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1、1华东理工大学 概率论与数理统计作业簿（第六册）学院_专业_班级_ 学号_姓名_任课教师_第十六次作业第十六次作业一一 计算题：计算题：1 1. . 一批产品的不合格率为 0.02，现从中任取 40 只进行检查，若发现两只或两 只以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法求拒收的概率： （1）用二 项分别作精确计算； （2）用泊松分布作近似计算。解解: : 设不合格得产品数为.(1)40139 40(2)1(0)(1)1 (0.98)(0.02)(0.98)0.1905PPPC .(2)利用二项分布的泊松定理近似,得40 0.020.8np,(2)1(0)(1)PPP 0.80.810.80.
2、1912ee.2.2.已知一本 300 页的书中每页印刷错误的个数服从普阿松分布(0.2)P， 求这本书印刷错误总数不多于 70 个的概率。解解: : 设i是第i页印刷错误的个数，已知i)2 . 0(P，1, 2,300i ，它们相互独立，由普阿松分布的可加性可知，300 页书的错误总数 3001ii)60(P。直接用普阿松分布计算，则有7070 6000600700.909813!kkkPPkek。下面用独立同分布中心极限定理近似计算。因为i)2 . 0(P，300, 2, 1i， 独立同分布，iE2 . 0，iD2 . 0，300, 2, 1i，根据独立同分布中心极限定理，可认为 3001
3、ii近似服从正态分布),(2nnN,其中602 . 0300inEn,602 . 03002inDn。2所以700P)60600()606070()6060()6010()75. 7()29. 1 (09015. 09015. 0。3.3.作加法时，对每个加数四舍五入取整，各个加数的取整误差可以认为是相互独立的，都服从)5 . 0,5 . 0(上的均匀分布。现在有 1200 个数相加，问取整误差总和的绝对值超过 12 的概率是多少？解解: :设各个加数的取整误差为i（1200, 2, 1i） 。因为i)5 . 0,5 . 0(U， 所以025 . 05 . 0iE，121 12)5 . 05
4、. 0(2 2iD（1200, 2, 1i） 。设取整误差的总和为 nii 1，因为n1200数值很大，由定理知，这时近似有 nii 1),(2nnN， 其中，001200n，10012112002n。所以，取整误差总和的绝对值超过 12 的概率为12P12121P )12()12(1 22nnnn )100012()100012(1)2 . 1()2 . 1 (1)2 . 1 (1 22302. 0)8849. 01 (2。4.4.设2021,是相互独立的随机变量序列，具有相同的概率密度其他0102)(xxx。令2021，用中心极限定理求10 P的近似值。解解: :因为i（20, 2, 1i
5、）的概率密度为 其他0102)(xxx，所以32d2d)(102xxxxxEi，3181 94 21)32(d2)()(210322xxEEDiii。由中心极限定理可知，这时近似有 201ii),(2nnN，其中，20n，340 3220inEn，910 181202inDn。所以，10P )91034010 ()10( 2 nn)16. 3(1)16. 3(008. 0。5.5.设有 30 个相互独立的电子器件1230,D DD，它们的使用情况如下：1D 损坏，2D 立即使用；2D 损坏，3D 立即使用， 。设器件iD1,2,30i 的寿命服从参数为0.1（1/小时）的指数分布，令T 为 3
6、0 个器件使用的总计时间。 问T 超过 350 小时的概率是多少？解解: :设i是第i个电子器件的寿命，已知i) 1 . 0(E，30, 2, 1i，它们独立同分布，101 . 0 11iE，1001 . 0 1122iD，30, 2, 1i。根据独立同分布中心极限定理，可认为 301iiT近似服从正态分布),(2nnN，其中3001030inEn,3000100302inDn。所以350TP3501TP)3000300350(1)300050(1)913. 0(11814. 08186. 01。6.6.某种福利彩票的奖金额由摇奖决定，其分布列为若一年中要开出 300 个奖，问需要准备多少奖金
7、总额，才有 95%的把握，保 证能够发放奖金？解解: :设需要资金总额为 b,设i表示第 i 个奖金额,其中1,2,300i ,其期望和4方 差 分 别 为29,764iiED, 利 用 独 立 分 布 中 心 极 限 定 理 近 似 , 得3001()0.95i iPb,300 290.95300 764b, 查 表 得300 291.6449300 764b, 即9487.5b .7.7.某单位设置一台电话总机，共有 200 个分机。设每个分机在任一时刻要使用 外线通话的概率为 5%，各个分机使用外线与否是相互独立的，该单位需要多少 外线，才能以 90%的概率保证各个分机通话时有足够的外线
