检验值可由样本观察值和0mm=计算确定。如果将样本观察值X和原假设0H中的0mm=代入0/X nm s-，有0120/x namls-（或020/x namls-成立，到底取哪一种形式，要看哪一种能查表得出）则小概 率 事 件 发 生 了 ， 就 拒 绝0H； 反 之 ， 接 受0H。 显 然 ， 120/X namls-的 拒 绝 域 为1122,aall - -+； 接 受 域 为 1122, aall -， 由 此 还 可 以 推 出m的 拒 绝 域 为001122XXnnaassmlml -+-。 可以看出，它与区间估计的分界点是完全相同的，只是区域描述不同而已。

9、显然，只要比较0Z（枢轴量）的理论计算值与分位数的查表值2Za的大小即可，即有结论： 智轩考研数学红宝书 2010-概率论与数理统计（第八章 假设检验） bbs.qinjing.cc 184 ( )a 0 2ZZa 0Z落在拒绝域内，从而拒绝原假设0H，认为1H正确； ( ) b 0 2ZZa 0Z未落在拒绝域内，从而接受原假设0H，认为Ho正确。 其余枢轴量类推。 三、正态总体的参数检验的考点 1、单个正态总体（注意等号的分布位置，对单边假设等号一般在原假设上） 检验 参数 条件 Ho 1H Ho的拒绝域 选用检验枢轴量 自由度 分位点 omm= omm 212ZZZaa-= - 2Za o

10、mm omm 1ZZZaa-= - Za 2s 已 知 omm omm 1tttaa-= - ta 数 学 期 望 m 2s 未 知 omm omm 22 acc 2 ac m 已 知 22 0ss 22 0ss 22 acc 2 ac 方 差 2s m 未 知 22 0ss 22 0ss 22 12XYUmnss-=+(0,1)N UZa - 未知22 12ss及，但22 12ss=， （其中22 212(1)(1) 2WmSnSSmn-+-=+-） ，检验均值（t检验） 原假设Ho 备样假设1H Ho成立时的统计量 a显著性水平下Ho的拒绝域 12mm 2(2)Ttmna+- 12mm 1

11、1 (2)WXYT Smn t mn-= +-1(2)Ttmntaa- -+-= 已知均值12mm与，检验方差（F检验） （注意： 11( ,)( ,)Fn mF n ma a-=） 原假设Ho 备样假设1H Ho成立时的统计量 a显著性水平下Ho的拒绝域 22 12ss 122( , )( , )FFm nFFm naa-或 22 12ss 2 1 12 2 11() ( , )1()mi i nj jxmFF m n ynmm=- = -1( , )FFm na- 未知均值1mm2和，检验方差（F检验） 原假设Ho 备样假设1H Ho成立时的统计量 a显著性水平下Ho的拒绝域 22 12s

12、s 212(1,1)(1,1)FFmnFFmnaa-或22 12ss 2 1 2 2SFS= (1,1)F mn- 12(1,1)FFmna- 其中：2 11 11()1mi iSxmm=-22 11()1ni iSxnm=-智轩考研数学红宝书 2010-概率论与数理统计（第八章 假设检验） bbs.qinjing.cc 186 评 注 在实际解答中， 1计算 12ta-时可能会出现负值时，就改用2ta，或应根据问题的意义去掉负号以符合题意。 2计算2, Fc的拒绝域时，可能会出现区间左端点的值大于右端点的值，应调整顺序。 四、假设检验的符号设定与计算技巧 假设检验的假设包括原假设0H和备择假

13、设1H。 原假设0H中一般都要含有 “=” ， 可以是 “=” ，“” ， “” ，但不能是“” ， “”或“ 与 是等价的；00:; Hmm= 100010:; :HHHmmmmmm或00:Hmm；若原假设是00:Hmm，则备择假设通常是10:Hmm成立， 则称m在0m之右； 若0mm成立，则称m在0m之两侧。这可以通过数轴上点的位置关系画图看出。 根据原假设和备择假设的不同形式，可以规定0H，1H的位置关系： 若00:Hmm（或00:Hmm=） ，10:Hmm，称0H在左，1H在右。 若00:Hmm（或00:Hmm=） ，10:Hmm或。 明确了“统计量”的接受域与拒绝域的概念，就可以进一

14、步得到假设检验的一般步骤。 3-2 假设检验的一般步骤如下 根据上面对“统计量”的接受域与拒绝域的讨论，可以进一步得到假设检验的一般步骤： 根据已知条件，确定原假设和备择假设，并找出统计量。 判断0H，1H的位置关系。根据0H对应概率为1a-的接受域，1H对应概率为a的拒绝域的原则，并结合它们的位置关系确定分位点，再利用分位点写出“统计量”的接受域或拒绝域（一般只写拒绝域即可） 。 将0H中的等式0mm=和样本值代入统计量进行计算，若结果落在“统计量”的接受域，就保留其对应的原假设0H；若结果落在“统计量”的拒绝域，就保留其对应的备择假设1H。 【例 1】已知0.5110,X =，9n =，(

15、), 0.015XNm，取0.05a=，检验00.5mm=。 解：设000101:0.5:0.5HHHHmmmmmm=已知2s，关于m的假设检验使用枢轴量 0(0,1)XZNnms-= 0H在1a-中部，1H在1a-两侧，分位数0.050.97511221.96zzza-=，拒绝域为1.96Z 。 0 00.511 0.50.011 32.20.0150.015 9XZnms-=在拒绝域内，故接受1H，即0.5m。 这种解答方法简单形象，望读者掌握。 智轩考研数学红宝书 2010-概率论与数理统计（第八章 假设检验） bbs.qinjing.cc 188 假设检验题型题法 【例 2】正常生产条件下，某产品的生产指标()2 00,XNm s，其中00.23s=，现在改变了生产工艺，产品生产指标()2,XNm s，从新生产工艺中任取 10 件，测得均方差为0.33，试求 显著性水平0.05a=下检验 ( )12s无明显变化；( )12s明显增大。附表如下 附表 0.050.0251.64, 1.96ZZ= ( )29 10nnnac= ( )29 10nnnac= ( ) 9 10tnnna= 0.95 3.325 3.940a= 0.05