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1、第 40 卷第 1 4 期2010年 7 月数学的实践与认识M A T H E M A T IC S INP R A C T IC EA N D T H E O RYV O1 40 , N o . 14Ju l. , 20 10一类具有不同感染率的 SIR模型的稳定性分析张 梅 1 , 2 , 张凤琴 2(1. 中 北大学理学院, 山西 太原 030051) (2 . 运城学院应用数学系, 山西 运城044000 )要: 建立了一类具有不同感染率且出生和死亡具有密度制约的S I R 传染病模 应用极限系统理论 以及 L i apunov 稳定性定理得到该系统平衡点的稳定性.摘型关键词: 传染病
2、;基本再生数;稳定性;平衡点1引言H W的传播模式是基于 HWRN A 的含量发展而来. 感染初期 ( 急性感染期)也就是染病 1一 2 周血浆和血清中的 Hl v -1 R NA 的含量会急剧的升高, 之后人体将产生免疫响应 - 一 2!.这时, H l v RN A 含量就会下降到不同的数量级别并在以后几年内基本不变 l s , 接着进入慢性期.病毒携带者的病毒含量不同, 病毒含量越高就会加快成为 A功S 的进程, 病毒含量低的变为 A I D s 的进程比较慢或者基本处于稳定不变的状态 = 4一 5 . 由于易感者个体的差异, 他们被不同的病毒携带者所感染, 且不同病毒携带者病情的发展也
3、有所不同, 因此把病毒携带者分成两类 1 1 和 几.易感者分别以概率 pl,pZ沙1+ p:= l ) 进入 1 1 ,几类. 然而, 大多数文献 (如文献 0 )没有考虑人口统计学的因素.在本文, 考虑到人口统计学的因素, 建立了一类出生和死亡具有密度制约的 S I R 模型.设总人口 符合 Logi sti e 方程: 夕 (- ,一 N( 1 一 娄 ) 这里 r 是内察增长率, K 是种群的环境容纳量.如果密度制约的影响还分别作用在了出生率 和死 亡率 上,则单位 个体出 生 率的 密 度制约 为e等, 单 位 个体 死亡 率密 度制约 为1一 0等,其 中 0 三0 三1.因此可建
4、立如下模型: - ( 忿卜(“ 一 “ 等 )!一 (“ 1 1 15+ !“ s) 一 以 +( 卜“ ) 等 s ,1 (- )一 ,1 ( 口 1 1 1+* “ ) s一1 1一 d+( 卜“ ) 等 : ! (“ )一 ,2 ( 口 1 1 1+* ! ) s一“ 一 d+( 卜/ ) 签 “ *(“ ) 一 1“ +一 “ 一 d+( 卜/ ) 等8 R( 1)这里 b是无密度制约的出生率, d 是无密度制约的死亡率,N 二S + I;+ 几+ R , s ( t ) 表示 t时刻的易感群体的个体数量, R ( t )表示 t时刻移出类的个体数量.庆, v-分别表示 几的传染率收稿
5、B 期:201压o冬20 资助项目:山西省自然科学基金 (Zo o 90n o o s - s ) ;山西省重点学科资助项目14期张 梅, 等:一类具有不同感染率的 S I R 模型的稳定性分析233系数和恢复率系数 “二1,2).本文中我们假定新生儿均为易感者, 并且不考虑因病死亡.2平衡点分析系统 (l ) 与以下系统等价一 ,1 (“ : 1 1+*“ ) (! 一 “ 一 !一 *卜 一 1 1一 己 +( 卜“ ) 等8 “ 一 ; 2 ( 口 1“ +!) (! 一 “ 一 “ 一 , 一 “ !一 阶( 卜 0 )等 ! 一 l“ +# 2!一 卜 +( 卜“ ) 等 R 一 r
6、 N ( 卜娄 )( 2)显然, 系统 ( 2)有灭绝平衡点 凡 二(O,0,0,0 ) , 无病平衡点 E 0= ( 0,0,0,K ), 还有一个可 能 存 在 的 地 方 性 平 衡 点E .一 ( 片 ,佗 ,群 台芳 ,K) . 从系统 (2)得 pl d+ ( 1一 e)嚼 , 2“ , + - + ( 1一 a)等pl“ 2+ d+ ( 1 一 pZ vl+ d+ ( 1 一( 3)r 一r力口一月q一一一片写进一步有片 =写K (R 0一1)( d + (1一8):) pZ(“ 1+ d + (1 一8):) R 0 (“ :+ d+ (1一8) , )(“ 1+ d + (1
7、一8):) K ( R o一1)( d + (1一8) r) p:(“ :+ d + (1一0) :) R 0 ( vl+ d + ( 1 一0):)(“ 2+ d + (1一8) r)K ( R 0一1) pZ( d+ (1一8)r) R 0 ( v:+ d+ (1一8):) K ( R 0一1) 勿( d + (1 一8)r) R 0 (“ 1+ d+ (1一8)r)( 4)其中R 0K 口 iPi“ 1+ d + (1一8) rK 热P 2 十-, , - 于一 下 二 - - - 二丫一 UZ + 以+ Ll 一口 )r( 5)因此, 当且仅当 R o 1 系统存在唯一的一个地方性平衡
8、点 E *.定理 2 . 1 在区域 G l一 ( 1 1 ,几,R ,N ) 0 三N 三K ,0 三几三K ,葱 = 1,2,0 丛R 三K 内, 若R 0 1, 无病平衡点 E 0是不稳定的; 若 R o 0 且 Q 0, 场 局部渐近稳定.如果 R o 1,Q 1, 系统 (7)在区域 G Z= (S,1 1 ,1 2 )1 0 三几三K ,葱 = 1,2,o 三S 三K 内存在 唯一的全局渐近稳定地方性平衡点.证明 由系统 ( 7)知地方性平衡点 万.(S * ,对,写)存在, 其中S * =片 =写 =( b一:B) K 一(d一, (1一9)S*P 1vi + d P 2勿 +