8、可供使用？解解: :设是要使用外线的分机数，),(pnb，200n，05. 0p，95. 01pq。 近 似 有),(npqnpN， 其 中1005. 0200np，5 . 995. 010npq。设k是需要设置的外线数。根据题意，各个分机通话时有足够的外线可供使用，即k的概率要大于 90，即要有kP9 . 0)5 . 910(k。查表可得2816. 15 . 910k， 解得5 . 92816. 110k95.13， 大于它的最小整数是14，所以，需要设置14条外线。第十七次作业第十七次作业一计算题：一计算题：1.1.一复杂系统，由多个相互独立作用的部件组成，在运行期间，每个部件损坏 的概率
9、都是0.1，为了使整个系统可靠地工作，必须至少有 88%的部件起作 用。 （1）已知系统中共有 900 个部件，求整个系统的可靠性（即整个系统能可靠地 工作的概率） 。 （2） 为了使整个系统的可靠性达到0.99， 整个系统至少需要由多少个部件组成？解解: : 设是起作用的部件数 ，),(pnb， 当n比较大时， 近似有),(npqnpN。（1）900n，9 . 0p，1 . 01pq,810np，81npq。整个系统要能可靠地工作，至少要有792%88900%88n个部件起作用， 所以，这时系统能可靠地工作的概率等于5900792P)81810792()81810900()2()10(977
10、2. 0.（2）设至少需要n个部件，nnp9 . 0，nnpq09. 0。这时系统能可靠地工作的概率等于88. 0nnP)09. 09 . 088. 0()09. 09 . 0(nnnnnn=)15()3(nn)15(1n)15(n（ 因为本题中n很大，3n的值远远超过了4，所以可以认为)3(n1） 。要99. 0)15(n，查表可得3263. 215n，即2)153263. 2(n1218，即如果整个系统可靠性要达到99. 0，它至少需要由1218个部件组成。2.2.保险公司接受多种项目的保险，其中有一项是老年人寿保险，若一年中有 100000 人参加这项保险，每人每年需付保险费 20 元，
11、在此类保险者里，每个人 死亡的概率是0.002， 死亡后家属立即向保险公司领得 8000 元。 若不计保险公司 支出的管理费，试求： （1）保险公司在此项保险中亏本的概率； （2）保险公司在此项保险中获益 80000 元以上的概率。解解： 设是死亡的人数，),(pnb，100000n，002. 0p，998. 01pq。近似有),(npqnpN，200002. 0100000np，6 .199998. 0200npq。保险公司的净获益为800010000020。（1）当8000100000200，即250时，保险公司在此项保险中亏本，其概率为250 P)6 .199200250(1)539.
12、3(10002. 0.（2）若要80001000002080000，必须有240，这时，概率为240 P)6 .199200240()831. 2(9977. 0。63 3. .抽样检查产品质量时，如果发现次品不少于 10 个，则认为这批产品不能接 受，应该检查多少个产品，可使次品率为 10%的一批产品不被接受的概率达到 0.9。解解: :设要检查 n 个产品，是其中的次品数，),(pnb，1 . 0p，9 . 01pq。近似有),(npqnpN，nnp1 . 0，nnnpq09. 09 . 01 . 0。当10时这批产品不被接受，所以，产品不被接受的概率为10nP)09. 01 . 010(
13、)09. 01 . 0(nnnnn)09. 01 . 010()3(nnn)09. 01 . 010(1nn)09. 0101 . 0(nn （ 因为本题中n很大，n3的值远远超过了4， 所以可以认为)3(n1） 。现在要10nP)09. 0101 . 0(nn 9 . 0，查表可得2816. 109. 0101 . 0nn，即有01038448. 01 . 0nn。这是一个关于n 的一元二次不等式方程，解这个方程，得到1055.12n或2607. 8n，但n 不可能小于负值，所以只有1055.12n，平方后得到2)1055.12(n543.146，大于543.146的最小整数是147，即只要
14、检查147个产品即可达到要求。4 4. .分别用切比雪夫不等式和德莫哇佛-拉普拉斯极限定理确定：当掷一枚硬币 时， 需要掷多少次， 才能保证出现正面的概率在4 . 06 . 0之间的概率不少于 90%。解解设要掷n次硬币，是掷出的正面数，),(pnb，5 . 0p，5 . 01pq，nnpE5 . 0，nnnpqD25. 05 . 05 . 0。（1）用切比雪夫不等式估计。6 . 04 . 0nP1 . 05 . 0nP1 . 05 . 0nnP1 . 0nEP2)1 . 0(1nDnnn25101. 025. 012。7现在要6 . 04 . 0nP9 . 0251n，即要有2509 . 01 25n。用切比雪夫不等式估计，需要掷250次。
