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1、45第 2 章 激光器的工作原理目前有关激光器的理论已经发展得十分完善。本章将对激光器的工作原理进行详细介绍与讨论。首先，讨论激光器的主要组成部分光学谐振腔的结构及其稳定性，然后分析描述激光器工作过程的数学模型速率方程组，从这个模型出发讨论粒子数密度发生反转的条件，工作过程中增益介质的饱和现象以及激光工作的阈值。希望通过本章的学习，能使读者对激光器工作过程的物理图像有比较清晰的理解，也为学习后面的章节作一些必要的准备。2.1 光学谐振腔结构与稳定性激光是在光学谐振腔中产生的。上一章已经指出谐振腔对激光的形成和激光束的特性起重要的作用，它的主要功能之一是使光在腔内来回反射多次以增长激活介质作用的
2、工作长度，提高腔内的光能密度。如图（1-21）所示的两块平面镜就可以使与平面垂直的光线在腔内来回反射任意多次而不会投射到平面镜的通光口径之外。显而易见的是，不垂直于反射镜表面的傍轴光线经过有限次的反射就会投射到平面镜的通光口径之外，而使得激活介质作用的工作长度只得到很有限的增长。所以，光线能够在谐振腔中反射的次数与其结构密切相关。能够使腔中任一束傍轴光线经过任意多次往返传播而不逸出腔外的谐振腔能够使激光器稳定地发出激光，这种谐振腔叫做稳定腔，反之称为不稳定腔。本节讨论光学谐振腔的结构与稳定性的关系。2.1.1 共轴球面谐振腔的稳定性条件光学谐振腔都是由相隔一定距离的两块反射镜组成的。无论是平面
3、镜还是球面镜，无论是凸面镜还是凹面镜，都可以用“共轴球面”的模型来表示。因为只要把两个反射镜的球心连线作为光轴，整个系统总是轴对称的，两个反射面可以看成是“共轴球面” 。平面镜是半径为无穷大的球面镜。如果其中一块是平面镜，可以用通过另一块球面镜球心与平面镜垂直的直线作为光轴。平行平面腔的光轴则可以是与平面镜垂直的任一直线。当然两个平面镜不平行不能产生谐振，不在讨论之列。46图（2-1）共轴球面腔结构示意图如图（2-1）所示，共轴球面腔的结构可以用三个参数来表示：两个球面反射镜的曲率半径 R1、R 2，和腔长即与光轴相交的反射镜面上的两个点之间的距离 L。如果规定凹面镜的曲率半径为正，凸面镜的曲
4、率半径为负，可以证明（参阅激光原理第二章第 2 节，P29，周炳琨等编，国防工业出版社，1995） ，共轴球面腔的稳定性条件是（2-1）1102RL上式左边成立的条件等价于 和 同时为正或同时为负，这就要求两镜面的1RL2曲率半径为正时必须同时大于腔长或同时小于腔长。如果镜面的曲率半径同时为负，尽管上式左边成立，右边的不等式却不成立。如果镜面的曲率半径一正一负，则需要具体讨论。2.1.2 共轴球面腔的稳定图及其分类为了直观起见,常用稳定图来表示共轴球面腔的稳定条件。首先定义两个参数 1122LgR共轴球面谐振腔的稳定性条件（2-1）式可改写为（2-2 ）102g47即当（2-2）式成立时为稳定
5、腔；当（2-3 ）10221 gg或时为非稳腔；当（2-4 ）10221 gg或时为临界腔。以 gl 为横轴，g 2 为纵轴建立直角坐标系，画出 g1g21 的两条双曲线。由 gl、g 2 轴和g1g21 的两条双曲线可以区分出（2-2）式(2-4 ）式所限定的区域，如图（ 2-2）所示。图中没有斜线的部分是谐振腔的稳定工作区，其中包括坐标原点。图中画有斜线的阴影区为不稳定区，在稳定区和非稳区的边界上是临界区。对工作在临界区的腔，只有某些特定的光线才能在腔内往返而不逸出腔外。图（2-2） 稳定腔图利用稳定条件可将球面腔进一步分类如下：1稳定腔48(1)双凹稳定腔 由两个凹面镜组成。其中， R1
