应用统计方法讲义ch1

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1、100.10.20.30.40.5-4-3-2-101234应用统计方法中国石油大学统计系王清河中国石油大学统计系王清河应用统计方法简介应用统计方法简介应用统计方法应用统计方法是一个应用非常广泛 的数学分支，它以概率论作为理论基础 。它的任务是：是一个应用非常广泛 的数学分支，它以概率论作为理论基础 。它的任务是：研究如何用有效地方法 去搜集、整理和分析带有随机性影响的 数据，并对所关心的问题作出推断和预 测，直接为决策行动提供依据和建议。研究如何用有效地方法 去搜集、整理和分析带有随机性影响的 数据，并对所关心的问题作出推断和预 测，直接为决策行动提供依据和建议。 凡是有大量数据出现的地方都

2、要用到数 理统计。凡是有大量数据出现的地方都要用到数 理统计。应 用 前 景应 用 前 景应用统计方法应用统计方法在质量管理、计量经济 学、计量心理学、保险数学方面起着重要 的作用。数理统计已渗透于工业统计、农 业统计、水文统计、统计医学、统计力学、 统计物理学、统计化学、统计教育学、统 计体育学、统计心理学等许多领域。气象 预报、产量预报、地震预报、石油勘探开 发、可靠性工程等凡是有数据需要处理的 地方，都离不开概率统计。在质量管理、计量经济 学、计量心理学、保险数学方面起着重要 的作用。数理统计已渗透于工业统计、农 业统计、水文统计、统计医学、统计力学、 统计物理学、统计化学、统计教育学、

3、统 计体育学、统计心理学等许多领域。气象 预报、产量预报、地震预报、石油勘探开 发、可靠性工程等凡是有数据需要处理的 地方，都离不开概率统计。因此应用统计 方法作为一门应用数学课程是非常重要的。因此应用统计 方法作为一门应用数学课程是非常重要的。Prospect使用教材及参考书使用教材及参考书教材教材：应用统计方法研究生系列教 材，常兆光、王清河编著。应用统计方法研究生系列教 材，常兆光、王清河编著。参考书参考书：1.应用数理统计武汉水利 电力大学出版社，朱勇华等编。应用数理统计武汉水利 电力大学出版社，朱勇华等编。2. Applied Multivariate Statistical Ana

4、lysis (5th Ed),”应用多元统计分析应用多元统计分析“. Richard A.Johnson Dead W.Wichern.3.实用多元统计分析方开泰编著实用多元统计分析方开泰编著预 备 知 识预 备 知 识随机事件与概率随机变量及其分布随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理随机事件与概率随机变量及其分布随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统 计 方 法 介 绍统 计 方 法 介 绍CH2 CH2 数理统计初步数理统计初步CH4 方 差 分 析CH6 判 别 分 析CH7 聚 类 分 析CH4 方 差 分 析CH6 判 别 分 析CH7 聚 类 分 析CH3 回 归 分 析C

5、H5 试 验 设 计CH3 回 归 分 析CH5 试 验 设 计21.1随机事件与概率随机事件与概率Random experiments （1）试验可以在相同条件下重复进行；（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，但能 事先明确试验的所有可能结果；（2）每次试验的可能结果不止一个，但能 事先明确试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前，不能确定哪一个 结果会出现。（3）进行一次试验之前，不能确定哪一个 结果会出现。具有上述三个特征的试验叫做随机试 验。简称为试验，用记号具有上述三个特征的试验叫做随机试 验。简称为试验，用记号E表示。表示。 Random even

6、ts 随机试验中的每一个可能结果称为随机 事件随机试验中的每一个可能结果称为随机 事件（简称为事件），通常用大写字母（简称为事件），通常用大写字母 CBA，等表示。等表示。基本事件：基本事件：不可能再分的事件；不可能再分的事件； 事 件 分 类事 件 分 类复合事件：复合事件：由基本事件复合而成的事件。由基本事件复合而成的事件。必然事件:必然事件:在每次试验中,一定发生的 事件,记作在每次试验中,一定发生的 事件,记作。 不可能事件:不可能事件:一定不发生的事件,记作一定不发生的事件,记作。把随机试验的所有基本事件组成的集合称 为样本空间，把随机试验的所有基本事件组成的集合称 为样本空间，Sa

7、mple Space 常用常用来记。来记。 其中基本事件也称为样本点。其中基本事件也称为样本点。例 1-1 例 1-1 记录某电话交换台在一分钟内收到 的呼叫次数，写出样本空间记录某电话交换台在一分钟内收到 的呼叫次数，写出样本空间。解： 解：例 1-2例 1-2 在一批灯泡中任取一只测其寿命， 样本空间为在一批灯泡中任取一只测其寿命， 样本空间为= =ttBP，则称 ，则称 )()()|(BPABPBAP= （1-8） 为事件（1-8） 为事件B发生的条件下发生的条件下A发生的条件概率。发生的条件概率。 Conditional ProbabilityMultiplication Formul

