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1、2.5 传播子和Feynman路径积分一、波动力学的传播子时间无关的Haniltonian量体系的时间演化用与H对易 的观测量的本征矢展开初态可方便求得：或其中，a0iE (t t )/0 000 aiH(t t )/|,t ;te|,t|aa|,te= =将上述表达式改写成：即这里称为传播子。传播子与初态无关，但依赖于势。一旦 能量的本征函数和本征值已知，则传播子可构造出。000()/ 00 ()/3 0 ()/3 0 “|, ;“|,“|,“|( , )aaaiEt taiEt taiEt taxt txaated xxaaxxted xxaaxx t e=)t , x()t , x; t
2、 , “x(K xd) t , “x(003=0()/ 0 ( “, ; , )“|aiEt taK xt x txaaxe=讨论：上式表明，若初态已知，则波函数的时间演化 便完全由K确定。Schrdinger波动力学是纯粹 的因果理论。受势作用的波函数的时间变化，只要系统不受 扰动，便与经典力学中任何量一样完全确定。不同处：当测量介入时，波函数将转化为所测 观测量的本征函数之一。该转化或“投影”因 观测量有多个本征函数而呈概率性，但统计上 有确定的几率。二、传播子的基本性质1. 传播子满足含时Schrdinger波方程 （,tt0为变量，不变）。2. （即）这两性质说明传播子可看作是t0时处
3、于的粒子在t 时刻的波函数（）对初态分布于一定空间的情况，需要做的只是将相应 的波函数乘以传播子并对空间积分。这种方式相当于 对不同位置的贡献求和，与静电学求电势相似（但有 “相位”）：0( “, ; , )K xt x t“x x,t0“|xx= / x ipe21 p| x= ()0()/ 0“, ; “|iH t tK xt x txex= a|it/= () Zexpa aE=G(t)的Laplace-Fourier变换( )( )()/ 00/exp/iEtiEt a aG EidtG t eidtiE te = 被积函数振荡，积分不易求。令EE+i,且0，则可见体系的完整能谱都表现
4、在复E平面的的极点。 研究物理体系的能谱，只要研究的解析性质( )()() ()()/00000/ lim/lim11limax i EE ttaaaaaaaie dx G Eidteei EEEEiEE =+(E)G(E)G五、传播子作为跃迁振幅波函数是特定位置左矢与随时间变化右态矢的内积， 也可被认为是Heisenberg图象中反向时间演化的位置 左矢与不随时间变化的状态右矢之乘积。类似地，传 播子可写为这里和是海森堡图象中位置算符的本 征左矢和右矢。因是从到态的跃迁振幅，故是t0时处于的粒子在t时处于的 几率振幅。或者说是由时空点到 另一时空点的振幅。()()00/ 0 / 0 K x“
5、,t;x,t“| | “| |“, | ,aiEt taiHtiHtaxaa xexeaa exx t x t=0t , a|t , b| = “|“/x tx tdxdxxtx tx tx tx tx t ()dtttt ,x|tx+= t ,x|tx七、作为路径求和的路径积分为简单记，讨论一维，并记为将t1至tN分为N-1等分， 则为讨论该表达式的含义， 可看如图所示的时空平面：时空的初始与终点固定， 由初始到终点有不同的可 能路径。对给定一路径， 我们要计算其跃迁振幅， 然后对各种可能路径求和，这与经典力学是有差别的。 在经典力学中粒子有确定的轨迹，其路径对应于哈密 顿原理所给出的路径（
6、即作用量的变分为零）()repeated N timesxnx1Ntt1; t; tt1N =1 11211111222 21 12|N NNN NNNNNNNNx txtdxdxdx dx x txtxtxtx txt =八、经典力学与量子力学路径的差别经典力学中xt-平面有一确定的路径与粒子运动联系， 而量子力学中所有可能路径都起作用，其中一些路径 与经典路径毫无相似之处。经典力学的作用量或主函数为L是x与的函数，S要在路径确定后才有定义对每小段路径其跃迁几率为初点到终点路径的 总跃迁几率为所有路径对的贡献：若，则相邻径的贡献倾向于抵消。对最小作用量路径（经典路径），则相邻路径的S差 别是
7、二阶的，因而可相干增强。所以时挑出的 轨道为经典轨道。()()1,1,nnttS n ndtL x x =()/1n,niSex ()()()() /1 ,NiS1n ,nS/N /1n ,niSeee 2n11NN2N= = 11NNtx|tx()/i ,NiS 11NNetx|tx所有路径00九、Feynman路径积分公式1. 无限小时间间隔的一段路径， w(t)只与t而与V(x)无关的权重因子。由于是无限小时间间隔，路径可看作直线，因而对自由粒子，已知。由于W(t)与V(x) 无关，用自由粒子情况算出：于是，对，有()()/1n ,niS 1n1nnnetW1txtx =()( )()1
8、22 11,1222nntnnnntxxxxmxmS n ndtV xtVt+= ()()()2 1112 1111nnnnnnim xxt n nnnttttnnx txtexxwt =()ti2m tw1 =0t () =1n, niSexpti2mtxtx1nnnn1n1nnntxtx2. 对有限时间间隔的路径其中上式即为Feynman路径积分的表达式。() ()( )()111 /2 ,1 / 1 1122 22,explimNNNNiS n n N NNN Nnxtxtmx txtdxdxdxeitL x xx tidtD = =( )()11 /21222limNNxNNxNmD
9、x tdxdxdxit 十、Feynman路径积分与薛定谔方程或从而对一阶t项有()1 1111111 12 1 1111 1exp22N NNN NNNNNNN NNNx txtdxx txtxtxtxxmimiV tdxxtxtitt =()2 1 11 1exp/ 2,2miV txtt xtdimtxt xtit+ = 21 11 1221 11 12exp22212mimxt xttxt xtdtittiV txt xtxt xtx+=+3/221 11 11 121 2222miixt xtxt xtV xt xttimx= 所以可见Feynman路径积分的表达式与 Schrdinger波动方程的传播子一致。Feynman路径积分表达式复杂，对普通量子力 学问题的应用并不方便，但在量子场论和统计 力学等领域中很有用。221 11 11 122ixt xtxt xtV xt xttm x= +11txxt习题：第二章30、31