6、L，R 2L 的腔对应图中 l 区；R1L ，R 2L，及 R1+R2L 的腔对应图中 2、3 和 4 区。(2)平凹稳定腔 由一个平面镜和一个凹面镜组成。其中，凹面镜 RL，它对应图中AC、AD 段。(3)凹凸稳定腔 由一个凹面镜和一个凸面镜组成。满足条件R10，R 20，R 1R 2，R 1LR 1R 2；或 R2R 1L 的腔对应图中 5 区。R10，R 20，R 2R 1，R 2LR 2R 1；或 R1R 2L 的腔对应图中 6 区。(4)共焦腔 R1R 2L，因而 g1=0，g 2=0，它对应图中的坐标原点。因为任意傍轴光线均可在共焦腔内无限往返而不逸出腔外，所以它是一种稳定腔。但从
7、稳区图上看，原点邻近有非稳区，所以说它是一种很特殊的稳定腔。(5)半共焦腔 由一个平面镜和一个 R=2L 的凹面镜组成的腔。它对应图中 E 和 F 点。2临界腔(1)平行平面腔 因 g1g 21，它对应图中的 A 点。只有与腔轴平行的光线才能在腔内往返而不逸出腔外。(2)共心腔 满足条件 R2R 2L 的腔称为共心腔。如果 R10，R 20，且R1R 2L ，公共中心在腔内，称为实共心腔。这时，g l0，g 20，g 1g21，它对应图中第三象限的 g1g21 的双曲线。特别，在 R1R 2RL2，g 1g 21 时，为对称共心腔，它对应图中 B 点。如果 R1 和 R2 异号，且 R2R 2
8、L，公共中心在腔外，称为虚共心腔。由于 g10，g 20，g 1g21，它对应图中第一象限的 g1g21 的双曲线。(3)半共心腔 由一个平面镜和一个凹面镜组成。凹面镜半径 RL，因而，g11，g 20，它对应图中 C 点和 D 点。实共心腔内有一个光束会聚点，会引起工作物质的破坏；半共心腔的光束会聚点在平面镜上，会引起反射镜的破坏。因此，有实际价值的临界腔只有平行平面腔和虚共心腔。3非稳腔对应图中阴影部分的光学谐振腔都是非稳腔。非稳腔，因其对光的几何损耗大，不宜用于中小功率的激光器。但对于增益系数 G 大的固体激光器，也可用非稳定腔产生激光，其优点是可以连续地改变输出光的功率，在某些特殊情况
9、下能使光的准直性、均匀性比较好。区分稳定腔与非稳腔在制造和使用激光器时有很重要的实际意义，由于在稳定腔内傍49轴光线能往返传播任意多次而不逸出腔外，因此这种腔对光的几何损耗（指因反射而引起的损耗）极小，一般中小功率的气体激光器(由于增益系数 G 小)常用稳定腔，它的优点是容易产生激光。以下将会看到，整个激光稳定腔的模式理论是建立在对称共焦腔的基础上的，因此，对称共焦腔是最重要和最有代表性的一种稳定腔。213 稳定图的应用有了稳定图，选取光学谐振腔的腔长或反射镜的曲率半径就方便多了，现举例如下：（1）要制作一个腔长为 L 的对称稳定腔，反射镜曲率半径的取值范围如何确定？在稳定图中，对称腔对应于区
10、域 1、2 中连接 A、B 两点的线段 AB，如图（2-2） 。由AB 线段所对应的坐标值范围立即就可找到曲率半径的范围是：L/2 R ，最大曲率半径可以取 R1R 2 ，这是平行平面腔，最小取 R1R 2L/2，即共心腔。（2）给定稳定腔的一块反射镜，要选配另一块反射镜的曲率半径，其取值范围如何确定? 根据已有反射镜的数据，例如 R12L，求出 g1l L/R10.5，在稳定图 g1 轴上找出相应的 C 点，如图(2-3a)，过 C 点作一直线平行于 g2 轴，此直线落在稳定区域内的线段CD 就是所要求的另一块反射镜曲率半径的取值范围，由 CD 上任一点所对应的 R2 值都能与已有的反射镜配
11、成稳定腔，R 2 可用凹面镜，也可用凸面镜，若用凹面镜，则取值范围为：L R2 ，若用凸面镜，取值范围为 R 2 L。（3）如果已有两块反射镜，曲率半径分别为 R1、R 2，欲用它们组成稳定腔，腔长范围如何确定？由已知的曲率半径求出 kR 2/R1，代入 g1、g 2 的表达式中，找出 g1、g 2 的方程，从而找出腔长的取值范围。例如，k2，有 2 1121Lkg=1=(+)=0.5+.k这是斜率为 0.5、截距为 0.5 的直线方程，此直线落在稳定区中的线段为 AE、DF，如图(2-3b)。图 23（b）中的线段中的 AE 线段对应的腔长取值范围为 0L R1，图 23（b）中的线段 DF
