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1、 专 题 研 究 一 镪嗽 繇 黠一 鑫彦谶 鳓深 彦 夏 明 亮 ( 山 东省 临 邑一 中 2 5 1 5 0 0) 在平 时的数学 学习中 ， 我们要善 于从简单现象 的背后 ， 揭示出深刻的数学理论 ， 从平凡事 实的背后 ， 挖 掘 出不平 凡 的东西 下 面简要谈一下对一道高 考题的思考 ， 以期达 到抛 砖引玉的作用 ， 不 当之处 ， 敬请批评指正 问题 1 同室 四人各 写一 张贺卡 ， 先集 中起来 ， 然后 每 人从 中抽取一张别人 送 出的贺 卡， 则 四张贺 卡不 同的分 配 方 法 有 多 少种 ? 思路 1 若 4张贺卡任意分给4个人有 A ： 种， 而其中 只有
2、 1 人拿 自己贺卡有 C 2种分法 ， 有 2人拿 自己贺卡有 c i 种分法， 有 3 人拿自己贺卡时则第4人一定拿自己贺卡， 则只有 1种分 法 因此满足条件的分法种数为： A ： 一 2 c c ； 一 1 = 9 思路 2对 4人分别编 l ， 2 ， 3 ， 4四个 号， 对 四张贺 卡也 编上 1 ， 2 ， 3 ， 4四个号 ， 那 么 l ， 2 ， 3 ， 4填入 四个方格的一个填 法对应贺卡的一种 抽取法 ， 原题 转化 成上 面所述 方格 的编 号与所填数字不同的填法种数问题 据题意 ， 数 字 1不填 1号格 ， 它 只能填 2 ， 3 ， 4号格 ， 如 图 ， !
3、 二 皿 二 ， 即 填 格 可分 三类 ， 第一类 中 ， 2排在 1 号格时 ， 3只能填 4号格 ， 4填 3 号格， l 2 J 1 l 4 l 3 l ， 2 填3号格时， 3只能填4号格， 4填 1号格， 即l 4 I 1 l 2 l 3 f ， 同理， 2填 4号格 时， 填法 为 3 1 4 2 1 故第一类 中有三种填法 1 在第 2格与在第 3格 、 第 4格性质 完全相 同 ， 同理 可 得 到第二类 、 第三类各有i种填法 所 以根 据分类 加法计 数原 理 ， 可 得满 足条 件 的填法 为 3+3+3：9 问题 2若把上面题 目改为 ： 同室 ( n N ) 人各
4、写一 张贺卡 ， 先集 中起来 ， 然后 每人从 中抽取一张别 人送 出的贺 卡 ， 则 n张贺卡不 同的分配方法有多少种? 分析用 5 表示 同室 Z ( nN+ ) 人 时的抽取 方法数 易 得 ： 当 =1 时 ， 有 0种抽取方法 ， 即 S = 0 当 n= 2时， 有 1 种抽取方法 ， 即 S ， =1 当 n= 3时 ， 有 2种抽取方法 ， 即 S = 2 当 n： 4时 ， 有 9种抽取方法 ， 即 S = 9 那么 ， 当有 n ( 3 ) 个人时 的抽法种数 为 S =( n一1 ) ( S 一 l+ 2 ) 思路分析对室 内的 n个人分别 编号 为 n ， n ， ，
5、 。 ， ， 。 ， 他 们所 写 的贺 卡编 号为 A ， ， A ， A ， ， ， ， 则 室 内 的前 n 一1个人与第 n个人 a 抽取贺卡时仅有两种情况 ： 第一种 情 况 是 第 n个 人 n 与 前 n1个 人 n 。 ， 。 ， r z ， ，a 一，中的一个 互换 了贺 卡 ， 不妨假 设第 n个 人 与第 n 一1 个人互换 了贺 卡， 即 a 与 a 一 。 互换 了贺卡 ， 则前 n一2 个人 a ， n ， 。 ， ， ， n 一 之 间相互抽 取贺卡 ， 和 a 与 8 一 的 抽法无关 ， 其抽取方法种 数为 S 而第 n个人 a 与 前 一 1 个 人中任一人
6、可 以互换贺 卡， 有 c 一 ， 种抽取 方法 由分步乘法计 数原理可 知有 c 一 ， s 一 种抽法 第二种 情 况 是 第 n个 人 a 与 前 n一1个 人 n 。 ， a ， 。 ， ， a 中的任何 人的贺卡不是互换 的， 即 a ( 1 n一 1 ) 抽取 了 a 写的贺卡 A ， 而 0 抽取的是 a ( 1 n一1且 i ) 写的贺卡 ， 我们 可以先使 前 n1个人 a ， a ， n ， ， ， n 相互抽取贺卡 ， 每人 不能抽取 自己写 的贺卡 ， 共有 s 。 种抽取方法 ； 第 n个人 a 用 自己所 写 的贺卡 A 与前 n一1 个人中任一人所抽取的贺 互换
7、， 例如前 n一1个人 a 。 ， a ， 。 一， 一 相互抽取贺卡 时 a ( 1 i n1 ) 抽 的是 ， ( 1 n一1 且 i ) 写 的贺卡 A ， 即 a 抽取 的是 A ； 而 a 用 自 己所写 的贺卡 A 与a ( 1 i n一1 ) 抽 的 a ( 1 n一1 且 i ) 写 的贺卡互换 A ， ， 这样最终就出现 r： n 抽取 的是 A ， n 抽取的是 A ， 共 有 c 一 种 抽 取 方 法 对 于第 二种 情况 ， 南分步 乘法计数 原理可知 有 c S 一、 种抽法 综 合上 述两种情况 可得 总的抽法种数 为 S =C 一1 一2+C 一ls 一l：C 一l( s 2+ s 1 ) ( n 3 ) ，0 n ： l， 所以 ：? 1 n= 2 ， 【 c l ( 5 一 2+s )1 , 3 【 参 考文献 】 1 赵小 云 数 学 家的策 略 北 京： 中国少年 儿 童 出版 社 ， 1 9 9 7 2 高体 柱， 张廷 永 高考 能力 型试题 研 练 ( 数 学) 北 京 ： 北京工业大学 出版社 ， 2 0 0 1 3 李名 德 ， 李胜 宏 高 中数学 竞赛培 优教 程 ( 一练 ) 杭 州： 浙江大学 出版社 ， 2 0 0 8 数 学 学 习 与研 究2 0 1 2 7
