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1、湖南大学硕士学位论文一类时滞二元人工神经网络模型的动力学性质姓名：朱惠延申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：黄立宏2002.3.1摘要弩s l4 2 3 G本文由二苹组成，第一章介绍问题的提出，并引进几个_ ! 已号。第二荦研究了一类具有分段常数不连续信号传递函数的时滞二元人工神经网络模型l 戈= 一x + f ( y ( t f 1 ) )L 多= 一P Y + f ( x ( t f 2 ) )的动力学性态。这里x ( ，) ，y ( t ) 分别表示两个神经元的活跃程度，内部衰减率t s 及突触传递时滞f ，( i = 1 , 2 ) 均为已知常数；信号传输函数，为刑) 2 悟手
2、a ，6 ，善( 一0 0 ，a ) u ( 6 ，。) ，其中c 0 表示神经元的连接强度，a 和b 是闽值。该章分别对阈值口，b 的四种情形 ( 1 ) 1 1 ，( 2 ) a = 1 ，b a ， ( 3 ) a = 0 ，b a ，( 4 )一1 0i st h ed e c a yr a t e ，f ，( ，：l ，2 ) t h es y n a p t i ct r a n s m i s s i o nd e l a y , ft h es i g n a lf u n c t i o na n di sg i v e na s、jc ，k ，代) 21ig 。( - -
3、0 0 ，：) u 0 ，。) ，w h e r ec 0i st h ec o n n e c t i v es t r e n g t ho fn e u r o n s ，口a n dba r et h et h r e s h o l d s I nt h i sc h a p t e r ，f o u rc a s e sa r ed i s c u s s e d ：( 1 ) 1 1 ，( 2 ) a = 1 ，b 日，( 3 ) a = 0 ，b a ，( 4 ) 一1 0 的情形。( c 1 时，模型( 3 ) 解的渐近性本节结果如定理2 1 1 若1 0 ，使当t f ，时
4、，有x ( f ) o ，矿( O ) 0 ，N X O _ f ，O 】，有fX r ( 臼) = x ( f + 臼) = e ( O ) e 一7 + 鲫 0 b ，l y ，( 臼) = _ y ( r + 口) = y ( o ) e 一7 + 8 0 b ，即( X ，y ，) 1 X ”x , j b 妒( 0 ) 0 且少( 0 ) 0 和妒( O ) 0 且6 ( O ) 0 的情形可类似讨论所以，当m = ( p ，妒) 7 X 3 3 时，有 ，Y ，) 7 x 3 3 。在【f ，2 f 】， 2 r ，3 r l ，上重复上述讨论，则有( x ，Y ，) 7 X 3
5、3 ，V ，0 。因此，( 8 ) 对f 0 成立，即有( x ( 吐y ( f ) ) 7 寸( O ，O ) 7 ( fj )情形2 ：中= ( 妒，P ) 7 X 。 一X 1 ，此时，引理2 1 1 有) 妒( o ) 8 。，f o ，( f ) 2 矿( o ) e 一。 嘲u牌嚣美乏利用( 1 1 ) ，( 1 2 ) 及极限的保号性，存在， 0 ，使当， ，时成立。从而( t 。，y 。，) 7 X ，由情形1 ，结论成立，证毕。定理2 1 3 的证明分两种情形讨论情形l ：m = ( 妒，p ) 7 X ，此时，由( 3 ) 和( 4 ) 知0 ( ，) ，y ( f ) )
6、 7 在 0 ，r J 上满足系统= - - X + l ， I 少= - y + 1 解( 1 3 ) 得：( 1 2 )有x q ) b 及y ( t ) 2b( 1 3 )耄黜：”1 ) 8 e ：1 1 ：川吣，【y ( ，) = ( ( o ) 一“+ ，。显然，对臼卜r , O ，由( 1 4 ) 有下列不等式成立：J 口( 。一1 ) e 1 鳓+ 1 x 。( 目) = x ( f + 目) = 【p ( o ) 一1 e 叫7 + 们+ 1 ( 6 一1 ) e 一【+ 8 ) + 1 b ，日n 【a ( 口一1 ) e 一7 + 印+ 1 y ，( 护) = y ( r
7、+ 目) = 少( o ) 一1 e 一( + 8 ) + l ( 6 一1 ) P ( r + 目) + 1 6 E p有( x ，Y ，) 7 X 2 2 。在【f ，2 r j ， 2 r ，3 r ，上重复上述讨论，则( x ，一) 7 J 2 2对，0 成立因此( 1 4 ) 对，0 成立，从而( x ( O ，y ( ，) ) 7 岭( 1 ，1 ) 7 0 。) 情形2 ：中= ( 妒，矿) 7 一X 2 2 由引理2 1 1 ，有。( 吣( 妒( o ) 一1 ) e 。+ 1 ， I y ( ，) ( ( O ) 一1 ) e 。+ 1 用定理2 1 1 情形2 类似方法讨论
8、知，存在，? 0 ，使当f ? 0 时，有J “) 兰6及一( r ) 6 成立。又由引理2 ，1 】，当， ，? + f 时，有 。( f ) 2 妒“+ f ) P 叫? 1 ， 【y ( ，) y ( ，卜f ) P “”“用定理2 1 2 情形2 类似方法讨论知，存在t ： ， f ，使当r f ；时，有。( 7 ) a 及y ( ，) 口成立，故( 。囊，Y ，沁) 7 X 2 2 由情形1 ，知结论正确。2 2n ：1 时，模型( 3 ) 解的渐近性不节笫果邓r ：定理2 , 2 1 如果口= 1 ，那么有下面结论：( I ) 若中= ( 妒，妒) 7 X 1 1 ，贝0 ( x
