《用时间域希尔伯特变换求取信号的最小相位谱》由会员分享，可在线阅读，更多相关《用时间域希尔伯特变换求取信号的最小相位谱（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、198 6年6月不油吐球海理乡探第2 1卷第3期用时l h 1域希尔伯特变换求取信号的最小相位谱丁习汀脚 二一口,一一摘要王卫华:用时 间域希尔伯特 变换求取信号的 最小相 位谱,石油 地 球 物理勘探,21(3)1986:268一27 5当一个信号为最小相位时,其振幅谱和相位谱符合希尔倩特变换 关系。对一个昨最小相位信号,在已知 它的振幅谱之后,可以通过希尔伯特变换 求出一个 与之具 有相同振幅谱的最小相位桔号。本文 讨论一种直接书对数振悔谱在时间域作希尔俏特变换 求取最小相位谱的方 法。为了减 少希尔伯特因子的截断影响和加快收敛,应 用帕 曾(Pa rz en )窗函数镶边。因为帕曾时窗函
2、数的频谱没有旁辫,也不存在泄漏 问题。此法的特.点是一 种既在须率域又在 时间域进行混合 运算的方 法。以RDS一50 0计算机为例,此法的运葬时间要比全部在须率域的运算时间减少一倍。文中列举了几 种不同情况下提取最小相位 谱的方法。当反射系数 序列为白噪序列时,地震记录的振幅谱与震源子波的振幅谱只差一个常数,这时可用地震记录的振幅谱代替 衰源子波振幅语,再用文 中提出的方法,求出震源子波的最小相位谱。当输入的是一个混合相位信号,也可以米用本文提出的方法转换成最小相位信号。ABST RACTWangWeihu a:Extr a ctingtheminimumphasespe etrumofsi
3、gnalbyHilberttransfo rmintimedomain,O Gp,21(3)1986:268一275Whenasignal15inminimumPha s e,itsam Plitudespe etr umandPha s espeetrumwills atisfyHilbe rttransformeond ition.HavingknowntheamPlitudesPectrumofanon一minimumPhasesignal,wee a neonduetHIlberttr a nsformtoextraetaminimumPha s esign alofwhiehthea
4、m-PlitudesPe etrum15identicalWiththatofthenon一minimumPhase519-n al。Th宜5PaPe rre eom mendsamethodfordir e etlye on vertinglogarithm ie本文于1985年了月2 9日收到.第即卷第3期王卫华:用时间域希尔伯特变换求取信号的最小相位谱26 9amPlitudesPe etrumintominimumPha sesPe:tr:门byHilberttr an s-formintimedomain。Parz en,5windowfunetio n15u s edtor edu
5、e ethetr une ationeffe etofHilbe rtf aeto randsPeeduPeonver ge n e ebee au separz enwindowfreque neysPe etr umha sneithe rsidelobesnoramissing”Pr ob lem.Thismethod15ehar aeteriz edbyeombinedoPer atio ninfrequ en-eydomaina ndtimedomain.Tak ingRDS一500eomPute rasaninstane e,theeomb inedoPe rationtime15
6、halfofthetimetakenw hentheoPer a-tion15onlye ondu etedinfrequ eneydomain。Kn a eksfo rmakingmini-mumpha s esPe etr umindiffe r enteasesareillustr atedinthispaPe r.Theonlyd iffe reneebetweentheamPlitudesPeetr umofseismier e eo rdandthatofso u r e ewavelet15ae onstanteoeffieientwhentherefleetio neo eff
7、ieientse rie s15whitenoises erie s。Inthise a se,theamPlitudespeetrumofseismier ee o rde anbeu sedass ubstltutefo rtheamPlitudesPeetrumofs o ure ewav elet,thentheminimumPha s esPeetrumofsou reew aveleteanbeobtain edusingthemethodreeomme ndedinthepape r.AmixedPhas esignalinPutalsoea nbetra nsfo rmedin
8、tominimumPhas esignal inthisway.目前大多数反褶积方 法不是 单纯应用在 时间域,就是单纯应用在频率域。信号在时伺域与在频率域是一 一对应的。在不同 的计算机硬件配备条件下和不同的算法中,时间域的计算和频率域的计算都有各自的特点。例如在配有高速阵列机的计算机中,如果单纯在时间域作反褶积,如脉冲反褶积(图1 ),虽然阵列机作褶积运算很 快,但是 由于 求取反 褶积 因子要由中央处理机(CPU)来完成,即便采用了递推解法,用机时 间也较长。又例如在频率域作最小 相位 子波反 褶积,需求取 最小相位谱甲(j ),在频率域做希尔伯特变换就需 要做一 次快速傅氏正变换( F
