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1、中国科学技术大学博士学位论文G系统与到伪黎曼空间形式的可积浸入姓名：左达峰申请学位级别：博士专业：数学系应用数学指导教师：陈卿;程艺2003.4.1摘要本文尝试利用可积系统办法来研究到伪黎曼空间形式v ( c ) 中的可积浸入问题在第二章中，首先我们研究了伪黎曼空间形式 ( c ) 中常曲率类空( 类时) 子流形的C h e b y s h e v 坐标的存在性；然后把经典的B t i c k l u n d 定理推广到高维的伪黎曼空间形式醒! i 1 ( c ) 和? ”1 ( c ) 中作为一个例子， 利用几何的B i i c k l u n d 定理我们给出了广义的s i n e - L
2、 a p l a c e 方程和广义的 s i n h - L a p l a c e 方程之间的B i c k l u n d 变换及其置换公式在第三、四章中，利用G p , q 。系统。讨论了与之相关的伪黎曼空间形式中的可积性浸入，其中G P 。, q 。= o ( m + n ，P + q ) O ( m ，P ) o ( n ，q ) 首 先构造了G p , q 。系统的一个D r e s s i n g 作用，然后证明它对应于某些类空( 或类时) 子流形的R i b a c u o u r 变换特别，利用G 锚I I 系统和G p 州, 1 I I 系 统，我们分别讨论了舻，1 中的
3、类时等温曲面和R m , p 中的类空等温曲面的D a r b o u x 变换利用G P 。, q I 系统，在一定条件下研究了( 伪) 黎曼空间 形式到伪黎曼空间形式中的等距浸入在第五章中，利用两个例子来说明U K 系统与B i i c k l u a d 变换的 关系其一是G * h 一1 系统与H ；”1 ( 一1 ) 中的类时平坦子流形之间的 B i i c k l u n d 变换；其二是G 船系统与砩与1 ( 一1 ) 中的类空平坦子流形之间 的B 6 c k l u n d 变换在第六章中，首先借助三维M i n k o w s k i 空间R 2 ，1 的矩阵模型，研究了矗2
4、 t 1 中具有调和逆平均曲率的类空曲面和洛伦兹调和逆平均曲率类时曲面的可积性及其形变然后分别利用G L ( 4 ，R ) G L ( 2 ，R ) xG L ( 2 ，R ) 系统和G L ( 2 ，“) ( R + S U ( 1 ，1 ) ) 2 系统，讨论了R 2 t 1 中的类时和类空的 B o n n e t 曲面对的可积性，其中吖是分裂四元数的全体中国科学技术大学博士学位论文A b s t r a c tT h ea i mo ft h i sp a p e ri sa na t t e m p tt ou s et i l em e th o do fi n t e g r a
5、 b l es y s t e n l st os t u d yi n t e g r a b l ei m m e r s i o n so fp s e d u o R i e m a n n i a ns p a c ef o r l n s 畔( c ) f o re a c hC = 1 ，0e l 一1h iC h a p t e r2 ，w ef i r s ts t u d yt h ee x i s t e n c eo fC h e b y s h e vc o o r d i n a t e so ft i m e - l i k e( o rs p a c e l i
6、 k e ) s u b m a n i f o l d sw i t haC O I L S l a n ts e c t i o n a lc u r v a t u r ei ng f ( c ) A f l , e r w a r d s ，w eg e n e r a l i z et i l ec l a s s i c a lB h c k l u n dt h e o r o i f o rs 1 ) a c c l i k e ( o rt i m e l i k e ) s u b m a n i f o l d si n 孵! i 1 ( c ) a n d 研”1 (
7、c ) A sa ne x a n l p l e ，i nt h eC h e b y s h e vc o o r d i n a t e s ，w eu s et h eB a c k l u n dt h e o r e mt og i v eaB & c k l u n dt r a n s f o r m a t i o na n dap e r i n u t a b i l i t yf o r m u l ab e t w e e nt i mg e n e r a l i z e ds i n e - L a l l l a c ce q u a t i o na n dt
8、 h eg e n e r a l i z e ds i n h L a p l a c ee q u a t i o n I nC h a p t e r s3a n d4 ，w es t u d yt h er e l a t i o nb e t w e e nt h eG m P , q n ( o rI ，I I ) - s y s t e m sa n di n t e g r a b l ei m m e r s i o n so fp s e d u o R i e m a n n i a ns p a c ef o r m s ，w h e r eG P m , q n =