9、d几片+ 热弓 ( b一,B)K 一(d 一:(l一8) S*= ( b一:8) K 一(d 一:(1一8)S*定义v l 二S 一 S * 一 S气 i n 多,那么 坐. ! _ 刁云 . (7)一S 一 S *S S 一 S *S S 一 S *SI ( b一:8) K 一( 口 11 1 + 伪1 2 )S 一( d 一r(1一0) 51 ( 口 1片 + 热月)S + ( d 一:( 1 一8)S*一( 口 11 1 + 儿1 2 ) S 一(d 一:(1 一8)51 ( d 一:( 1 一8)( S*一S)+ ( 口 1片+ 热对)(S* 一S) +(S 一S*) 口 l( 片 一
10、1 1 )+ 热( 写 一1 2 )14期张 梅, 等:一类具有不同感染率的 S I R 模型的稳定性分析定 义姚一 1 1 一 片一 片 i n分 ,那 么 宁. ( 7 ) 里 子立 ! 1 1伽 1/ 1 5一 ( 一 +/+# /-8)+ 尹 1热1 2 5一 +/+# (- 一 / ,- 1 1一 /,(Pl口 15 vl+ d + :( 1 一8)一 1!+牛 竺 ,1 *:s/11.0 . 十 /十 r/一 / ,- 1 1一 /, (Pi口 i “ 1+ d + :( 1 一0)脚伪! “,1 .十 -, 一丁 , 一-二 二 -二二 1 口 一 1 1 十 vZ + a +
11、r LI 一沙 )/J 热 S (/一 / ,令 1 会 -pZ(“ 1+ d + :(1一8) v:+ d+ r(1一8) 由步七再 黔向 十 石 开 群 碧 I 二 可 和藉 一 黯拙非翎,有d钱 l- 一 万于 .! 7 ) 一( v:+ d + :(l一0) )( 1 1 一片) S *(! 一 , # )!,1! (“ 一 - 李 一 乒! 1 1才 1举/ 定义 巧 =勺 一丈 玄 且 n 才, l 叫 理贷: (vZ+ d + :(一 8)(1 2 一g ), _*! .“ “, )气 口 一 “ ) + PZ户iO L12O,_ 川八_ 二-. - 几几*一q 7为 少 ,一本
12、 L1 1 一dd 一 (定义V ( S,1 1 ,1 2 )Liapun o v 函数一 , 一 ,一, # I n掌+ -月 擎 , 一,( I l 一 片 一 片 I n李 ) +万.vi + d + r以 一.) . -一11 - 热S*v:+ d + :(1 一8)几 ! L12 一12 一12 I n 下 不 ) 立 2亩l ( 7 )S 一S *S= ( d 一r(l一8)( S*一S)+ ( 风片+ 儿对)( S *Pl口 1热s s * (“ 一 :) ( 会 一 刹+一S) +PZ口 l热 vl+ d+ :(1一0)“ :+ d+ :(l一8), # (! 一 :) ( 鬓
13、 一 佘 ) S 一 S *S ( d 一:( 1 一o)( S*一S)+ ( 口 1片+ 热对)( S*一S) +S *SPZ口 1热 “ 2 + d + r(1 一8)= 熟一 :,( 会 一 刹+( I z一 :,( 会 一 刹 S 一 S *S (d 一:(1 一PZ口 i热8)(S* 一S)+ (口 ,片+ 热对)(S*一S)l +片S *S v:+ d + r( 1 一8)- 笠一 旦!了 二 一 互 ! 1 1几/ 1 1 *几*/ 其中 pl 勿+ d + (1一8): pZ“ 1+ d + (1一8)r一一一写刀因 为 对 任 意 的 实 数“ “ 和“ 0 : ( a 一
14、句 ( 告 一 劫一 史 茅 三“ ,得普 ( 3 . 1)三 0.容 易 得 到 : 当 且 仅 当S 一 S * , 分一 佘时 , 雳 ( s .1 )一“ , 即 系 统( 7)在GZ 一 ( 5 , 1 1,几 ) l0互 几 兰 K, - - 1,2,o 兰s 兰K 上的最大的不变集是 它 *.因此, 由L i a p 皿o v 稳定性定理 I l 知 矛 全局渐近 稳定.参考文献= 11 pra t t R D , Sh即iro J F, M eK i n ney N , K w o k S, Spe c tor 5 A .V i r o l o g i e eha r -ter
15、i za t i on ofpri m a r y H IV - 1 i nf e c t f o n i n a hea l th ea r ew o rk e r f o l low i 铭 needl e s ti c kin j u理 Jl. J Inf o c t D is, 1995(172):8 5 1一 8 54 .236数 学 的 实 践 与 认 识40卷= 28Q ui nn T C .A eute pri m ary H IV inf e etion = J :.J A m e r M e d A ssoe, 1997(278) 58 - 62. 3 : H enra r
16、 d D R , Phil lipsJ F, M uenz L R ,B l a t tner W A , w e isner D , EysterM E, G oeder t J J.N a t uralhisto守ofH IV 一 1 c e lLf re e vi rem ia J2 .J A m e r M ed A ssoe, 1995(274): 55李558. 4 8B altim or e D # Lessonsf r om pe o plew i th nonpro盯essi v e H IV inf eetion J 8 .N ew EnglJ M e d , 1995(332):2 59 - 2 60 . 58C - Y , Q in L, Zha n g L , Saf r i t J, H o D D .V i rolog