9、FT)和一次 快速傅氏反变换(正FT),如图2。虽然一般的阵列机都 具有FF T和IFFT功能,但是在阵列机 上作快变要 比在阵列 机上 作褶积 还是慢得多。另外,离散谱是一个以1 /乙为周期的函数,大多数阵列机只能在x(t )C P Ua(t)求反褶积算子x(t)阵列机褶积运算R(t )图1脉冲反 褶积a(t)为褶积算子In!B(f)阵列机或CPUFFTCPU频率域 希尔伯特变换阵列机或CP百. . . . . .曰. .口. .,月. . JFF T伊(f)图2在频率域 作希尔伯特 变换IB(1 )1为输入信号的振幅谱.中(f )为最小相位谱石油地球物 理勘探1 986年阵列机I。B(j)
10、 时间域希尔伯特变换甲(j)图3在时间域作希尔伯特变换! B(1 )1为输入信号的振幅谱甲(f )为最小相位谱作希尔伯特变换,其结果就是相位谱。衅周砷,命)内做F FT和I F。,而作希尔伯特变换后需要在整个周期斗,一-一一 “、2 劣、内作IF打,所以只杯利用巾垂、 卜2,刁”-一声了 ,防/、月f切刀厂7二人理机(C PU)来做IFF r,这样就更费机器时间了。如果我们按照图3所示的方法,即 通过褶积运算直接对l川B( t) l在时间域这种时间域与频率域混合运算的方法,既简化了 算法,又充分发挥了阵列机的优势。这样,各类机器根据自身的特点,应用此法都将会不同程度地减少反褶积处理的用机时间。
11、振幅谱与相位谱的关系当一个信号为最小相位时,它的 振幅谱和相位谱是符合希尔伯特变换关系的。对于一个非最小相位信号,当已知它的振幅谱之后,可以通过希尔伯特变换求出一个与之具有相同振幅谱的最小担位信号。下面 我们来推导这种关系。应用解析函数边界性质的理论,可知最小相位 信号b (t )的:变 换宜(:)能够通过b(约的振幅谱!B(。) l表示出来,即B(:)= =乙b(:)z,二。 xp李【Inj。(6j卫乙兀J一不_:己丝而一 Z(1)八 云(:)二李(;n一。(石)阵里丝-乙乙兀J万一_:介亡一一Z二乙e()z(2)由于 沉t )是最小相位的,所 以B(z )在单位圆内不为零,且有限,从而 不
12、 难 证 明C( z)是单位圆内的解析函数。考虑到尸一.e一OJ十Z一 名二卜2乙。翻 扩 (3)所以式(2 )可写成二,_、If盆,k乙少=一二一I 乙万JtInIB(。)ld。+乙上f;。一。(乙)。“,a石z万J一 J(4)将式(4)与式(2)右边比较,得第2 1卷第3期王卫华:用时间域希尔伯特变换求取信号的最小相位谱lr x,_;。之、,J二 Ic火U夕二; : 了11 110、毋ZJ“功 少“二一),、1!月,_,。/全l_、公。J几、,Ic气)=洛11110戈川少l“毋一夕1、兀J一汀(5)从式(1)、(2)可知. 、了、少户n t了产、Z 气、将z二e -“代人式(6 ),InB
13、(。)C(z)=InB(z)则有=InIB(。)卜宕印(。)C(。)=乙e(t)e一“ ,=e(o)+乙e(r)eo气(。t)一i乙e(:)sin(。)(8)所以 有 InB(。)I=e(o)十乙。(七)eos(“乙)一甲(。)=乙e(t)sin(。,)(9)由于常数c(0)的希尔伯特变换为0,e(七)eos(ot)的希尔伯特变换为e(右)sin(“亡),所以式( 8)的虚部正好是实部的希尔伯特变换。由式(7)、(8 )、( 9)可 知,当信号b(t)是最小相位时,相位谱甲(。)由振幅谱B(。)唯一 确定。对于 一般的信号,不管它 的相位如何,振幅谱总是唯一的。所以由式(9 )可知,一个任意相
14、位的信号,只要知道了它的振幅谱B(0)!,就可 以 求得一个与之具有相同振幅谱的最小 相位信号。时间域希尔伯特变换求取最小相位谱连续最小相位谱的求取上面证明 了最小相位信号的振幅谱与相位谱之间的希尔伯特变换关系。换的实质就在于 应用希尔伯特因 子告对一个实连续信号作一次褶积,即希尔伯特变穿()=告x(才)(1。)大家知 道,实有限信号的振幅谱 B(f)是一个实偶 函数,令A( f)=阳(f一 ) 1,显然只要A( I)恒大于零、且连续,则I nA(j )在每 一点上都存在、且连续。为了讨论方便,我们作一次变量替换,将f看成是一个时间域的变量,令:二了,根 据 式( 7)、(9)、(l。)得到求
15、 取最小相位谱的关系式甲(了)=InA(丁)*孔(了)_:_,_、.1 =1 1 1广1、一夕节(1 1)272石 油 地球物理勘 探198 6年离做 最小 相位讲 的求取实际上计算机只能处理离散信号,甲(n)、InA(n)和h(九)则式(11)变为中(n)二InA(九)*h(n)式中我们将式(11 )用离散的形 式来 表示,记 为(12)0一1一e万”凡兀雌 二0矛 艺今0!J、l一一、,了n了、孔嘉为偶数(包括零)为奇数(13)图4为离散希尔伯特因子的图形。1 1 1 1 1图4离散希尔伯特因 子式(12)就是计算最小相位谱的理想公式。从式(1 3)可知,虽然I nA(的的长度是有限的,但
16、h(的的长度却是无限的。无限长度的褶积运算在计算机上是无法实现,所以要对式(12)做适当的修正,将无限长的褶积运算变为有限长度的褶积运算,这种作法实际上是将无法实现的理想问题转化为实际可行的近似问题。这正是下面要讨论的向题。离做希尔伯特因子的修正由有限离散傅氏变换原理可知,离散希尔伯特滤波因子h (时的频谱H诬(P )是一个以李为周期的函数,由于 产护尹甲一,”N(15)由于截尾 误差,h以旧的频 谱就要产生吉 卜 斯 现象,影响滤波效果。在实际应 用中,要求滤波 因子衰减较快,当川,N时,场(n ),o;当川N时hN(n )二。要找到满足这个条件,同时效果又 比较好的因 子,通常采用的方法之一是设计一个谱函数W(P )对H刁(p)进 行 褶积,使H乙(p)变成 一 个连续变化的函数,这就是所谓褶 积镶边 法。因为 帕曾窗的频谱没有旁瓣,不存在泄 漏问题,所 以我们选用帕曾窗在时间域
