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1、2 0 1 4 年第 3 期 福建中学数学 7 OC=O A+O B ( D为坐标原点) ，若存在 ，求出所有 适合题意的点 的坐标；若不存在，请说明理由 笔者以定理 5在 ( I ) 、( )两问解答中的巧 妙应用为例，( )的解答也可应用定理 5 ，请读者 自己证明 证明 (I ) 设 M( m， - 2 p ) ，A ( x l ， Y 1 ) ， ( ， Y 2 ) ， 由定理 5可知点 关于抛物线 的极线 A B的方程为 =P ( Y - 2 p ) ，联立抛物线方程 =2 p y， 消去Y可得 X 一2 m x 一 4 p =0， 由韦达定理知 + X 2 =2 m，得证 ( )
2、由 ( I) 可得 十 X 2 =2 m=4， 2 = 4 p ， 则 l = 一 ) + ( 一 ) = 、1 + ) I 一 x 2 I ， 可 解 得 Y P = 1 或 P = 2，则所 求抛物线 方程为 X = 2 y或 X =4 y 圆锥 曲线 相关 问题是 历年 高考 的热 点也 是难 点，掌握切线方程以及极线方程在解答相关题目中 可以大大简化计算过程，达到事半功倍的效果 参考文献 1 单蹲 单 尊 老师教你学数学 ( 解析几何的技巧) 上海：华东师范大学 出版社 ，2 0 1 1 2 张永辉高考数学题型全归纳 ( 上册) 北京 ：清华大学出版社，2 0 1 1 由 “ 拼接最大
3、三角形问题引发的探究 倪建峰 上海市崇明中学 ( 2 0 2 1 5 0 ) 题 目( 2 0 0 6年高考全 国卷 理 l 1 )用长度分别 为 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ( 单位 ：c m)的 5根细木棍 围成一个 三角形 ( 允许连接，但不允许折断) ，能够得到的三 角形的最大面积为多少 A8 8 m z B6 _c m z c3 _c m D2 0 c m 解析 对于绝大部分学生来说，如果不具备一定 的数学素养，显然要被难倒，因为确定各边的长度 时，即要把这 5个数任意的分成 3组，有许多可能 的组合 ，例如 9 ，9 ，2 ；9 ，8 ，3 ； 7 ，7 ，6等等， 如果分
4、别求出各三角形 的面积 ，然后比较得到这些 三角形中面积最大的一个，费时其实由题设知道， 这个三角形的周长是定值 2 0 ，周长是定值的三角形 在高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线，其面 积趋向于零，因此直觉比较好的学生会意识到只有 当三角形的形状趋向于最“ 饱满” 时面积最大， 亦即形 状接近于正三角形时面积最大 ，故三边长应该为 7 、 7 、6 ，因此易知最大面积为 6 1 0 c I n ，选 B 当然 ，这样解决问题只是一种猜测罢了，它的 真正解决有赖于以下问题 ：当三角形 的周长为定值 时，什么样的三角形的面积最大? 把一根长度为 ， 的吸管 ，折成一个三角形 ，设三 角形 的一
5、条边 长为 x，则 剩下 的两条边 长之和为 ， 一 x，由于三角形中两边之和大于第三边 ，所以 x 数学问题 3 8 4 )在A A B C申， 求证 ：_ 一 ! 一+ 一 十 一 b 。 十 C 一 日 C+ 以 一 D a + D c 证明 直接 利用上述 ( ) )即可得证 题 2 ( 数学教学 ) 数学问题 4 8 8 )已知 al ， 1 ， 求 证 ： 苦+ 证明 利用上述 ( 1 )可得 - J 6 j c ( + 6 +r ) 4 -一 ) 一 一 ， 一 bl cl al “+6十 3 一【 ( 。 b + c 一 3 ) + 3 j a+b十C一3 =a + b +c
6、- 3 ) + 2 、 +6：1 2 题 3 ( 数学教学数学问题 5 3 8 )若 ，b，C 均 大 于 1 ， 且a + b +c 。 =1 2 ， 求 证： + + 3 a一1 b一1 C一1 证明 利用上述 ( 1 )可得 1 2 = a 2 + 6 z + c z ： + + ! 垒 1 1 】 l +l +1 故 a + b +C 6 再一次利用上述 ( 1 )可得 1 1 1 1 。 1 1 + 一 一叫十 一 = + + 12一l 一l CJ l bl C一1 ： 3 L 1 f 4 - C3 题 ( 数学教学 数学闻题 5 s 2 )若a，b 均 大 予 j ， 为 凝 求
7、证 ： + 三 T 8 溉躜 i 述 ( i j i 可掰 f z 、 ( 1 ) ： 易 一i“ 1 f _矗 一2 6 一=! ) I_ 2 1 + j 2 =(口 2 囊 4+4 8 注令 就得 到 瀚游联奥 林 匹克试 题 ： 。 8 j 一j 题 5 ( 数学教学 鼓学问题 8 5 9 ) 若正数a，b 满足 ： + 。二 b，元2f j ，求证： + 一!一 4十， 乇 证 明 驻然 ( ， 6 ) ： 4 c t b一二4 “ ) ，即 b 4 利用上述 ( j )可得 b b 一十 一+-一一 b +五 十五 ab 十 a Z b十f , 2 ! ! ： ! ：! ： 一 ( a Z b + 6 。 j + ( + b ) a b ( a + ) + 五 ( 口 + b ) ( 甜+6 ) 口+b ( 口 十 6 ) +2 ( a +扫 ) ( + 6 ) 十 五 令 ( 1 = 一 ( 4 ) ，贝 0 有 ( + 6 ) ， 。( 4 ) ，