8、a 推广：推广：设设nAAA，L21为为n个事件，个事件， 0)(121iAAAPL, ,ni，L32=，则，则0)()|()()(=BPBAPBPABP， （1-9） （1-9） 0)()|()()(=APABPAPABP， （1-10） （1-10）)|()()(12121AAPAPAAAPn=L )|()|(121213nnAAAAPAAAPLL （1-11） （1-11）定理 1-1定理 1-1 设 设nAAA，L21为两两互斥事件， 且为两两互斥事件， 且= =UniiA 1，0)(iAP， （， （ni，L21=） 则） 则A有有 =niiiAAPAPAP 1)|()()( （1-

9、12） （1-12） UUniiniiAAAAAA 11=由由nAAA,21L，两两互斥两两互斥nAAAAAA,21L，也两两互斥，也两两互斥，Total Probability Formula定理 1-1定理 1-1 设 设nAAA，L21为两两互斥事件， 且为两两互斥事件， 且= =UniiA 1，0)(iAP， （， （ni，L21=） 则） 则A有有 =niiiAAPAPAP 1)|()()( （1-12） （1-12） Independence of Event )|()(BAPAP定义 1-7定义 1-7 设设BA、两个事件，如果 两个事件，如果 )()()(APBPABP= 则称

10、则称BA、为相互独立事件。为相互独立事件。 易证，若事件 易证，若事件A与事件与事件B相互独立，则 （1）相互独立，则 （1）BA与、BA与、BA与也相互独立； 也相互独立； （2） （2）)|()()|()(ABPBPBAPAP=，。 4定义 1-8定义 1-8 设 设nAAAL，21为为n个事件，若对任意 的个事件，若对任意 的k)1 (nk =0001)(xxexFx，若随机变量 若随机变量X的概率密度 的概率密度 =000)(xxexfx，其中其中0为常数，则称为常数，则称X服从参数为服从参数为的指数 分布。的指数 分布。 （2）指数分布 （2）指数分布Exponential Dist

11、ribution （3）正态分布（3）正态分布若随机变量 若随机变量X的分布密度为 的分布密度为 2 2)( 2121)( =x exf )(+，为常数，则称为常数，则称X服从参数为服从参数为， 的正态分布或高斯分布，记为的正态分布或高斯分布，记为)(2，NX。 显然满足： 显然满足： 01 0)(xf （ （nonnegativity） ） 02 1)(=+ dxxf （ （normality） ） Normal Distribution 6N(1,4)00.050.10.150.20.25-5-4-3-2-101234567xf(x)(xf及其图形有如下性质：及其图形有如下性质：01 )(

12、xf的图形关于的图形关于=x对称；对称；02 当 当=x时，时，21)(=f为最大值；为最大值；)(xf o + x 03 )(xf以以x轴为渐近线，轴为渐近线，=x处存在处存在 拐点，其分布函数为拐点，其分布函数为 =xt dtexF2 2)( 2121)( )(+),0(22 ) 1(k时，即函数时，即函数bkxy+=为单调增函数时，为单调增函数时，)(kbyXPyFY=1kbyXP=)(1kbyFX=从而 从而 )(1)()(kbyfkyFyfXYY=综上两种情况，无论综上两种情况，无论0k或或0 1 20001 21 2 此时称此时称Y服从自由度为 1 的服从自由度为 1 的2分布。分

13、布。 11两个随机变量函数的分布两个随机变量函数的分布 ),(YX为二维为二维vr.，),(yxgz =为连续函数，为连续函数，则称 则称),(YXgZ =为为),(YX的函数。的函数。Z的分布函数为的分布函数为),()(zYXgPzZPzFZ 0有有P X 22或 或 P X （， ， ，；）0120L均匀分布f xbaaxb( ) = 10，其他ab+ 21 122()ba正态分布f xex( )()=121222() ，0 00()01 1213解：解：EX*= =EXEX()()= 10*DX= =)(1)(2=XDXD2 2)(1=XEXE11 2=DX例如 已知随机变量 例如 已知

14、随机变量X的均值为的均值为EX =，标准差为，标准差为D X() =。试求随机变量。试求随机变量XX*= （称为标准化随机变量）的均值与方差。 （称为标准化随机变量）的均值与方差。 定义 1-22 定义 1-22 设设X与与Y是两个随机变量，若是两个随机变量，若 )(EYYEXXE存在，则称其为随机变量存在，则称其为随机变量X与与 Y的的协方差，记为协方差，记为)(CovYX，即 ，即 )(CovYX， = =)(EYYEXXE （1-77） （1-77）称 称 DYDXYX XY),(Cov= （1-78）为（1-78）为X与与Y的相关系数或标准协方差。 的相关系数或标准协方差。 相关系数与

15、相关阵相关系数与相关阵由前讨论知 由前讨论知 )(CovYX， EXEYEXY = （1-79） （1-79） 且易证下面的等式 且易证下面的等式 DYDXYXD+=+)(+2+2)(CovYX， （1-80） （1-80） 由协方差的定义容易得到它有如下性质： 由协方差的定义容易得到它有如下性质：（1） （1）)(CovYX，= =)(CovXY，； ； （2）（2）)(CovbYaX，= =ab)(CovYX，其中，其中ba，为 常数； 为 常数； （3） （3）)(Cov21YXX，+= =)(Cov1YX ，+ +)(Cov2YX ，只证（3），其它自证。 只证（3），其它自证。定理 1-11 定理 1-11 设设XY是随机变量是随机变量X与与Y的相关系数， 则