应用均值不等式解竞赛题

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1、 课外 园地 数 学通讯 2 0 0 9 年 第 5 、 6期( 上半月) 8 5 应 用均值不等式解竞赛题 吴祥成 ( 湖北省沙市中学 ， 4 3 4 0 0 0 ) ， 均值不等式是一个重要 的不等式 在各 种数学 竞赛 中经常出现 与之有 关 的题 目， 灵 活而巧妙 地应 用均值 不等式 ， 往往可 以使一些难题迎刃而解 均值不等式 设 口 - ， n z ， ， 口 都是正数 ， 则 ! ： ： ： ! 当且仅 当 n 一 一 一 n 时等号成立 利用均值不等式 可得到以下常用结论 ： 1 ) 设 n ， 6 R 。 则 丢 + 4； ( 2 ) 设 4 ， b ， C R ， 则

2、丢 + + ； ( 3 ) n 6 ， R 十 则 詈+ + ) 十 应 用 均 值 不 等 式时 常 用 的 技巧 有： 常 数 代 挚， 添 项， 拆项， 引入参数， 变量代换， 反复使用， 结构的 变形 例 1( 2 0 0 8 年江苏赛区复赛试题 ) 已知 a ， 6 ， c ， d为正实数 且 a + b + c +d一 4 ， 求证 ： n 。 IX + b z d a+ c 2 d a+ d 。 幻 4 分析 左端为四项 的和， 可先变为乘积的形 式 ， 再使用均值不等式 讲解 a 。 + 6 。 d a+ C 2 d a+ d 一 a b( a c+ b d)+ c d( a

3、c+ b d) 一( o h+ c d) ( a c+ b d) ( a b+ c d+z a c+ b d) 。 = ， 1( ) 4 评 注 左端是 四项 之和 ， 应想 到因式 分解 ， 把 它变成乘积 的 形 式 ， 这 是 本 题 应 用均 值 不 等 式 的 关键 例 2( 2 0 0 7年湖 北省预 赛试 题)设 ( O ， 号 ) ， 求 函 数 一 + 的 最 小 值 分析 不能直接应用均值不等式 ， 应采用 添项 与拆项技巧 ， 将 C O S Z 拆成 + ， 为 TJ L +C OS X cOsx CoS 式子的乘 积 产 生 常 数 ， 根 据 式 子 的特 征 ，

4、应 添 上 ks i n X+ k c os 。 讲 解 因 z ( o ， 号 ) ， 所 以 s in x O , c o s x 0 ， 设 k 0 ， 则 一 i n 2 x +上C O SX+上C O S X+ c o s 2 x一 是 1 5 +3 拓 一 当且仅当丽 2 2 5 一奄 s i D 2,7t5且 一 七 c o s 2 即 s i n2 x 29C O S 2 X ： 1 时 式 等 号 成 立 此 时 ， 1 5 1 ， 十丽一L 设 ， 则 2 t +1 5 t 一 2一 o ， 而 2 + 1 5 t 3 2 = 2t 4一 。+ 1 6 t 3 2 。一 t

5、 ( 2 t 一 1 )+ 2 ( 2 t 一 1 ) ( 4 。+ 2 t + 1 ) 一( 2 t 一 1 ) ( 3+ 8 d 4 - 4 t 4 - 2 ) 故 ( 2 一 1 ) ( 4 - 8 t 。 4 - 4 t +2 )一 0 注意到 O 1 ， b 1 ， C 1 ， 试求 AA B C周长的 最小值 分析 为突出本 文的主题 ， 只考虑第( 2 ) 问 根 据 已 知 等 式 的 结 构 特 征 ，可 先 将 它 变 形 为 专= ( 1 - ) ( 1 一 ) ( 1 一 ) 由 均 值 不 等 式 求 出 + + a D C a D 的 最 大 值 再 由 卅 c 求

6、 得 AA B C周 长的最小值 讲解 由 a b e一 2 ( a 一 1 ) ( 6 1 ) ( f 1 )得 12 一 ( 1 - 1 ) ( 1 1 ) ( 1- 1 )c 根据均值不等式 有 ( 1 一 ) ( 1一 ) ( 1一 ) ( 1一 )+ ( 1一 下 1)+ ( 1一 ) 三 - - a 故 吉 + + s 一 3 又( 口 +6 +c ) ( 上 +_ 1+上 ) 9 所以 1 1 1 毒一 故 AB c周长的最小 值为 当且仅 当 n =6= c=矗 时 取 得 此 最 小 值 评注 本题 需 将结 构改 变 。 再 应 用均值 不等 式 改变结构 应 抓住式子的特

7、征 例 4( z o o s 年 湖南省预 赛试题) 若正数 口 b 满 足 = 一 南 枷 步 厦 用均 值不 辱 式 讲解 由条件有 + 令 a+b z 。 b +c y c +a= z ， 则 口=x+ 2z- y6一 x+ 2y- z c= 2 从而 条件转化为 _x+一y 一 + z +x一1 V 根据均 值不 等 式 及 前 面 介绍 的 常见 结 论 ( 1 ) 可得 暨 +z + x 一三+三+上+三 三 + 三 + 2 +2 z Y z 十 qz+y一 ，则 由 和 得 +l 。 解得 t 或 r ( 舍 故 一 = t一 1a c 十 Z 哩 评注 当分母 是多项式 时，