12、 对应的腔长取值范围为 2R1 L 3R1。50图（2-3a ） 稳定图示解法一 图（2-3b）稳定图示解法二2.2 速率方程组与粒子数反转有了光学谐振腔，在其中充以激光工作物质，并在外界激励源作用下，将下能级的粒子抽运到上能级,使激光上下能级之间产生粒子数反转，激光器就可以工作。1.5 节对这一工作过程作了定性的分析，本节建立一种定量的分析方法。首先讨论激活介质中抽运、自发辐射、受激辐射与受激吸收同时发生的物理模型，建立描述这个物理过程的速率方程组，然后再根据速率方程组讨论介质中形成粒子数密度反转的条件以及在粒子数密度反转状态下各参量之间的关系。2.2.1 三能级系统和四能级系统实现上下能级
13、之间粒子数反转产生激光的绝大多数物理机制可以归结为两种，即所谓三能级系统和四能级系统。三能级系统中参与激光产生过程的有三个能级，如 1960 年发明的第一台红宝石激光器就是用的三能级系统（图（2-4a） ） 。产生激光的下能级 E1 是基态能级，激光的上能级 E2 是亚稳态能级，E 3 为抽运高能级。E 3 实际上常常不是单一的能级，而是代表比 E2 高的一些激发态能级。在激励源作用下，下能级的粒子被抽运到 E3 能级。E 3 能级上粒子寿命很短，会通过非辐射跃迁转移到亚稳态的激光上能级 E2 上。处于能级 E2 上的粒子比较稳定，寿命较长。当下能级 E1 的粒子多于一半被抽运到上能级 E2
14、后，就在 E2、E 1 之间产生粒子数反转分布。三能级系统的主要特征是激光的下能级为基态，通常情况下，基态是充满粒子的。而且在激光的发光过程中，下能级的粒子数一直保有着相当的数量。51四能级系统（图（2-4b） ）中产生激光的下能级 E1 不是基态能级，粒子抽运是从比下能级 E1 更低的基态能级 E0 上进行的。粒子抽运到吸收带 E3 上以后，同样由于非辐射跃迁转移到亚稳态的激光上能级 E2 上。激光的下能级 E1 是个激发态能级，在常温下基本是空的，粒子在能级 E1 的寿命极短，很容易在 E2、E 1 之间产生粒子数反转分布。因此，四能级系统所需要的激励能量要比三能级系统小得多，产生激光比三
15、能级系统容易得多。常用的氦氖激光器和掺钕钇铝石榴石(Nd:YAG) 激光器的发光机制就是四能级系统.（图（2-4a ） ）三能级系统示意图 （图（2-4b） ）四能级系统示意图2.2.2 速率方程组考虑到大多数激光工作物质是四能级系统，以四能级系统为例来建立速率方程组，三能级系统可以用同样的方法处理。图(2-5)为简化了的四能级系统的能级图。E 2、E 1 分别为激光上、下能级，E 0 为基态。设上、下能级的粒子数密度分别为 n2、n 1，基态的粒子数密度为 n0，n 为单位体积内增益介质的总粒子数，在谐振腔中传播的单色光能密度为 。当激励能源开始工作后，它以速率 R2 把粒子由基态 E0 抽运到 E2 能级上，使 E2 能级上的粒子数密度以 R2 速率增加。同时它也以速率 R1 把粒子由基态 E0 抽运到 E1 能级上。对 E1 能级的抽运是不希望却又无法完全避免的。由于激发态粒子的寿命有限，E 2 能级上的粒子将通过受激辐射、自发辐射等方式不断地离开，使 E2 能级上的粒子数密度减少。考虑到介质的线型函数远比传播着的光能密52度为 的单色受激辐射光的线宽要宽，E 2 能级上的粒子数密度的减小速率可表示为表示为（ ） 。同时 E1 能级上的粒子通过吸收跃迁又使 E2 能级221()nABfv210A上的粒子数密度 n