9、O ) ) ，y ( ，) ) 7 ( O ，0 ) 7 0 ) ；( I I ) 若中= ( 妒，y ) 7 X 2 2 ，则( x ( f ) ) ，y ( ，) ) 7 ( 1 ，1 ) 7 ( ，。) ；( I I I ) 若6 ( 1 ，P7 ) 且中= ( 妒，) 7 X 甜一( x 1 1u X 2 2 ) ，贝I J( x ( ，) ) ，y ( 呦7j ( O ，O ) 7 ( fjc 。) ；( I V ) 当b ( e 7 ，o o ) 时，( i ) 若中= ( 妒，y ) 7 X l2u 并I3u X 2 】u X 3 1 ，则 O ) ) ，y O ) ) 7 、手
10、( O ，O ) 7 ( f 。) ；( i i ) 若巾= ( 仍y ) 7e x 。且：嚣兰 各，则( x ( ，) ) ，y ( 啪7 一( 1 ，1 ) 7 ( ，寸o 。)( i i i ) 若中= ( 仍y ) 7e ，：，且责篝兰苦，则( x ( r ) ) ，y ( f ) ) j ( 。，o ) 7 0 斗。) ；( i v ) 若中= ( 妒，妒) 7e 五，且等罢导 各帅圾( 4 ) 叭加m ) ) ，卸川上满足系统( 1 5 ) ，且( 1 6 ) 成立。设r 为( x ( ，) 一6 ) ( y ( ，) 一1 ) 在 0 ，。) 上的第一个零点，则( x ( ，)
11、，y ( ，) ) 7 在【O ，+ f 】上满足系统) 。另一方面，由于茄 各，故x ( t ) = 妒( O ) 一1 e “。+ 1 = b jt l = 1 n 【妒( O ) 一1 一l n ( b 一1 )且 川刊0 ) P 1 ，：这时，由于，：为( x ( ，) 一6 ) ( y ( f ) 一1 ) 在 0 ，。) 上的第一个零点，所以 ( ，) ，y ( ，) ) 7 在 0 ，t 2 + f J 上满足系统( 1 5 ) ，J A g f f 对t f 2 ，2 + r 】，有y ( t ) = y ( t 2 ) P 一“2 = P z 1 由引理2 1 1 ，有y (
12、 f ) Y ( t 2 + r ) 一l i e 一卜2 吖1 + 1 1 ，f t 2 + f 又根据引理2 2 1 ，结论F 确。对于( I V ) 中的结论( i v ) 和( V ) ，可由系统( 3 ) 的对称性，用类似( i i ) 和( i i i ) 的证明方法证之，在此不再赘述。结论( V ) 的证明：设巾= ( 妒，y ) 7 X ”( i ) 考虑垤Pr00)且裟s(而篙万，丁1+b(b-1)e-“b(b) ，不失一般陛，设7p ( 0 ) 、】+一1 k 2 7 抛一r”、“妒( O ) 2 ( O ) 。这时由( 3 ) 及( 4 ) 知( x ( ，) ，y (
13、f ) ) 7 在 0 ，r 上满足系统( 7 ) ，且( 8 )成立。设7 i 为O ( ，) 一6 ) ( y ( ，) 一6 ) 在 O ，。) 上的第一个零点，则0 ( r ) ，y ( r ) ) 7 在 0 ，z + f 】上满足系统( 7 ) ，且( 8 ) 对， 0 ，五+ f 成立。另一方面，由于妒( O ) y ( O ) ，所以，由y ( 瓦) ：b j 正；I n v ( ，0 2 故当f 【正，正+ f 】时，臁舞警- ( tI ，l _ y ( f ) = y ( 互) P”刨而y ( ，) = y ( 一) P 一“一1 b e 一P 。 1 ，y ( 正+ f
14、) = b P r 6 ，即，器盯r 6 V 川刊。( 盼川一埘= 器掂印 黜坛。6 ，所以( x ? ，y 7 。+ 。) 7 X 又螋。( 一笙：，1 1 等一盟旦 旦，y ( O )、1 + b ( b 一1 ) Pn1x ( r + f ) 一1b 一1 由结论( ) ( i i ) ，结论正确。情形2 ：z ( 一十r ) 6 由x ( 一) 2 爱罟6 6 ，知j 霉e ( ：，五十r ) 使得x ( ) = 6 ，即，娟弦= 6 茸= 川n 鬻由于对f 呱+ f ，f + r 】有x ( f f ) b 及y ( f r ) ( 1 ，6 】，所以由( 3 ) 及( 4 ) 知(
15、 x ( f ) ，y ( f ) ) 7 在【l + r ，+ r 】上满足系统( 1 5 ) ，故对f 【互+ L 霉十f 】，有x 0 ) = x ( 正+ f ) 一l i e 一7 ，一7 + 1 。一方面，由系统( 7 ) ，x ( ，) = x ( 霉) P 。“。”，对，隔，一+ f 】。注意到1 P ，所以y ( ，) e , - t - 1 。由引理2 1 1 ，有y ( f ) 蔓【_ y ( t ) 一1 e 巾一 1 + 1 6 ，o e1 1 y ( U J又注意到x ( 一) b ，所以存在e 正，f + r 1 使得x 陀1 ：b ，即x ( 正) P 一( 咖：6 j 元：z + I n 业 。1b因此，当r I T , ，】时， ( f ) ，y ( ，) ) 7 X 3 2 。从而由( 3 ) 、( 4 ) 得，v f 正+ 亢+ f 】， 裂譬姥麓， 【y ( ，) = y ( 7 i + r
