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1、总复习和习题课总复习和习题课1,04( )0,nnx nn+=其他1设4( )(2)h nR n=令，6( )( )x nx n=%6( )( )h nh n=%试求与的周期卷积并作图。( )x n%( )h n%解：10( )( ) ()Nmy nx m h nm=%1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 01 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 11 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 10 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 10 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 00 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 11 2
2、1 2 3 4 5 0 3 4 5 06 7 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1n m ()/x n m%()hm%()1hm%()2hm%()3hm%()4hm%()5hm%()/h n m%14 12 10 8 6 10( )y n%2. 试求以下有限长序列的点（闭合形式表 达式）：NDFT0( )cos()( )Nx nan Rn=(1)10( )( )( )N nk NN nX kx n WRk=解：002101()( )2NjnkjnjnN N naeeeRk =+210 0cos()( )NjnkN N nan eRk =002211()()001( )2NNjknjk
3、nNN N nnaeeRk+=+000022()()111( )211jNjNNjkjkNNeeaRk ee+=+0000002221 21 21 2()()()2221() 2()NNNjjjjkjkjkNNNeeea eee+=0000002221 21 21 2()()()222()( ) ()NNNjjjNjkjkjkNNNeeeRk eee000011 2200sin()sin()122( )112sin()sin()22NNjkjjkjNN NNNaeeRk kkNN+ = +210( )NjnknN N na eRk=(2)( )( )n Nx na Rn=10( )( )( )
4、N nk NN nX kx n WRk=解：21( ) 1NNjkNaRk ae= 210( )nNjkN N naeRk=210( )( )NjnkN N nx n eRk=210 0()( )NjnkN N nnn eRk =02 ( )jn kN NeRk=(3)0( )()x nnn=00nN10( )( )( )N nk NN nX kx n WRk=解：4. 已知两个有限长序列为1,03( )0,46nnx nn+=1,04( )1,56ny nn=试用作图表示，以及。( )x n( )y n( )( )f nx n=( )y n-3 -2 -10 1 2 3 4 5 67 8-1
5、 -1 -1-1 1 1 -1 -1 -1 -1-1 11 2 3 4 0 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 1-1 -1 -1 -1 -1 1 1-1 -1-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1n m ()/x n m ()/y n m()()( )77ymRn ()()( )771ymRn ()()( )772ymRn ()()( )773ymR
6、n ()()( )774ymRn ()()( )775ymRn()()7ym( )()7ym()()( )776ymRn0 4 -2 -10 -10 -8( )f n-45. 已知是N点有限长序列，。现 将长度变成rN点的有限长序列( )x n( )( )X kDFT x n= ( )y n( ),01( )0,1x nnNy nNnrN= 试求rN点与的关系。( )DFT y n( )X k解：由210( ) ( )( ),01NjnkNnX kDFT x nx n ekN=得10( ) ( )( )rN nk rN nY kDFT y ny n W=210( )kNjnNrnx n e=1
7、0( )N nk rN nx n W=, 0,1,.,1klr lN=kXr=210( )NjnkrNnx n e=在一个周期内，Y (k)的抽 样点数是X (k)的r倍( Y (k) 的周期为Nr)，相当于在 X (k)的每两个值之间插 入r-1个其他值（不一定 为零），而当k为r的整数 l倍时，Y (k)与X (k / r)相 等。相当于频域插值210( )( ) 01NjnkNnX kx n ekN=, 0,1,.,1klr lN=( )kY kXr=6. 已知是N点的有限长序列， 现将的每两点之间补进个零值点，得到 一个rN点的有限长序列( )x n( ) ( )X kDFT x n=
8、 ( )x n1r ( )y n(),0,1,.,1( )0,x n rnir iNy nn=其他 试求rN点与的关系。 ( )DFT y n( )X k解：由10( ) ( )( ),01N nk N nX kDFT x nx n WkN=10( ) ( )( )rN nk rN nY kDFT y ny n W=得10()N irk rN ix ir r W= 01krN10( )N ik N ix i W=故( )( )( )NrNY kXkRk=离散时域每两点间插 入r -1个零值点，相 当于频域以N为周期 延拓r次，即Y(k)周期 为rN。10( )( ) 01N nk N nX k
9、x n WkN=Q01krN10( )( )N ik N iY kx i W=( ),( )( ):2( )2 0jjX kx nIDFT X kNekmNX kekNmk= = 7.已知下列求其它)2cos(2121221)(1)(22)(22102mnNeeeeeeNeeN NekXNnxmnNjjmnNjjnmNNjjmnNjjNnknNj +=+=+=解：如若一台通用计算机的速度为平均每次复乘， 每次复加，用它来计算512点的，问 直接计算需要多少时间，用运算需要多少时间。5 s 0.5 s( )DFT x n FFT解：(1)直接利用计算： 复乘次数为，复加次数为。DFT2N()1N
10、 N 复乘所需时间6262 15 105 105121.31072TNs= = =复加所需时间()()6 260.5 1010.5 1051251210.130816TNNs=所以直接利用DFT 计算所需时间：121.441536TTTs=+=8.复乘所需时间6 126 25 10log2 5125 10log 5120.011522NTNs=6 226 20.5 10log0.5 10512log 5120.002304TNNs=复加所需时间所以用FFT计算所需时间120.013824TTTs=+=(2) 利用计算：复乘次数为，复加次数为FFT2log2NN2logNN若，是两个N点实序列，
11、的 值，今需要从，求，的值，为了提 高运算效率，试用一个N点运算一次完成。( )X k( )Y k( )x n( )y nDFT ( )X k( )Y k( )x n( )y n IFFT9.解： 由题意( )( )( )( )X kDFT x nY kDFT y n=，构造序列( )( )( )Z kX kjY k=+对作一次N点IFFT可得序列( )Z k( )z n又根据DFT的线性性质( )( )IDFT X kjIDFT Y k=+而，都是实序列( )x n( )y n( )( )( )( )ReImx nz ny nz n= =( )( )z nIDFT Z k=( )( )( )
12、( )z nIDFT Z kIDFT X kjY k=+( )( )x njy n=+例10 已知信号，求例10 已知信号，求N点点DFT的幅值谱和相位谱。的幅值谱和相位谱。)8cos(5)4sin(2)(tttx+=M文件如下：文件如下： N=64; fs=100; dt=1/fs; n=0:N-1; x=2*sin(4*pi*n*dt)+5*cos(8*pi*n*dt); y=fft(x,N); mag=2*abs(y)/N; pha=angle(y); f=n*fs/N; subplot(121); plot(f,mag); title(Magnitude) subplot(122);
13、plot(f,pha); title(Phase)解：冲激响应不变法：11用冲激响应不变法将以下变换为 抽样周期为T。( )aHs( )H z，（1）( )()()22 aHssasab=+( )()22asaHs sab+= +1( )N k a kkAHsss=1 1( )1kN k s T kTAH zez =111 2sajbsajb=+将部分分式分解：( )aHs经冲激响应不变法变换后得：() ()11221cos 12cosaTaTaTezbTTezbTez=+( )111 2aHssajbsajb=+()()111( )2 11ajb Tajb TTTH zezez+=+12设有一模拟滤波器抽样周期，试用双线性变换法将它转变 为数字系统函数( )()211aHsss=+2T = ( )H z解：由变换公式111 1zscz=+及2cT=2T =，可得111 1zsz=+( )( )1111zas zH zHs= +=21111111111zz zz= +()21213zz+=+13试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数。 设3crad s =解：由