8、采 用换元 ， 使分母 成为单项式， 更容易发现解决问题的方法。 在本题 中 还 要 善 于 观 察， 利 用熟 知 的结 论 + 1 ( ， l t + ) 解决问题 十V 例 5( 2 0 0 2年湖 南省预赛试题 ) 设 长方 体的 长、 宽 、 高分别为 n b c 其对角线长为 Z ， 试证 ： ( f 一 a ) ( Z 一 ) ( c ) 5 1 2 a 6 c 分析 根据式子的结构特征 。 可变形 为 ( l 4一1 ) ( 等 一 1 ) ( 一 1 ) 5 1 2 再 由a 。 +6 z +f 2 一 z 。 想到换元法 ， 再 由均值不 等式证得 结论 讲解 原不等式等价

9、于 ( 一 1 ) ( 一 1 ) ( l 4一1 ) 5 1 2 设 z= a 2 =笋 。 ： 则 z + + z l ， 且原不等式可变成 ( 一1 ) ( 一 1 ) ( 一 1 ) 5 1 2 由 一 = 课外 园地 数学通讯 2 O O 9年第 5 、 6期( 上半 月) 8 7 ：1 兰 ! 兰=兰 -_ 兰 一 8： = ： 一 r 其 中等号 当且仅当 Y 时取到 同 理有 一1 巫 yZ。 1一 以上三式相乘 ， 即得 ( 一 1 ) ( 一 1 ) ( 一 1 )5 i z 评注 式左端是乘 积 又 是 比较 大 的一边 ， 不能直接应用均 值不等式 ， 故而考虑每一个式

10、 子 ， 使 分子出现和的形 式， 再应用均值不等式 例 6 ( 第3 6 届 I MO试题) 设 a ， b c 为正数 且 满足 a b c= 1 ， 试证 ： l_ + b + 而 三2 口 。 (6 + c ) 。 + 口 ) 。 c。 ( n + 6 ) ， 分析这是一个对称不等式 。 易知 ab c = 1 等 号 成 立 ， 这 时 ， 不 等 式中 三 项 均 为 丢， 抓 住 这 一 特点 ， 可采用添项技巧来证 讲解 a b c= 1 ， 1( a b e ) 。 b 。 c 2 一a 3 ( b +c )一 a 3 ( b +c ) 而 因 为 譬 + 6 c 。 b z

11、 c 2 一 4 ( 6 + c ) ， 从而 一T 1口 ( 6 +c ) 同 理 ， 一 6 ( c + n ) n 6一 I c ( n+ 6 ) 以上三式相加 ， 得 1 1 1 n 。 ( 6+ f ) 。b 。 ( f + 4) f ( 口+ 6 ) ( n 6+ + )一 ( 乜 6+ + ) =( a b+ b c+ ) 1 3 = 寻 评注 本题是 一道 分式 不等式， 利用取等号 的 条件恰 当配式使它转 化为 整式不 等式 的证 明 在 整 个证明过程 中 始终保持 等号成立 的条件 不变 这 是 证 明分式不等式 的一个重要技巧 例 7( 2 0 0 0q - 江 苏省

12、预赛试题) ， Y = 是正实 数 R i g x + y + 一 1 ， 求 曰 X 3 + 与 + 南 的 最 小 值 分析 因为条件中出现了 ， 所以把 变 为 ， 再求 出 z ( i -z )的最大值 问题 即告 解决 讲解 X 3 一 ，由均值不等式得 z 。 ( 1一 。 ) 。 一 8 x s ( 1 一 。 ) ( 1 - x s ) 一 ( 1 - x s ) 1 。 一吉 导 ( 1 - x s ) 寺 同 理 ： ( 1 - y 8 ) 寺， ( 1 - 28 ) 8 则 V o V o X 3 + + 一 + + 一号 范 当 z 一 去 时 ， 上 式 取 等 号

13、因 此 所 求 的 最 小 值 为 詈 掘 评 注 本题 抓 住条 件 式，将 r 变为 。再 得 到 局 部 不 等 式 罕，这 8 8 数 学通讯 2 O 0 9年第 5 、 6期( 上半月) 课外 园地 练 习题 1 ( 2 0 0 5 年 江苏省初赛试题 ) 设 a b 0 ， 那么 2 ( 2 0 0 7 年广西预赛试题) 若点 P( x ， ) 在直线 z+3 y一 3 上移动 ， 则 函数 f ( x， ) 一 3 +9 y 的最小 值等于 3 ( 2 0 0 6年 湖 南 省 预 赛 试 题 )已 知 z ， ( 一 ， ， 且 一 1 ， 则 + 的最小值 是 。 4 ( 2

14、 0 0 7年河南省预赛试题)设 a ， b 是正实 数 则 蠢 的 最 小 值 为 5 ( 2 0 0 6年 四 川省 初 赛 试题 ) z为 实数 ，函数 ， ( )= 4 c o s 。 X一 3 c o s 一 6 c o s x+ 5的 最 大 值 为 16 ( 2 0 0 7 年 吉林省预赛试题) 已知点 P ( 2 ， 1 ) ， 过 P作直线 与 轴， Y 轴正半轴分别交于点A， B， 则使 AA O B( 0为坐标原点)的周长最小 的直线 z 的方程 是 7 ( 2 0 0 6 年 河南省预赛试题) 设 a b 0 。 则 + 的最小值是 8 ( 2 0 0 6年 江 苏省 预 赛试 题)设 a 1 ， 口 z 口 z 。 0 2 均 为 正 实 数 ， 且 + 辛 + +