9、O ( m +n ，P 十q ) O ( m ，P ) Xo ( n ，g ) W ef i r s tc o n s t r u c tad r e s s i n ga c t i o no fas i m p l ee l e m e n t0 1 1t h es p a c eo fs o l u t i o n so ft h eG # 盘一s y s t e m sa n ds h o wt h a ti tg i v e sr i s et oR i b a u c o u rt r a n s f o r m a t i o n sf o rs p a c e l i k e
10、( o rt i m e l i k e ) s u b m a n i f o l d s B yu s i n gt h eG 纠一s y s t e mI Ia n dG 鬟l s y s t e mI I ，w eo b t a i nD a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n sf o rt i m e - l i k ei s o t h e r m i cs u r f a c e si l l 几p ，1a n ds p a c e - l i k ei s o t h e r m i cS U lf a c e si nR ，”r e s
11、 p e c t i v e l y B yu s i n gt h eG P m , q n s y s t e mI ，w es t u d ys o m ee x a m p l e so fi s o m e t r i ci m m e r s i o n so f ( p s e d u o - ) R i e m a n n i a ns p a c ef o r m si n t op s e d u o - R i e m a n n i a ns p a c ef o r m s I nc h a p t e r5 ，w ed e p i c tt h er e l a t
12、 i o nb e t w e e nB j c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n sa n dU K -s y s t e m sb yu s i n gt w oe x a m p l e s O n ei st ou s et l I eG 拦l , n - l - s y s t e mt og i v et h eB h c k l u n dt r a n s f o r m a t i o nf o rf i a tt i m e ，l i k en s u b m a u i f o l d si na n t i d eS i t t
13、e rs p a c e 日p _ 1 ( 一1 ) T h eo t h e ri st og i v et h eB S c k l u n dt r a n s f o r m a t i o no ft i l eG a u s s - - C o d a z z i R i c c ie q u a t i o n so ff i a ts p a c e l i k en s u b m a n i f o l d si n 丑：= 1 ( 一1 ) b yu s i n gt h eG 0 , 0 _ ns y s t e m I nC h a p t e r6 ，b yu s
14、i n gt h em a t r i xm o d e l so f3 - d i m e n s i o n a lM i n k o w s k is p a c eR 2 ”，f i r s tw es t u d yd e f o r m a t i o np r o p e r t i e sa n di n t e g r a b l i l i t i e so ns p a c e l i k es u r f a c e sw i t hah a r m o n i ci n v c r s ei F l e a nc u r v a t u r ea n dt i m e
15、 l i k cs u r f a c e sw i t haL o r e n t zh a r m o n i ci n v e r s em e a nC l l lv a t m e A f t e r w a r d s ，W Cs e tu pt h er e l a t i o nb e t w e e nt h eG L ( 4 ，R ) G L ( 2 ，R ) G L ( 2 ，R ) 一s y s t e ma n dat i m e - l i k eB o n n e tp a i rF i n a l l yt l yu s i n gt h eG L ( 2 ，丸
16、) ( R + XS U ( 1 ，1 ) ) 2 -s y s t e u l ，w ed e s c r i b et h ei n t e g r a b i l i t yo fas p a c e l i k eB o n n e tp a i r ，w h e r e 州i st h ea l g e b r a致谢本文是在陈卿和程艺两位教授的悉心指导下完成在这五年的时间里，两位导师给予了我极人的关怀与鼓励，给我全面讲授了非线性可积系统及其几何理论的知识，这是本文得以完成的坚实基础特别是他们的宽容与耐心I J ：我非常的感动，在此我表示最衷心的感谢在这里特别感谢李翊神教授和师兄贺劲松博士五年来对我的学习和生活上的关心与指导；同时他们用严谨、勤奋和执著的科研态度激励我努力学习，在此我表示最诚挚的谢意 另外还要感谢田畴教授、季孝达教授、刘太顺教授、日本的J u n i c h iI n o g u c h i
